杆和梁结构的有限元法

1、第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法第第2 2章章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法2 2. .1 1 弹簧单元和弹簧系统弹簧单元和弹簧系统2 2. .2 2 杆单元和平面桁架杆单元和平面桁架2 2. .3 3 梁单元和平面刚架梁单元和平面刚架第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法 2.1 2.1 弹簧单元和弹簧系统弹簧单元和弹簧系统1一个弹簧单元一个弹簧单元的分析的分析2弹簧系统弹簧系统什么是单元特性？弹簧单元的刚度矩阵弹簧系统的总刚度矩阵弹簧单元刚度矩阵的特点例题如何求解系统的平衡方程弹簧单元的刚度方程第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的

2、有限元法l 弹簧是宏观力学特性最简单的弹性元件。下面以平衡弹簧系统中一个弹簧单元为研究对象进行分析。2个节点：节点位移：节点力：弹簧刚度： ji,jiuu ,jiff ,k已知弹簧力位移关系： kFijuu F弹簧力，拉伸为正 弹簧伸长第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法考虑弹簧力学特性和节点上力平衡有：jiijikukuuukFf)(jiijjkukuuukFf)(写成矩阵形式：矩阵符号形式：弹簧单元刚度方程，单元特性jijiuukkkkff方法一：方法一：kdf 第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法思考问题：1）k 有什么特点？jjjiijiikkkkk

3、jijiuukkkkff上式中：fdk单元节点力向量单元节点位移向量弹簧单元的刚度矩阵2）k 中元素代表什么含义？3）上面方程可以求解吗？为什么？kkkkk第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法求解一个弹簧系统：1）各单元的特性分别为：单元1：单元2：22213222221211211111ffuukkkkffuukkkk第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法2）按两种方法装配系统特性：方法1:按节点列平衡方程分别考虑节点1，2，3的力平衡条件（总节点力与节点外载荷的平衡）：22321122111fFffFfF把单元特性代入，得到：322233222111221

4、111)(ukukFukukkukFukukF第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法上面方程写成矩阵形式：或 （系统的有限元平衡方程） FKDK 弹簧系统的结构总刚度矩阵（总刚）F 整体节点载荷列阵讨论：（1） 有哪些特点和性质？ （2）上面方程能求解吗？ KD 整体节点位移列阵系统平衡方程节点载荷与节点总内力的平衡第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法方法2：单元刚度方程扩大叠加a.将单元刚度方程扩大到整体规模：元素按总体节点序号重新排列，对号入座。要点：1、单元刚度方程扩大规模并不改变其表达的力学关系。 2、扩大后的单元刚度方程采用整体节点位移列阵。 3、扩

5、大后的方程中矩阵元素按对应的整体节点序号排列！第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法b. 将上面的矩阵方程叠加，得到：系统总节点力（内力）与节点位移的关系系统特性。c. 代入节点平衡条件，得系统节点平衡方程：22321122111fFffFfF注意：总刚度矩阵就是单元刚度矩阵扩大后的叠加！第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法3) 给定载荷和约束条件下的求解 设边界条件为： 则系统平衡方程为：PFFu3210第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法该方程展开后分为2个部分：未知量为2个节点位移和一个支反力32,uu1F解上面方程得：第二章第二章 杆

6、和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法 注意：注意： 上述弹簧系统的分析求解原理和过程就是有限元上述弹簧系统的分析求解原理和过程就是有限元法求解连续体力学问题时对离散后系统的分析求法求解连续体力学问题时对离散后系统的分析求解原理和过程。解原理和过程。第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法例题1：弹簧系统已知条件：求：（a） 系统总刚度矩阵 （b） 节点2，3的位移 （c） 节点1、4的反力 （d） 弹簧2中的力第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法解：（a）各单元的刚度矩阵为：第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法应用前面的叠加方法，直接得到弹簧

7、系统的总刚度矩阵：或总刚度矩阵特征：对称、奇异、带状、稀疏第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法由前面的做法，可得到弹簧系统的节点平衡方程：（b）先施加位移边界条件 将 带入平衡方程后，第2，3方程为：041 uu第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法求解得：222232()20032200()Fkk uuN （拉力）第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法对图示弹簧系统，求其总刚度矩阵第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法要点回顾要点回顾1、弹簧单元刚度方程的建立、弹簧单元刚度方程的建立jiijikukuuukFf)(jiijjk

8、ukuuukFf)(jijiuukkkkffkdf 弹簧变形平衡弹簧变形平衡第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法2、弹簧系统的集成、弹簧系统的集成1 1）列节点平衡方程法）列节点平衡方程法22321122111fFffFfF322233222111221111)(ukukFukukkukFukukFFKD单元特性系统节点平衡条件系统平衡方程第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法相加相加22321122111fFffFfF系统节点平衡条件单元特性FKD系统节点平衡方程引入系统节点平衡条件引入系统节点平衡条件2）单元方程扩大相加法）单元方程扩大相加法第二章第二章

9、杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法2.2.2.2.1 1 一维等截面一维等截面杆单元杆单元杆单元杆单元2.2.2.2.2 2 二维空间二维空间杆单元杆单元如何用直接法求杆单元特性？如何用直接法求杆单元特性？如何用公式法导出杆单元特性？如何用公式法导出杆单元特性？什么是虚功原理？什么是虚功原理？杆单元刚度矩阵的特点？杆单元刚度矩阵的特点？什么叫坐标变换？什么叫坐标变换？如何对节点位移向量进行坐标变换？如何对节点位移向量进行坐标变换？如何对刚度矩阵进行坐标变换？如何对刚度矩阵进行坐标变换？应用举例应用举例二维桁架二维桁架 2.2 2.2 杆杆单元和单元和平面桁架平面桁架第二章第二章 杆和梁结

10、构的有限元法杆和梁结构的有限元法jiuud单元节点位移：L 杆长A 截面积E 弹性模量jifff单元节点力：第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法应力应力应变关系：应变关系：dxduE)()()(xxxuu杆单元位移杆单元位移杆单元应变杆单元应变杆单元应力杆单元应力应变应变位移关系：位移关系：第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法杆应变：L杆应力：LEE杆内力：kLEALEAAF杆的轴向刚度：LEAk （一）直接法导出单元特性 杆单元伸长量：ijuu 第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因轴向拉

11、压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因此杆单元的刚度矩阵为：此杆单元的刚度矩阵为：比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：jijijiuuLEAuukkkkff1111LEAk 第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法（二）公式法导出杆单元特性方程（虚功原理）单元上假设近似位移函数单元上假设近似位移函数位移模式位移模式单元上位移假设为线性多项式函数：单元上位移假设为线性多项式函数：xaau10用插值法把多项式中的待定系数用插值法把多项式中的待定系数 转化为待定节点位转化为待定节点位移移u ui i,u,uj j, ,从而

12、得到从而得到插值形式插值形式的假设位移函数的假设位移函数单元位移模单元位移模式如下：式如下：01,aa( )( )( )iijju xN x uNx u( )1,( )ijxxNxNxLL上式中：形函数。中称为形状函数，简称是插值基函数，有限元jiNN ,第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法 单元位移模式写成矩阵形式：NdjijiuuNNu( )( )( )iijju xN x uNx u注意：位移模式采用一次多项式是因为单元只有2个轴向位移分量， 只能对应2个多项式系数。称称为为单单元元形形函函数数矩矩阵阵。,jiNNN式中第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限

13、元法单元应变：BddNdxddxdu单元应变矩阵 B单元应力：BdEE 下面应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。NdjijiuuNNu( )( )1/1/ijdN xNxLLdx B第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法 弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹性体内的虚应变能。平衡条件对于杆单元，定义虚位移如下：jiuud节点虚位移：单元虚位移：dNu节点力（外力）虚功：fdT则单元虚应变：dB)( udxdq虚位移原理第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法单元虚应变能：dBBdBdBdTdVEdVEdVVVVTTTT对杆单元应用虚功原理，得：ddBB

14、dfdTdVEVTT考虑到 的任意性，立刻得到：kddBBfTdVEVVdVEBBkT这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。杆单元刚度矩阵第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法对于上面的杆单元：与前面直接法得到的公式相同！VdVEBBkT第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法（三）关于杆单元的讨论（三）关于杆单元的讨论1 1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量，单元共有）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量，单元共有 2 2个自由度。个自由度。2 2）单元刚度矩阵元素的物理意义：）单元刚度矩阵元素的物理意义：刚度方程中令：刚度方程中令：01

15、jiuu2111kkffjijijiuukkkkff22211211单元刚度方程第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法 所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单元的第i个自由度位移为，其它自由度位移为时，施加在单元上的所有节点力分量。）单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。2111kkffji第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法（四）举例（四）举例例1：求图示段杆中的应力。解：系统分为个杆单元，单元之间在节点连接。 单元刚度矩阵分别为：第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法参考弹簧系统的方法，装配系统的有限元方程（平衡方程）：

16、321321110132022FFFuuuLEA引入边界位移约束和载荷：系统平衡方程化为：31200110132022FPFuLEA第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法上述方程组中删除第，个方程，得到：位移解：0103321EAPLuuu单元1应力：APEAPLLELuuELEE3031211131200110132022FPFuLEA解得：第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法单元2应力：APEAPLLELuuELEE33023222提示：1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采用有限元单元应力公式 的结果相同。2）对锥形杆，单元截面积可用平均值

17、。3）求应力之前需要求出节点位移有限元位移法。BdEE第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法例题2：已知：求：杆两端的支反力解第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法（一）2-D空间中杆单元（平面桁架）1-D空间杆单元 2- D空间杆单元 坐标变换第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法原来1-D空间中的杆坐标系作为局部坐标系iiuv（ ， ）iivu ,( , )x yYX,第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法向量的坐标变换矩阵为：lmmlTTTT1显然是正交阵，即：2. 单元节点位移向量的变换式或Tdd T00TT3. 单元节点

18、力向量的变换式：Tff 第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法1. 节点位移向量的坐标变换：iidTd第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法4.刚度矩阵的坐标变换局部坐标系下杆单元的刚度方程为：扩充到4自由度形式：yjxjyixijjiiffffvuvuLEA0000010100000101fdk写成矩阵符号形式：Tdd Tff 第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法利用前面的向量坐标变换式，得：TfTdk考虑到变换矩阵的正交性，得：fTdkTT总体坐标系中的杆单元刚度矩阵为：TkTkTTfTdkfkd 用单元刚度矩阵装配系统刚度矩阵的方法与1-

19、D情况相同，按节点号对子块重新排列。第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法5. 单元应力计算：即：第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法（二）例题平面桁架由2根相同的杆组成（E，A，L）。求：1）节点2位移2）每根杆应力解：1. 求出每个单元在总体坐标下的刚度矩阵：第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法单元1：1-22245ml，1111TkTkT111111111111111121100110000110011000001010000010111001100001100112222LEALEAT2211vuvu第二章第二章 杆和梁结构的有限元法

20、杆和梁结构的有限元法单元2：2-32222135ml，22T22TkTk111111111111111121100110000110011000001010000010111001100001100112222LEALEAT3322vuvu第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法2. 将单元1，2的刚度矩阵扩大到系统规模（6阶）叠加得到总刚度矩阵，再列出系统平衡方程：第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法3. 引入边界约束和载荷：则上面6阶有限元方程凝聚为：212220022PPvuLEA4. 解出未知位移：2122PPEALvu第二章第二章 杆和梁结构的有限元法

21、杆和梁结构的有限元法5. 按公式计算杆应力：得到：)(220011112221211PPAPPEALLE)(220011112221212PPAPPEALLE第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法平面内一般梁单元简单梁单元（弯曲变形）三维空间梁单元简介2.3.12.3.22.3.3结构总刚度矩阵及其性质结构总刚度矩阵及其性质梁单元的单元特性梁单元的单元特性梁单元的单元刚度矩阵梁单元的单元刚度矩阵离散结构的整体分析离散结构的整体分析平面刚架的整体分析平面刚架的整体分析单元与节点单元与节点局部坐标系下的平面梁单元局部坐标系下的平面梁单元单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换三

22、维空间梁单元刚度矩阵三维空间梁单元刚度矩阵 2.3 2.3 梁梁单元和单元和平面刚架平面刚架第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法一、离散化，节点位移与节点载荷一、离散化，节点位移与节点载荷对图对图(a)(a)直梁，根据结构和载荷情况，分为直梁，根据结构和载荷情况，分为3 3段，每段段，每段为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的物理模型是物理模型是“焊接焊接”。ifi 梁上任一节点梁上任一节点i i处有处有2 2个位移分量：个位移分量： 挠度挠度 及转角及转角 。第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法 一个节

23、点位移用列阵表示为：一个节点位移用列阵表示为： Tiiiiiff i称为节点称为节点i i的的节点位移节点位移。对应节点位移分量，梁上任一节点对应节点位移分量，梁上任一节点i i的载荷也有的载荷也有2 2项：项： 横向力横向力 和弯矩和弯矩 ，称为，称为广义力广义力。iZiM第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。 iQ称为节点称为节点i i的节点载荷。的节点载荷。 TiiiiiMZMZQ结构上一个节点的载荷用列阵表示为：结构上一个节点的载荷用列阵表示为：第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的

24、有限元法二、单元特性分析建立简单梁单元的单元刚度方程v 单元有2个节点，节点局部编号：i，j 。每节点有2个位移分量，单元共有4个位移分量4个自由度；v 分析一个从上述离散梁结构中取出的典型梁单元 e。单元长度l，弹性模量E，截面惯性矩为J。第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法 Tjjiieff称为单元e的单元节点位移列阵（向量）。 ev 单元节点位移：v 结构中一个单元一般在结构中一个单元一般在节点处节点处的截面上要受到结构其它部分的截面上要受到结构其它部分对该单元的作用力，称为对该单元的作用力，称为单元节点力单元节点力。该单元每节点。该单元每节点2 2个节个节点力分量：剪

25、力点力分量：剪力q q，弯矩，弯矩m m（分别与节点的（分别与节点的2 2个位移分量对个位移分量对应）。应）。第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法v 注意：注意：v如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与单元局部坐标轴正方向一致。因此，节点力正方向与材料力学中内力正方向的定义不同！v节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。 Tjjiiemqmqp称为单元e的单元节点力列阵（向量）。 ep单元节点力：第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法 2、单元特性的建立v与杆单元类似，一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一与杆单元类似，一个梁单元的变形是

26、由节点位移决定的，对于一个受力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，个受力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，这个关系就是单元的特性（刚度特性）。这个关系就是单元的特性（刚度特性）。v 下面根据材料力学和单元刚度矩阵元素物理意义建立梁单元特性。下面根据材料力学和单元刚度矩阵元素物理意义建立梁单元特性。在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节点位移之在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节点位移之间有线性关系：间有线性关系：jjiijjiiffaaaaaaaaaaaaaaaamqmq44434241343332312423222114131211

27、v简记为： eeekp第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法上式就是梁单元的刚度方程。上式就是梁单元的刚度方程。 称为单元刚度矩阵，其中每个元素都是称为单元刚度矩阵，其中每个元素都是常数。常数。 ek为了求刚度矩阵元素，在上式中假设：为了求刚度矩阵元素，在上式中假设：00014321uuuu413121114321aaaassss方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为：4321444342413433323124232221141312114321uuuuaaaaaaaaaaaaaaaassss（这里1，

28、2，3，4是单元自由度序号）第第1 1列刚度元数就是第列刚度元数就是第1 1个节点位移分量为个节点位移分量为1 1，其他位移分量皆为，其他位移分量皆为0 0时所有时所有节点力分量。节点力分量。刚度方程第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法按上述物理意义求刚度矩阵元素：按上述物理意义求刚度矩阵元素： 0001e413121114321aaaassss按材料力学悬臂梁变形公式求节点力如下：按材料力学悬臂梁变形公式求节点力如下：挠度：挠度：EJlsEJlsu23122311转角：转角：EJlsEJlsu221220联立解出：联立解出：21221131612alEJsalEJs再由梁单

29、元的静力平衡条件得：再由梁单元的静力平衡条件得：41221431313612alEJslssalEJss梁单元位移至此已求出刚度矩阵的第至此已求出刚度矩阵的第1 1列元素。列元素。第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法再设： 0010e423222124321aaaassss4321444342413433323124232221141312114321uuuuaaaaaaaaaaaaaaaassss同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：lEJalEJa4622212lEJalEJa2642232梁单

30、元变形梁单元变形由刚度方程可得：由刚度方程可得：第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法同样的方法可以求出其余同样的方法可以求出其余2列元素，从而求出单元刚度矩阵：列元素，从而求出单元刚度矩阵： 2222346266126122646612612lllllllllllllEJke显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质：显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质：1）对称性；）对称性；2）奇异性；）奇异性；3）主对角元素恒正）主对角元素恒正。 eeekpv刚度矩阵求得后，单元特性就完全确定：刚度矩阵求得后，单元特性就完全确定：第二章第二章 杆和梁结构

31、的有限元法杆和梁结构的有限元法v采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程按节点进行分块。采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程按节点进行分块。单元节点力列阵分块：单元节点力列阵分块： ejieppp ejie单元节点位移列阵分块：单元节点位移列阵分块：分块形式的单元刚度矩阵：分块形式的单元刚度矩阵： ejjjiijiiekkkkk上面每一子块均为上面每一子块均为21子列阵。子列阵。 每一子块均为每一子块均为22子矩阵子矩阵 3、单元刚度方程的分块 eeekp第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法v将上式按分块矩阵乘法展开，得两个矢量方程（共将上式按分块矩阵乘法展开

32、，得两个矢量方程（共4个代数方程）：个代数方程）：ejeijeieiieikkpejejjeiejiejkkp因此，单元刚度方程分块形式表示为：因此，单元刚度方程分块形式表示为：ejiejjjiijiiejikkkkpp eeekpv从上面方程可以看出梁单元刚度矩阵子块的物理意义：相关节从上面方程可以看出梁单元刚度矩阵子块的物理意义：相关节点位移对对应节点力的贡献。点位移对对应节点力的贡献。第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法v 上面按分块形式表示的单元刚度方程上面按分块形式表示的单元刚度方程节点力节点力节点位移关系在整体分析中集成单元特性时更加简节点位移关系在整体分析中集成

33、单元特性时更加简洁，在有限元分析中广泛采用。洁，在有限元分析中广泛采用。第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法三、离散结构的整体分析121122211211121kkkkpp232233322322232kkkkpp343344433433343kkkkpp设已知分块形式的各单元特性方程：设已知分块形式的各单元特性方程：第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法 以离散结构的各节点作为隔离体，以节点以离散结构的各节点作为隔离体，以节点2为例，建立其平衡方程。为例，建立其平衡方程。单元节点力的反作用力外载荷单元节点力单元节点力v 节点节点2的受力分为两类：的受力分为两

34、类： 1）外载荷：）外载荷： 2）单元（）单元（1）、（）、（2）上节点力的反作用力：）上节点力的反作用力：22,MZ22221212,mqmq第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法v 由节点由节点2的静力平衡条件得：的静力平衡条件得： 221222221212222ppmqmqMZQ单元节点力的反作用力外载荷单元节点力单元节点力节点节点2 2的外载荷的外载荷= =节点节点2 2对其所有相连单元的节点力之和（节点总内力）对其所有相连单元的节点力之和（节点总内力）也就是节点也就是节点2 2所受外载荷所受外载荷 要分配到相连的单元上。要分配到相连的单元上。2Q第二章第二章 杆和梁结

35、构的有限元法杆和梁结构的有限元法v由前面给出的单元（由前面给出的单元（1 1）、（）、（2 2）分块形式）分块形式单元刚度方程代入节点单元刚度方程代入节点2 2的平衡方程：的平衡方程：121122211211121kkkkpp232233322322232kkkkpp 32232222122112122122)(kkkkppQ 121221112112kkp 232232222222kkp第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法v同理，由节点3的平衡可得： 43343333233223233233)(kkkkppQv由节点1、4的平衡得： 21121111111kkpQ 4344

36、3343344kkpQ43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk 将上面4个节点的平衡方程合并，写成矩阵形式得：第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法 QK上式简写为：上式简写为： QK 结构（系统）有限元平衡方程结构（系统）有限元平衡方程 344343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkkK第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法l 结构总刚度矩阵也可以由各单元刚度矩阵扩大到整体规模后叠结构总刚度矩阵也可以由各单元刚

37、度矩阵扩大到整体规模后叠加而成，方法同前面的弹簧单元和杆单元。加而成，方法同前面的弹簧单元和杆单元。l 由于单元刚度矩阵在扩大和叠加过程中，其具有的性质（对称由于单元刚度矩阵在扩大和叠加过程中，其具有的性质（对称、奇异、主对角元恒正）不变，因此结构总刚度矩阵仍然保持、奇异、主对角元恒正）不变，因此结构总刚度矩阵仍然保持这些性质。这些性质。l 总刚度矩阵中有大量元素为总刚度矩阵中有大量元素为0 0，因此矩阵具有稀疏性，因此矩阵具有稀疏性l 非零元素沿主对角线呈带状分布（节点编号满足一定条件）。非零元素沿主对角线呈带状分布（节点编号满足一定条件）。 结构总刚度矩阵的讨论：第二章第二章 杆和梁结构的

38、有限元法杆和梁结构的有限元法 总之，从弹簧、直杆和梁结构有限元总刚度矩总之，从弹簧、直杆和梁结构有限元总刚度矩阵的特点可以归纳出结构有限元总刚度矩阵的阵的特点可以归纳出结构有限元总刚度矩阵的性质如下：性质如下： 1 1）对称性；）对称性； 2 2）奇异性；）奇异性； 3 3）稀疏性；）稀疏性； 4 4）非零元素带状分布）非零元素带状分布第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法 结构有限元平衡方程的讨论：43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk平衡方程左边总刚度矩阵与位移列阵之积等于结构中各

39、节点的平衡方程左边总刚度矩阵与位移列阵之积等于结构中各节点的总节点力（各节点对相关单元作用力之叠加）；因此，总刚每总节点力（各节点对相关单元作用力之叠加）；因此，总刚每行各子块表征相应节点位移对该行对应总节点力的贡献行各子块表征相应节点位移对该行对应总节点力的贡献总总刚子块的物理意义。刚子块的物理意义。第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk平衡方程右端是各节点外载荷，左端是由节点位移和单元刚度平衡方程右端是各节点外载荷，左端是由节点位移和单元刚度矩

40、阵子块叠加计算得到的总节点力。因此，有限元平衡方程表矩阵子块叠加计算得到的总节点力。因此，有限元平衡方程表征了系统各节点所受外载荷与所受所有相关单元反作用总力（征了系统各节点所受外载荷与所受所有相关单元反作用总力（总节点力）之间的平衡。总节点力）之间的平衡。结构有限元平衡方程可以叙述为：结构有限元平衡方程可以叙述为： 总节点力（内力）总节点力（内力） = = 节点外载荷。节点外载荷。第二章第二章 杆和梁结构的有限元法杆和梁结构的有限元法43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk对于特定结构，方程中必存在已知位移和相应的未知载荷对于特定结构，方程中必存在已知位移和相应的未知载荷（支反力），因此，平衡方程求解前必须进行约束处理，（支反力），因此，平衡方程求解前必须进行约束处理，分离出关于未知位移的方程进行求解。然后再用求出的位分离出关于未知位移的方程进