数学分析-第十三章函数列与函数项级数ppt课件

1、2 一致收敛函数列与函数项一致收敛函数列与函数项级数的性质级数的性质一致收敛级数的基本性质一致收敛级数的基本性质定理定理1 1 如果级数如果级数 1)(nnxu的各项的各项)(xun在区间在区间 ba, 上都连续上都连续, ,且且 1)(nnxu在区间在区间 ba, 上一上一致收敛于致收敛于)(xs, ,则则)(xs在在 ba, 上也连续上也连续. .证证 设设xx ,0为为 ba,上上任任意意点点由由)()()(),()()(000 xrxsxsxrxsxsnnnn )()()()(00 xrxrxsxsnnnn (1)()()()()()(000 xrxrxsxsxsxsnnnn 级级数数

2、 1)(nnxu一一致致收收敛敛于于)(xs，对对0 ，必必 自自然然数数)( NN ，使使得得当当Nn 时时,对对 ba,上上的的一一切切x都都有有3)( xrn(2).3)(0 xrn同样有同样有故故)(xsn(Nn )在在点点0 x连连续续，(3)0 当当 0 xx时总有时总有 3)()(0 xsxsnn由由(1)、(2)、(3)可见可见,对对任任给给0 ，必必有有0 ，当当 0 xx时时，有有.)()(0 xsxs)(xsn是是有有限限项项连连续续函函数数之之和和，所所以以)(xs在在点点0 x处处连连续续，而而0 x在在ba,上是任意上是任意的，因此的，因此)(xs在在ba,上连续上

3、连续定理定理2 2 如果级数如果级数 1)(nnxu的各项的各项)(xun在区间在区间 ba, 上都连续上都连续, ,且且 1)(nnxu在区间在区间 ba, 上一上一致收敛于致收敛于)(xs, ,则则)(xs在在 ba, 上可以逐项积分上可以逐项积分, ,即即 xxxxxxdxxudxxudxxs000)()()(21 xxndxxu0)(其其中中bxxa 0, , 并并且且上上 式式右右 端端的的 级级数数 在在 ba, 上上也也一一致致收收敛敛. .(4)证证 级级数数 1)(nnxu在在ba,一一致致收收敛敛于于)(xs, 由定理由定理 1, )(xs，)(xrn都在都在ba,上连续，

4、上连续，所以积分所以积分 xxdxxs0)(， xxndxxr0)(存在存在,从而有从而有 xxnxxdxxsdxxs00)()( xxndxxr0)(.)(0 xxndxxr又由级 数的一 致收 敛性又由级 数的一 致收 敛性,对任 给正数对任 给正数 必 有必 有)( NN 使得当使得当Nn 时时,对对ba,上的一切上的一切x,都都有有.)(abxrn xxnxxdxxsdxxs00)()( xxndxxr0)(.)(0 xxqb根据极限定义，有根据极限定义，有 nixxnnxxnnxxdxxudxxsdxxs1000)(lim)(lim)(即即 100)()(ixxixxdxxudxxs

5、由于由于N只依赖于只依赖于 而于而于xx ,0无关，无关，所以级数所以级数 10)(ixxidxxu在在ba,上一致收敛上一致收敛.于于是是，当当Nn 时时有有定理定理3 3 如如果果级级数数 1)(nnxu在在区区间间 ba, 上上收收敛敛于于和和)(xs，它它的的各各项项)(xun都都具具有有连连续续导导数数)(xun ，并并且且级级数数 1)(nnxu在在 ba, 上上一一致致收收敛敛，则则级级数数 1)(nnxu在在 ba, 上上也也一一致致收收敛敛，且且可可逐逐项项求求导导，即即 )()()()(21xuxuxuxsn(5)注意注意: :级数一致收敛并不能保证可以逐项求导级数一致收敛

6、并不能保证可以逐项求导. .例如，级数例如，级数 22222sin22sin1sinnxnxx在任何区间在任何区间,ba上都是一致收敛的上都是一致收敛的.逐项求导后得级数逐项求导后得级数,cos2coscos22 xnxx.,发散的发散的都是都是所以对于任意值所以对于任意值因其一般项不趋于零因其一般项不趋于零x所以原级数不可以逐项求导所以原级数不可以逐项求导定理定理4 4 如如果果幂幂级级数数 1nnnxa的的收收敛敛半半径径为为0 R, ,则则其其级级数数在在),(RR 内内的的任任意意闭闭区区间间 ba, 上上一一致致收收敛敛. .进一步还可以证明，如果幂级数进一步还可以证明，如果幂级数

7、1nnnxa在收敛在收敛区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包含端点含端点幂级数的一致收敛性幂级数的一致收敛性定理定理5 5 如 果 幂 级 数如 果 幂 级 数 1nnnxa的 收 敛 半 径 为的 收 敛 半 径 为0 R，则其和函数，则其和函数)(xs在在),(RR 内可导，且内可导，且有逐项求导公式有逐项求导公式 111)(nnnnnnxnaxaxs, ,逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径敛半径证证在在),(RR 内任意取定内任意取定x，在限定，在限定1x，使得，使得Rxx 1记记11

8、 xxq，则，则先先证证级级数数 11nnnxna在在),(RR 内内收收敛敛,1111111111nnnnnnnnxaxnqxaxxxnxna 由比值审敛法可知级数由比值审敛法可知级数 11nnnq收敛，收敛，),(01 nnqn于是于是故故数数列列1 nnq有有界界，必必有有0 M，使使得得), 2 , 1(111 nMxnqn又又Rx 10，级级数数 11nnnxa收收敛敛，由由比比较较审审敛敛法法即即得得级级数数 11nnnxna收收敛敛 由由定定理理 4，级级数数 11nnnxna在在),(RR 内内的的任任意意闭闭区区间间ba,上上一一致致连连续续，故幂级数故幂级数 1nnnxa在在ba,上适合定理上适合定理 3 条件，从条件，从而可以逐项求导而可以逐项求导即即得得幂幂级级数数 1nnnxa在在),(RR 内内可可逐逐项项求求导导.设幂级数设幂级数 11nnnxna的收敛半径为的收敛半径为R ,RR 由由ba,在在),(RR 内的任意性，内的任意性， 将将此此幂幂