双曲线方程知识点详细总结

1、双曲线方程I .双曲线的第一定义："1卜度/卜加W人/曲程为双曲线田】卜降|卜2aA岛门氏轨迹"卜度卜方=医/以F/工的一个端点的一条射线JPy2r2双曲线标准方程：JA1射般方程：/2?'=i（/Cy（i）._zL口或J Pi.焦点在x轴上：顶点：焦点：（磔工卜喇准线方程工一£渐近线方程:II .焦点在，轴上：顶点：8点M.焦点：Q.骐1T.准线方程：一一"T.渐近线方程：口r=asccB7=859或或=v=astc0轴工?为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距2c.离心率a.准线距£（两准线的距离）；通径a.参数关系焦点半径公式

2、：对于双曲线方程线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）长加短减”原则：1/7rl卜%+a匹=肛。构成满足肛卜/卜加M#iI=h.一重j|=-"也焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）1111=WL等轴双曲线：双曲线1'寸=±/称为等轴双曲线,为1y=打，离心率。=亚.（月4分别为双曲共轲双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轲双曲-=s-=U1互为共轲双曲线，它们具有共同的渐近线:共渐近线的双曲线系方程:二一片=a（a*o）-=oE±=qo3序的渐近线方程为XP如果双曲线的渐近线为<ib时，它的双曲

3、线方程可设为例如：若双曲线一条渐近线为y=-x总）?且过2,求双曲线的方程?1IfJ0.1=解：令双曲线的方程为：4，代入2得*2直线与双曲线的位置关系：区域:区域:区域:区域:区域:无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线0、2、3、4 条.i( A''法与渐近线求交和两根之和P到两准线的距离比为m : n.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直

4、线数目可能有(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个，求确定直线的斜率可用代入与两根之积同号.2=1若P在双曲线".，则常用结论1:P到焦点的距离为m=n,KI外简证：=n.常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.双曲线的标准方程和简单几何性质标漉方程22-=1(口>0,匕>0)a*b*4-一一T=i,b*tZA/图形A/范围W之门jERJ'|之.产£尺对称性既是中心对称，又是轴对称，原点是双曲线的对称中心，工轴和P轴是双曲线的对称轴顶点(a0>(-a:0)(0:a),(p.-a)离心率e=-e(lf+3o)a焦点go)zo)实轴

5、长2a虚轴长2b准线方程x=±cy=±c新近线方程by=士一/a,av=±-X“b通径a4、点式飞此）和改曲线5一二二1>0/>0）的位置关系ad5、求双曲线的方程，用待定系数法，先定位，后定里中常见考法在段考中，多以选择题、填空题和解答题的形式考查双曲线的简单几何性质。选择题和填空题一般属于容易题，解答题一般属于难题。在高考中，一般以解答题的形式融合其它圆锥曲线联合考查双曲线的几何性质，难度较大。误区提醒1、求双曲线的方程，用待定系数法，先定位，后定量。不确定时要分类讨论。2、如果双曲线中，涉及双曲线上的点到焦点的距离或涉及焦点弦，一般可考虑使用双曲

6、线的定义，使用几何法求解，比使用方程组要简单。【典型例题】例1F为低曲线人器二1右支上一点，再3分别是圆0+4a/=&和/=1上的点，则刎-间的最大值为多少？解：H曲线的两个焦点为五L4,、月（4口）为两个园的图心，半径分另昉=1,|册-I序1+2，倒一二呼故IM-I朋I的最大值为（1用1+2）-（匝|-1）二I朋I一|+3=5.例2口）已知双曲线关于两坐标轴对称，且与图/+/工10相交于点收3,-1），若此图过点尸的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程孑幻已知双曲线的离心率1坐,且与椭圆+9=1有共同的焦点，求该双曲线的方程.解：（1）切直为-1）的图1+/=1口的切线方程

7、是3工-厂10丫双曲线的一条新近线与此切线平行，且双曲线关于西坐标轴对称，两渐近线方程为3x±_r=O.设所求取曲线方程为上1片声口）.,点/白，-1）在双曲线上，代人上式可得上=B山工所求的双曲线方程为5=1.oUoUT（2）在图中，黑点坐标为（士听，。），|/.r=V103又一=坐，f=2一aa2例3已知双曲线C:尸是C上的任意点.a）求证：点尸到双曲线r的两条珈近线的距离的乘积是一个常数;设点1的坐标为0）,求I朋的最小值.解：（1）证明：设尸况，夕）是双曲线上任意一点，该双曲线的两条新近线方程分别是x-2y=0和x+2k0,点尸a"夕）到两条新近线的距离分别是上空如区等1mV5普的而如曰1$-2夕J|*；+2夕:|_|内-4