甘肃省兰州市中考数学试卷及解析

1、2016年甘肃省兰州市中考数学试卷及解析一、选择题：本大题共 15小题，每小题4分，共60分，在每小题给 出的四个选项中仅有一项是符合题意的。1 .如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】主视图是从正面看到的图形，从正面看有两行，上面一行最左边有一个正方形，下面一行有三个正方形，所以答案选A.2y=-2 .反比例函数F X的图像在（）（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第二、三象限（D）第二、四象限【答案】B【解析】反比例函数"=孑的图象受到k的影响，当k大于0时，图象位于第一、三象限，当k小于0时，图象位于第

2、二、四象限，本题中k =2大于0,图象位于第一、三象限，所以答案选B.3 .已知 ABCDEF,若 4ABC与 DEF的相似比为3,则 ABC与4 DEFM应中线的比为()(A) 3(B) 4(C) -(D) 1643169【答案】A【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为 -,4即对应中线的比为所以答案选A. 44 .在 Rt ABC 中，/ O 90°, sinA = 3 , BO6,则 AB=()5(A) 4(B) 6(C) 8(D) 10【答案】D【解析】在Rt ABC中，sinA = &q

3、uot;C = -6- = °,解得AB=10,所以答 AB AB 5案选D.5 .一元二次方程 %2尤+1=°的根的情况()(C)有两个不相等的实数根(D)没有实数根【答案】B【解析】根据题目，？ = b24口白=0,判断得方程有两个相等的实数根, 所以答案选B.6.如图，在 ABC中,DE/ BC,若第3,则条方程为()3(D) 5【答案】C【解析】根据三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截得些=竺=2,所以EC DB 3其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例, 答案选C.7 .如图，在。中，点C是10的中点，/ A= 50o ,则/ BO及()(A)

4、40o (B) 45o (Q 50o (D) 60o【答案】A【解析】在OAB, OA= OB所以/A= / B= 50o .根据垂径定理的推论，OC平分弦AB所对的弧，所以 OC垂直平分弦 AB,即/ BO及90o? /B= 40o ,所以答案选A.8 .二次函数尸丈一工叶4化为广机区一疗+k的形式，下列正确的是( )(A) y=(x+1) 2+2(B) y=(x-1) 2+3(C) y=(x-2) 2+2(D) y=(x-2) 2+4【答案】B【解析】在二次函数的顶点式 y = a(x-h) 2+k中，2h=-_b_=- = i,k= 4ac b =16_ = 3,所以答案选 B. 2a

5、24a 49.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了 1m,另一边减少了 2m,剩余空地的面积为18nT,求原正方形空地的边长。设原正方形的空地的边长为xm,则可列(A) (x+lX+2) = 18(B) k -3x+16 = Q(C) (x-l>x-2) = 18(D) x3 +3a+16 = 0【答案】C【解析】设原正方形边长为x m,则剩余空地的长为(x1) m,宽为(x2 ) m ,面积为(x 1) X(x 2) =18.10.如图，四边形 ABCD内接于 O O,四边形ABCO是 平行四边形，则/ ADC=()(A) 45o(B)

6、 50o(C) 60o(D) 75o【答案】C【解析】 连接OB,则/ OA四/ OBA, / OC& / OBC四边形ABCO是平行四边形，/ OAB=/ OCB/ OBA= /OBC丁. / ABO / OBAP / OBC= / AOC丁./ABO / AOC= 120o/ OA& / OC& 60o,连接 OD,则/ OA乐 / ODA / OC& / ODC由四边形的内角和等于 3600可知, / ADC= 3600 / OAB- / ABC- / OCB- / OAD- / OCD丁./ADC= 600.11 .点小一1,队里3 %）, 月6均在二次

7、函数y=r、2x+c的图像上，则的大小关系是（）（A）%£为 同 为>为=%（D）y=y2>y【答案】D【解析】将R,P2,P3坐标分别代入二次函数，可知y尸y2,y3=-15+c,由二次函数的性质可知，该函数图像的顶点坐标为（1,c+1）,且关于x=1对称，在P2到P3为单调递减函数，所以 y2>y3,所以y尸y2>y3.12 .如图，用一个半径为 5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了 1080，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(A) c cm(B) 2c cm(C) 3 71cm(D) 5冗 cm亚构【答案】C【解析】利用弧长

8、公式即可求解.13 .二次函数y二3V + bx+c的图像如图所示，对称轴是直线x=-l，有以下结论：abc>0;2a+b=0;a-b+c>2.其中正确的结论的个数是()(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4【答案】C【解析】av0,b v0,c >0,故正确；抛物线与 x轴有两个交点，故正确； 对称轴为x = 1,化简得2a b = 0,故错误；当X = 1时,所对应的y值>2,故正确.14 .如图，矩形 ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE / BD, DE/ AC ,AD= 2弗，DE =2,则四边形OCED的面积为()(A) 2 VS (B)4(C)4a

9、/3| D) 8【答案】A【解析】CE/ BD, DE / AG二四边形OCED是平行四边形，O& EC, OC= DE.矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,O& OC.连接 OE, -.DE= 2, DO 2, DE= 2K二四边形OCED的面积为DC>OE 2g .2y=15.如图，A B两点在反比例函数工？的图像上，C、D两点在反比例函数的图像上，AC交x轴于点E,BD交x轴于点F , AC=2,BD=3,EF=103 贝k 2-k 1=()【解析】连接 AF, CF, DE BE, OA OB OCC OD【答案】ASL ACF=Sx AOE+Sx EOc+

10、SL AOf+SL COF,(D)6.心|+| k2|+ - - OF- AC=1AC EF, 2222D=S>A DOf+SL EOD+SkEOB,' SzEBf+Sa bo. | k1|+| k2|+ 1 OF- BD=1BD- EF, 2222代入具体数值化简得：W=6=2,.二 k2-ki=4.二、填空题：本大题共 5小题，每小题4分，共20分.16 .二次函数+ 4*-3的最小值是【答案】-7【解析】本题考查二次函数最值问题，可将其化为顶点式y="+2-717 . 一个不透明的口袋里装有若干除颜色外完全相同的小球，其中有 6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸

11、出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%,由此估计口袋中共有小球 个.【答案】20【解析】本题为概率问题，考查了概率中的相关概念切一 118 .双曲线）一二；在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是.【答案】m v 1【解析】根据题意得m-1<0,则m<1.19 . YABCD的对角线 AC与BD相交于点O,且AC1BD,请添加一个条件：,使得YABCD为正方形.【答案】AC= BD 或/ BAD= 90° 或/ ABO90° 或/BC氏 90° 或/CDA90【解析】由题知四边形ABCD为菱形，

12、所以只需一个角为 90度，或对角线相等.20 .对于一个矩形 ABCD及。M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形 ABCD的四个顶点到。M上一点的距离相等，那么称这个矩形 ABCD是。M 的“伴侣矩形”。如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l : 片区-3 交x轴于点M, OM的半径为2 ,矩形ABCD沿直线l运动（BD在直线 l上），BD=Z AB / y轴，当矩形ABCD是。M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为 .4c【答案】5一今-9)或(依+也) 222 2【解析】四边形ABCD的四个顶点到其对角线交点的距离相等，只有当该交点在圆上时满足题意.三、解答题：本大题共 8小题，共70分，解答时

13、写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。21 .(本小题满分10分，每题5分)(1)花+(l)-1-2cos 45 ° -( ti-2016) 0; 2(2)2y 2+4y=y+2.【解】(1) .2+1. (2)yi=- ,y2=-2.222 .(本小题满分5分)如图，已知 。0,用尺规作 。的内接正四边形ABCD.(写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)【解】如图，四边形ABCD即为所求。过圆心作直线BD,交。于B、D 两点，作线段BD的垂直平分线，交。于A、C两点，连接AD、DC CB AB ,四边形ABCD即为所求的正四边形.23 .（本小题满分6分

14、）小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每 人从1 , 2,，8中任意选择一个数字，然后两人各转动一次，如图所示 的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形），两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数，就再做一次上述游戏，直至决出胜负.若小军事先选择的数是 5 ,用3列表法或画树状图的方法求他获胜的概率.【解法1】列表法:、军 小明、134134523456345674567K小军获胜的概率为a=i.【解法2】画树状图法:5 6 7 S小军获胜的概率为- = -. 16 424 .（本小题满分7分）如图，一垂直于地面的灯柱，AB被一钢缆CD固定，C

15、D与地面成45 °夹角（/ CDB=45 ），在C点上方2米处加固另一条钢缆ED, ED与地面成53 ° 夹角（/EDB=53 ）,那么钢缆ED的长度约为多少米?（结果精确到1米，参考数据：sin53 °弋，cos53 °弋，tan53 °弋）【解】 设 BD=x m,则 BC=x m BE=(x+2)m.在 Rt BDE中,BE =tan / EDBDBx 2二，x二, xV BE=sin /EDR ED.ed=L=A06 70.sin EDB 0.80答：钢缆ED的长度约为10米.25.（本小题满分10分）阅读下面材料：我们把一个四边形EF

16、GH是平行四边在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图 1ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接 AC.点G* H分*MCD AD的中点A F分别是ARBt' J三角形GH UGH = -"EF/GH四一 EFGHEF=GH =j是干一用边昭结合小敏的思路作答:（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2）,则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题的方法，解决一下问题.（2）如图2 ,在（1）的条件下，若连接 AC, BD.当AC与BD满足什么条件时，四边形 EFGH是菱形？写出结论并证明；

17、当AC与BD满足什么条件时，四边形 EFGH是矩形？直接写出结论.【解】（1）四边形EFGH2是平行四边形，理由如下：连接 AG.E, F分别是AB, BC的中点,2.G, H分别是CDD AD的中点，.GH1，EF.四边形EFGK平行四边形. 2(2)当AC=BD寸，四边形EFGK菱形，理由如下：由(1)可知四边形EFGK平行四边形，当 AC=BD寸，FG=1BD, EF=1AC, 22FG=EF四边形EFGH菱形.当AC BD时，四边形EFGK矩形.26.(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，OA -LOB , aBx轴于点C，点？鼻、3)在反比例函数 M?的图像上.(1)求反比例

18、函数的T?的表达式；(2)在X轴的负半轴上存在一点 P ,使得 生ao= 1 Saaob,求点P的坐标; 2(3)若将 ABOA绕点B按逆时针方向旋转 60o得到 4BDE ,直接 写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图像上， 说明理由.【解】(1)二点A (褥，1)在反比例函数 尸K的图像上, x/. k= X 1 = 73 ,(2)A (召，1), - 00/3i, AC1.易得 AOCA OBQ 则 Od=AC- BC,可得 BC=3 . . B (曲，-3 ). Saaob= 1 X 石 X 4=2 73 . 21SAOP= S AOB?2SAOP= .设 P (m,0),-

19、 x|m| x 1 = 73 ,2，|m|二2 3.P是x轴的负半轴上一点， m=-23 , P (-2反 0).将 BOA绕点B按逆时针方向旋转 60°得到 BDE此时E (-百，-1),点E在反比例函数y=k的图像上，理由如下： x (- 33 ) X (-1 ) = 33 =k,，点E在反比例函数y=k的图像上. x27.(本小题满分10分)如图，4ABC是。的内接三角形，AB是。的直径，ODJ AB于点Q 分另反 AG CF于点E、D,且DE =DC.(1)求证：CF是。的切线；(2)若。的半径为5, BC = 求DE的长.【证明】(1)连接OC则/ A=/ OCA. ODL

20、 AB,，/A+/ AEO=90 ,V DE=DCDEC= DCE./ AEOy DEC / AEOy DCE，/ OCAV DCE=90 , .CF是。O的切线.【解】（2）作 DHL EC,则/ EDHM A. DE=DC EH=HC1 EC.2.OO的半径是5, BC=A0,，AB=1QAC=3 10. /EAOh BAC, /AOEh ACB=90 , .AEO AABC.AO = AE AC AB '5 10 5.10 AE=3 ,103，EC=AC-AE=310 - 5 10 =4 1033EH=1EC=2J0.23 一/ EDHh A, .sin A=sin / EDH;即BC二更，AB DE10 U