数学物理方法 PPT课件

1、1目的与要求：目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛 朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤 立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。重点：重点：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数第1页/共108页2 无穷级数无穷级数：一无穷多个数构成的数列w1，w2，w3， wn， 写成w1+w2+w3+ wn+ 就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有和数呢？这个和数的确切意义是什么？ 为什么要研究级数为什么要研究级数？ (1) (1) 级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具； (2) (2) 常微分方程的级数解。 研究级数需关心的研究级数需关心的问题：

2、问题： (1) (1) 级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据； (2) (2) 收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。第2页/共108页3 形如形如 的表达式被称为的表达式被称为复数项级数复数项级数，其中其中 是复数是复数。ikkkwuv000innnnkkkkkkswuv010,kkkwwww第3页/共108页4复数项级数的收敛:即为两个实数项级数000limlimliminnnkkknnnkkkwuv极限存在并有限 若在区域内某一点z0点，前n项和极限存在, ,则 00lim()() nnszs z那么级数 在z0点收敛，0kkw为该无穷级数的和；否则称为发散。0()s z例例1 1解解1

3、32ikk判判别别的的敛敛散散性性。1313 (1),lim322iiinnnknnkss即即,3 . i级级数数收收敛敛 且且和和为为第4页/共108页52200kkkkkwuv若若收敛，则称收敛，则称0kkw绝对收敛绝对收敛 对于任一小的正数对于任一小的正数 ，必存在一必存在一 N 使得使得 nN 时有时有11,npk npksw 式中式中 p 为任意正整数为任意正整数.0kkv0kku0kkw第5页/共108页6 0,1:kkzz分分析析级级数数的的2 2散散性性例例敛敛 1-21nnzzzs ,1时时由于当由于当 z 11 ,1nzzz zzsnnnn 11limlim,11z .1时

4、级数收敛时级数收敛所以当所以当 z 的每一项都是复数的模，即正实数，所以它实际上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判别法即正项级数的判别法。0kkw第6页/共108页7 11i (1) nnn1 1 级级数数是是否否收收敛敛？ 解解111 ;nnnun 因因为为发发散散2111 . nnnvn 收收敛敛所以原级数发散. . 例例311(2)(1)ninn 2 2级级数数 是是否否收收敛敛？ 2111 ;nnnun 因因为为收收敛敛3111 . nnnvn 收收敛敛所以原级数收敛. . 第7页/共108页8120( )( )( )( ),kkkw zw zw zw z 设复变函数列wk(z)

5、定义在区域B上，则由wk(z)构成的级数称 当选定z的一个确定值时，函数项级数变成一个复数项级数。 由于函数项级数定义在区域 B上，所以所以它的收敛的概念是相对于这个定义域而言的。第8页/共108页9第9页/共108页10 可由判定： 对于对于任意给定的任意给定的正数正数 ，必存在一必存在一N(z)使得使得nN(z)时有时有1( ),n pkk nwz 则则函数项级数函数项级数收敛，收敛，。第10页/共108页11 ： 若wk(z) 在B内连续，函数级数 在B内一致收敛，则和函数。0( )kkwz 若级数 在区域B B内的分段光滑曲线l上一致收敛，且wk(z)为l上的连续函数，则：0( )kk

6、wz00( )( )ddkkllkkwzzwzz0000lim( )lim( )kkzzzzkkwzwz 这个性质说明：如果级数的每一项都是连续函数，则一致收敛级数可以逐项求极限。第11页/共108页12第12页/共108页13第13页/共108页14第14页/共108页1520010200()()()kkka zzaa zza zz0()kkc zz这是一种这是一种特殊形式的常用函数项级数特殊形式的常用函数项级数。幂级数幂级数：通项为幂函数的级数:第15页/共108页162. 2. 收敛半径的求法收敛半径的求法达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法（比值法）（比值法）: :那末收敛半径那末收敛半径.1

7、 R,0lim 1 kkkaa如果如果 1. 1. 阿贝尔阿贝尔Abel第一第一定理定理 如果级数如果级数 在在z0点点收敛，那么在以收敛，那么在以a点为圆心，点为圆心， 为半径的圆内为半径的圆内绝对收绝对收敛，而敛，而 上一致收敛上一致收敛。0kkkaza0zazaaz 0 如果级数如果级数 在在z1点点发散，则在发散，则在 内处处发散内处处发散。0kkkaza1zaza第16页/共108页17 23001020300kkkazzaa zza zza zz证证由于110100limlimkkkkkkkkazzazzaazz分析分析：（1 1）01 ,zz 当当时时0,zz 级数001 ( )

8、( ),npkkkkk nazznN zwz 圆圆内内满满足足时时 , ,在在的, ,所以01 zz 内内绝绝对对敛敛收,第17页/共108页18所以1.R 注意注意:101 ,zz 由由于于11101010limkkkkkazzzzazz . 1 1 ( ),npkk nwz 满满. .柯柯西西不不足足判判据据001 ,kkkazzz 圆圆发发故故在在外外散散（2 2）当01 ,zz 时时CRz0R第18页/共108页19: :即. R . 2( (极限不存在),),0.1 00 ,kkkazz则则级级数数内内处处处处敛敛在在复复平平面面收收000 ,kkkazzzz则则级级数数对对内内发发

9、于于复复平平面面除除均均散散以外的一切 第19页/共108页20方法方法2:2: 根值法根值法那末收敛半径那末收敛半径11.limkkkRa ,0lim kkka如果如果230010203000000limlimlimkkkkkkkkkkkkazzaa zza zza zza zzzza zzzz : : 0 0 RR( (与比值法相同) )如果第20页/共108页214. 4. 复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质设幂级数的收敛半径为,R 00)(kkkzza是收敛圆内的解析函数。(1) 0)()( kkkz0zazw它的和函数Rz0z 第21页/共108页22(2)在收敛圆

10、内可以逐项积分, , )( zw即 0.,d)(d)(kckkcRazczz0zazzw 且且可表为连续函数的回路积分。1201020( )()()1( )2diRCw zaa zza zzwz 101 ( )d().zkkakafzak或第22页/共108页23 记 CR1上点为 ， CR1内任一点为 z，则圆上的幂级数可写为利用柯西公式用有界函数112 iz 相乘后，在CR1上一致收敛1110102202010201( )2()1122()12()()( )R1CdiddiidiRRRCCCwzaazzzazzaa zza zzw z 0zz1RC201020( )()()waazaz第2

11、3页/共108页2411111201020111( )( )2 ( )( )01020!( )2()()()!222()()() () () ( )didddiiiRRRRnCnnnCCCnnnnnwzaazaznnnzzzaa z za z zwz 且幂级数在收敛圆内可任意逐项求导0zzC1RC证:幂级数 乘以1!12()innz 201020( )()()waazaz (3)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到, )( zw.)()(11 kkkz0zkazw即即Rz0z 第24页/共108页25cosikak因因为为111 limlimkkkkkkkkaeeaee 所所以以故收敛半径

12、故收敛半径.1eR 0(cosi )kkn z例例1求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:解解12cosh(),kkkee, e 第25页/共108页26解解1244 i(cosisin) 因因为为(1 i)nna 所以所以1limnnnaa .2221 R例例201 (i)nnnz求求 的收敛半径的收敛半径.42i,e 42i();nne nnn)2()2(lim1 . 2 第26页/共108页27例例3 计算计算11()d ,.2nlnzzlz 其其中中 为为解解1( )nnw zz和和函函数数 czzzId)111(所以所以20i 01nnzz,111zz cczzzzd11d12 i

13、. 第27页/共108页2800:kkkk数数项项级级数数发发问问如如果果复复和和均散,0()?kkk级级数数发发吗吗也也散散思考题答案思考题答案不一定。幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定? ?由于在收敛圆周上z确定, , 可以依复数项级数敛散性讨论。思考题答案思考题答案第28页/共108页29 3.2 3. (1)（4）(5） 4. (1)(3)第29页/共108页30问题问题: : 任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？思路思路: : 1 区域内任一个解析函数能用它在边界上回路积分表示（柯西积分公式），1212( )( )di( )dillff zzfz Bz

14、l 2 幂级数又可表为连续函数的回路积分。1201020( )()()1( )2dRCw zaa zza zzwiz 第30页/共108页31其中其中泰勒级数泰勒级数定理定理设设)(zfB0z为为B 内的一内的一d为为0z到到B的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离, , 那末那末点点,dzz 0时时,成立成立,当当 00)()(kkkzzazf,2,1,0),(!10)( kzfkakk第31页/共108页320 zr , 设 0内以为zB ,为中心的任一圆周,CRB记为它与它的内部全包含于BRCz.内任意点如图: :r0z.CR. rz 0 圆周由柯西积分公式 , , 有1( )(

15、),2diCRff zz 其中 CR 取正方向。 为了得到幂级数，我们展开公式的为幂的几何级数：第32页/共108页330001111zzzzz 则, , 的内部在点上取在圆周因为积分变量CRzCR .1 00 zzz 所以 200000)()(11zzzzzzz 00()kzzz 10001() .()kkkzzz 用有界函数 12 if 相乘后得第33页/共108页3401001( )().2()dikkkCRfzzz 0010)()(d)(21)( kkCRkzzzfizf 由高阶导数公式: : 0110!( )()2()dikkCRkffzz ( )00000()( )()()!kkk

16、kkkfzf zzzazzk我们即可得泰勒级数泰勒级数的泰勒展开式泰勒展开式。)(zf在0z, )(!10)(zfkakk 第34页/共108页35;,00级数称为时当 z )( zf因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性; ; 注意：注意： 所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多。说明说明:问题：问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数， 展开式是否唯一？展开式是否唯一？第35页/共108页36当展开点：z=z1=z0时：000(),f zba011(),fzba即因此, , 解析函数展开成幂级数的结果唯一的。 212110)()()(zzbzzbbzf,)(1 kkz

17、zb )(1另有一不同泰勒级数:设在zzf 211111! 2! 1zzzfzzzfzf , )(!10)(zfkakk bk 第36页/共108页37常用方法常用方法: 直接法和间接法直接法和间接法. .1.1.直接法直接法:( )01(),0,1,2,!kkafzkk由泰勒展开定理计算系数. )( 0展开成幂级数在将函数zzf例例1，. 0 的泰勒展开式的泰勒展开式在在求求 zez010 1 2( )(), (, , ,)zkzek故有2012!kkzkzzzezkk ( )(),zkzee第37页/共108页38, 在复平面内处处解析因为ze。 R所以级数的收敛半径2. 2. 间接展开法

18、间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式 , , 结合解析函数的性质, , 幂级数运算性质 ( (逐项求导, , 积分等) )和其它数学技巧 ( (代换等) , ) , 求函数的泰勒展开式。间接法的优点间接法的优点: : 不需要求各阶导数与收敛半径 , , 因而比直接展开更为简洁 , , 使用范围也更为广泛。第38页/共108页39例例2 2 )(21sinizizeeiz 210121()()!kkkzk0012( )()!kkkkizizikk. 0 sin 的泰勒展开式在利用间接展开法求 zz第39页/共108页40附附: 常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式20112),!kkz

19、kzzzezkk 201211),kkkzzzzz 20131111)()(),kkkkkzzzzz 3521413521)sin(),!()!kkzzzzzk )1( z)1( z)( z)( z第40页/共108页41242511242)cos(),!()!kkzzzzk )( z231611231) ln()(),kkzzzzzk 1011()kkkzk)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz 11()(),!kkzk )1( z第41页/共108页42例例3 3. )1 (1 2的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zz 解解21111()kkzzzz 1

20、 z zz11)1 (1221112311(),.kkzzkzz 上式两边逐项求导, ,11)1(12 zzz上有一奇点在由于,1区域内解析即在 z故可在其解析区域内展开成的幂级数z第42页/共108页43例例4 4* *. 0 )1ln( 泰勒展开式泰勒展开式处的处的在在求对数函数的主值求对数函数的主值 zz分析分析如图,1OR=1xy. 1 的幂级数内可以展开成所以它在zz , 1 , 1 )1ln( 是它的一个奇点平面内是解析的向左沿负实轴剪开的在从 z第43页/共108页44000111d()dzzkkkzzzz即23111231ln()()kkzzzzzk 1 z 将展开式两端沿 l

21、 逐项积分, , 得解解zz 11)1ln(20111()()kkkkkzzzz )1( z, 0 1 的曲线到内从为收敛圆设zzl 第44页/共108页45复复1 1 .0arctan的的幂幂级级数数展展开开式式在在求求 zz解解201darctan,zzzz2201111 ()() ,kkkzzz zzzz021darctan所以所以2001()() dzkkkzz2101121(),.kkkzzk 而被积函数可在|z| 0 内连续且可导内连续且可导10( )ln dtztztet( )10( )ln )(dtnztnztet（2） 递推公式递推公式(1)( )zzz (1)!nn函数的性

22、质函数的性质, 2, 1 n对对 进行分部积分，可得递推公式进行分部积分，可得递推公式10( )dtztzte1. 1. 积分区间为无穷积分区间为无穷; ;函数函数特点特点:2. 2. 当当 z- - 1 0, z 0 B2:Rez- - 1, z 0 在B1 中： f1(z) = f2 (z) f 2 (z)是是f1 (z)在中的解析延拓在中的解析延拓.第53页/共108页54（4）( ) z的其他形式的其他形式令令 t = y2 , 有有212100( )2ddztzyztetyey令令 t = py , 就有就有1100( )dtdztszpyztepyey同理同理211()()()zz

23、z z 在在B2中：中： f2(z) = f3 (z) f 3(z)是是f2 (z)在中的解析延拓在中的解析延拓. .第54页/共108页55例例1 1计算计算).21(),21(),25(),25(nn )25(解解 )23(23 )21(2123 43 )25( 25)23(52 )23()21( )21()21(3252 158 )121()121()21( nnn 212n )21(21232n nn2!)!12( xxxde)21(0121 xxxde021xxde202 第55页/共108页56nnn 21)121()21()21(12322122 nn !)!12(2)1( nn

24、n第56页/共108页57奇、偶函数的泰勒级数有什么特点奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题思考题 奇函数的泰勒级数只含奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项的奇次幂项, 偶函数偶函数的泰勒级数只含的泰勒级数只含 z 的偶次幂项的偶次幂项.答案答案第57页/共108页58 3.3 (1)（3）(6）(8)第58页/共108页59第59页/共108页60例例1.1.10)1(1)( zzzzzf及及在在都不解析, ,但在圆环域01z及及011z内都是解析的.)1(1)(zzzf ,111zz 而1,1112 zzzzzk:10 内在圆环域 z所以)1(1)(zzzf ,121 kzzzz即在在)

25、(zf10 z内可以展开成幂级数. .第60页/共108页61)1(1)(zzzf )1(1111zz kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121 kzzzz10100100( )()()()()kkkkf zazzazzaa zzazz，若f (z) 在R 2 z - z0 R1 内解析, ,f (z) 可以展开成含有负幂次项的级数, ,即内，内，在圆环域110 z第61页/共108页62负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛kkkzza)(.10 双边幂级数 kkkkzza)(0kkkkkkzzazza)()(0001 本节将讨论在以z 0为中心的圆环

26、域内解析的函数的级数表示法。第62页/共108页6300()kkkazz01()kkkazz10()zz 令令1kkka 收敛半径r , 收时时敛敛021zzRr收敛域收敛半径1R01zzR收敛域21 1 ( ):RR若 两收敛域无公共部分, ,212( ):RR 两收敛域有公共部分D: :201.RzzRra aR1aR2Df(z)=f1(z)+ f2(z第63页/共108页64结论结论:2R1R.0z常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :1R.0z010zzR1R.0z20Rzz 00zz.0z的收敛区域为双边幂级数kkkzza)(0 .102RzzR 圆环域第64页/共108页65定理定

27、理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线. . 0z,)()(0kkkzzazf ),1,0( n内处处解析内处处解析，在环形域在环形域设设 )( 102RzzRzf 内可展开成洛朗级数内可展开成洛朗级数在在那末那末Bzf )( 为洛朗系数为洛朗系数.1012( ) di()kkCfaz 其其中中第65页/共108页66证证对于第一个积分(CR1): : 121122( )ddiiCCRRfff zzz)()(1100zzzz 因因为为00001kkzzzz 000001111zzzzz zz 0100(),()kkkzzz 1RC2RCBzz00z1R.z2RC

28、1RC2R. .第66页/共108页67对于第二个积分:21( )2 iRCf d - z 所以 因为0011 () ()zzz z 001zzz 000111z zz zz 00()kkkazz112( )diCRfz 0110012( )d()i()kkCRkfzzz 0z1R.z2RC1RC2R. .第67页/共108页68则212( )diCRfz 01200112()( )d()illCRlzfzz 0010000011()()()()()llllllzzzzzzzz 10210112()( )d()ikkCRkzfzz 0121012( )()di()kkCRkfzzz 12012

29、( )di()kkCRfaz 第68页/共108页6901() ,kkkazz121( )1( )( )22ddiiRRCCfff zzz则 1010122( )d(,)i()kkCfakz 对于C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单0zkkkkkkzzazza )()(0100.)(0kkkzza 闭曲线. .可用一个式子表示为: :kkaa 与与第69页/共108页70说明说明:函数)(zf在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式)(zf在圆环域内的洛朗(Laurent)级数. 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的， 这就是 f (z) 的洛朗级数. 定理给出了将圆环

30、域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法. .kkkzzazf)()(0 第70页/共108页71常用方法 : 1.: 1.直接法 2.2.间接法 1. 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数ka缺点: : 计算往往很麻烦. .),2,1,0(d)()(2110 kzfiaCkk 然后写出.)()(0kkkzzazf 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, , 可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . .优点 : : 简捷 , , 快速 . .2. 间接展开法间接展开法第71页/共108页72例例2 2, 0 内内在在 z. )( 2展开成洛朗级数展开成洛朗级数将将zezfz 解解由定理知:

31、 :,)(kkkzazf 而 d)()(2110 Ckkzfia d213 Ckei故由柯西定理知: :由解析函数的高阶导数公式知: :0 k- -3a, 2 时则 k, 3 时当 k, 2在圆环域内解析zez00z 由柯西定理我们知道闭合回路C内不含奇点时ak=0.=0.所以，我们要分析上式被积函数的解析性。第72页/共108页73 d213 Ckkeia022)(dd)!2(1 zzkkezk)!2(1 k ! 4! 3! 211122zzzz z0 2)!2()( kkkzzf故另解：另解：直接展开ez ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzz

32、z第73页/共108页74例例3 3 ;10)1 z;21)2 z.2)3 z内是处处解析的, ,试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数. .解解,)2(1)1(1)(zzzf : )2)(1(1)( 在圆环域函数 zzzf , 10 )1内在 z第74页/共108页75oxy12112121zz )1(2 zz 421212zz 2874321zz nnzzz22212122 )( zf所以 nzzzz2111则,1 z由于12 z从而第75页/共108页7612oxyzzz111111 21111zzz1 z由11 z2 z12 z且仍有 2112121zz nnzzz2221212

33、2 , 21 )2内在 z,)2(1)1(1)(zzzf 第76页/共108页77 842111121zzzzznn2oxy2 z由12 z此时zzz211121 , 2 )3内在 z 21111zzz 2222121zz)( zf于是第77页/共108页78 24211zzz仍有zzz111111 21111zzz,121 zz此时 24211zzz 21111zzz.731432 zzz)( zf故第78页/共108页79注意注意:0 z奇点但却不是函数)2)(1(1)( zzzf的奇点 .本例中圆环域的中心是各负幂项的说明说明:1. 函数)(zf在以0z为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含

34、有0zz 的负幂项, , 而且0z又是这些项的奇点, , 但是0z可能是函数)(zf的奇点, ,也可能)(zf的奇点.不是第79页/共108页802. 给定了函数)(zf与复平面内的一点0z以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式 ( (包括泰勒展开式作为它的特例).).第80页/共108页81解解 z0zzzfsin)( .)!12()1(02 nnnnz例例4 )!12()1(! 51! 3111253nzzzzznn. 0 sin 0洛朗级数的去心邻域内展开成在在将函数 zzz第81页/共108页82定义定义：若函数若函数f (z)在点在点z0处不解析处不解析（或没有定义）（或没

35、有定义），但在点，但在点z0的某个的某个 内解析内解析，则称点，则称点z0为为f (z)的的孤立奇点孤立奇点。00(0)zzRR 例例10 z是函数zzezsin,1的孤立奇点.1 z是函数11 z的孤立奇点. .注意注意: : 孤立奇点一定是奇点, , 但奇点不一定是孤立奇点. .第82页/共108页83例例2 2 指出函数0 z在点zzzf1sin)(2 的奇点特性. .解解 kzz1,0),2,1( k即在0 z的不论怎样小的去心邻域内, , 的奇点存在, , 函数的奇点为)(zf总有0 z不是孤立奇点.所以，因为01lim kk第83页/共108页84 定义定义 设设z0是解析函数是解

36、析函数f (z)的孤立奇点的孤立奇点，f (z)在点在点z0的某去心邻域的某去心邻域 内的罗朗展式为内的罗朗展式为kkkf zazz0( )() 00zzR (1)(1)若展式中不含有若展式中不含有z-z0的负幂项，则称的负幂项，则称z0为为f (z)的的可去奇点可去奇点； (2)(2)若展式中只含有若展式中只含有z-z0的有限的有限( (m)项负幂项项负幂项，则称则称z0是是f (z)的的极点极点，称称m为极点为极点z0的阶，按照的阶，按照m=1或或m1，称称z0是是f (z)的单极点或的单极点或m阶的极点；阶的极点； (3)(3)若展式中含有若展式中含有z-z0的无穷多个负幂项，则称的无穷

37、多个负幂项，则称z0为为f (z)的的本性奇点本性奇点。第84页/共108页85其和函数)(zF为在0z解析的函数. .说明说明: (1)0(0 zz)(lim)(00zfzfzz (2) 无论在在是否有定义, , )(zf0z补充定义则函数在在0z解析. .)(zf1可去奇点可去奇点如果洛朗级数中不如果洛朗级数中不含含 的负幂项的负幂项, 0zz 0z)(zf那末孤立奇点那末孤立奇点 称为称为 的的可去奇点可去奇点.1) 定义定义,)(0的孤立奇点若是zfz.)()()(0010 kkzzazzaazf,)(00azf 000,)()(zzazzzFzf第85页/共108页86 2) 可去奇

38、点的判定可去奇点的判定(1) 由定义判断由定义判断:的洛朗级数无负0z)(zf在如果幂项则0z为)(zf的可去奇点. .(2) 判断极限判断极限:)(lim0zfzz若极限存在且为有限值, ,则0z为)(zf的可去奇点. .如果补充定义: :0 z时, , 1sin zz那末zzsin在0 z解析. .例例3 42! 51! 311sinzzzz中不含负幂项, ,0 z是zzsin的可去奇点 . . 第86页/共108页87例例4 说明0 z为zez1 的可去奇点.解解 zez1,!1! 2111 nznz z0所以0 z为为的可去奇点. .zez1 无负幂项无负幂项另解另解 zzzzeze0

39、0lim1lim 因为因为0 z所以所以的可去奇点. .为为zez1 )1!1! 211(12 nznzzz, 1 第87页/共108页882. 极点极点 , )()(1)(0zgzzzfm 10)( zz,)(0mzz 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.0z)(zfm那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成1) 定义定义 0zz 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项, 1012020)()()()( zzazzazzazfmm )(010zzaa)0,1( mam第88页/共108页89说明说明:1.2.0)(0 zg特点特

40、点: :(1)(2)的极点 , , 则0z)(zf为函数如果.)(lim0 zfzz例例5 有理分式函数,)2(23)(2 zzzzf是二级极点, , 0 z2 z是一级极点. . 20201)()()(zzazzaazgmmm内是解析函数在 0zz第89页/共108页902)极点的判定方法极点的判定方法)(zf的负幂项为有0zz 的洛朗展开式中含有限项. .在点 的某去心邻域内0zmzzzgzf)()()(0 其中 在 的邻域内解析, ,且 )(zg0z. 0)(0 zg(1) 由定义判别由定义判别(2) 由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(3) 利用极限利用极限 )(lim0zfzz

41、判断判断 .第90页/共108页91本性奇点本性奇点3.如果洛朗级数中如果洛朗级数中含有无穷多个含有无穷多个0zz 那末孤立奇点那末孤立奇点0z称为称为)(zf的的本性奇点本性奇点.的负幂项的负幂项,例如，,!1! 211211 nzznzze)0( z含有无穷多个z z的负幂项 特点: : 在本性奇点的邻域内)(lim0zfzz不存在且不为. 同时zze10lim不存在. .为本性奇点，所以0 z第91页/共108页921. 定义定义如果函数如果函数)(zf在无穷远点在无穷远点 z的去心的去心邻域邻域 zR内解析内解析, , 则称点则称点 为为)(zf的的孤孤立奇点立奇点. .Rxyo第92

42、页/共108页93令变换:1zt 规定此变换将: :映射为 z, 0 t扩充 z 平面扩充 t 平面映射为)( nnzz)0(1 nnntzt映射为 zRRt10 映射为),(t tfzf1)(则第93页/共108页942 结论结论: 在去心邻域 zR内对函数)(zf的研究在去心邻域Rt10 内对函数)(t 的研究Rt10 因为 )(t 在去心邻域内是解析的, ,所以0 t是)(t 的孤立奇点. .3 规定规定: m级奇点或本性奇点 .)(t 的可去奇点、m级奇点或本性奇点, ,如果 t=0 是 z是)(zf的可去奇点、 那末就称点第94页/共108页951)1)不含正幂项; ;2)2)含有有

43、限多的正幂项且mz为最高正幂; ;3)3)含有无穷多的正幂项; ;那末 z是)(zf的的1)1)可去奇点 ; ;2) m 级极点;3)3)本性奇点 . .判别法1 (1 (利用洛朗级数的特点) )4.判别方法判别方法:)(zf zR在内的洛朗级数中: :如果第95页/共108页96例例6 6 (1)函数1)( zzzf在圆环域 z1内的洛朗展开式为: : nnzzzzzf1)1(111111)(2不含正幂项所以 z是)(zf的可去奇点 . .(2)(2)函数zzzf1)( 含有正幂项且 z 为最高正幂项, ,所以 z是)(zf的 m级极点. .第96页/共108页97(3)函数zsin的展开式: )!12(! 5! 3sin1253nzzzzz