2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)理数

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理数一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.21. （ 5分）（2016?浙江）已知集合 P=x 駅|1 纟 W , Q=x R|x 绍，则 PU（ ?rQ）=（）A . 2 , 3 B .（ - 2, 3 C. 1 , 2） D .（-汽-2 U 1 , + 呵2. （5分）（2016?浙江）已知互相垂直的平面a, B交于直线I，若直线m, n满足m/ a, n丄3, 则（ ）A . m / I B . m / n C. n丄 I D. m± n3. （ 5分）（2016?浙

2、江）在平面上，过点 P作直线I的垂线所得的垂足称为点P在直线I上2<0的投影，由区域 r+QO中的点在直线x+y - 2=0上的投影构成的线段记为AB，贝Ux - 3y+4>0|AB|= £）_A . 2'-B . 4 C . 3: D . 6*24. （ 5分）（2016?浙江）命题 ?x R, ?n N，使得n汰”的否定形式是（）A . ?x 駅,?nN*，使得 nvx2 B . ?x R, ?nN*，使得 nvx2*2*2C. ?xR, ?nN，使得 nvx D. ?xR, ?nN，使得 nvx25. （ 5分）（2016?浙江）设函数f （x） =sin

3、x+bsinx+c，则f （x）的最小正周期（）A .与 b有关，且与 c有关 B .与 b有关，但与 c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6 . （ 5 分） （ 2016 ?浙江）如图，点列An、Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|,* *An An+1, n N , |BnB n+1 |=|Bn+1 B n+2|, BnBn+1 , n N ,（ P表示点 P 与 Q 不重合）右 dn=|AnBn|,SnAnB nBn+1 的面积，则（）员BiA . Sn是等差数列C. d n是等差数列2B . Sn 是等差数列2D . dn 是等差数列7

4、. （ 5分）（2016?浙江）已知椭圆2C1： +y2=1 （m> 1 ）与双曲线w2C2： - y2=1 （n > 0）nD . m v n 且 e1e2v 1的焦点重合，e1, e2分别为C1, C2的离心率，则（）A . m>n 且 e1e2> 1 B . m>n 且 e1e2< 1 C . mv n 且 e1e2> 1& （ 5分）（2016?浙江）已知实数 a, b, c.（）22“222 “cA. 右 |a +b+c|+|a+b +c冃，则 a +b +c v 1002 2 2 2 2B. 若 |a +b+c|+|a +b - c

5、|<1，贝U a +b +c v 1002 2 2 2 2C. 若 |a+b+c |+|a+b - c 鬥，则 a +b +c v 100D. 若 |+b+c|+|a+b2- c|<1,则 a2+b2+c2v 100二、填空题：本大题共7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分.29. （4分）（2016?浙江）若抛物线y =4x上的点M至U焦点的距离为10,则M到y轴的距离 是.210. （6 分）（2016?浙江）已知 2cos x+sin2x=Asin （®x+ $） +b （A >0）,贝U A=b=.cm）,则该几何体的表面积是11. （6分）（

6、2016?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位: cm2,体积是cm3.正视團侧视圉2 2俯视團1 b a12. （6 分）（2016?浙江）已知 a> b> 1，若 logab+log ba= :, a =b，贝V a=2b=.13. （6 分）（2016?浙江）设数列an的前 n 项和为 9,若 S?=4, an+1=2Sn+1, n N ,贝Va1=, S5=.14. （4 分）（2016?浙江）如图，在 ABC 中，AB=BC=2，/ ABC=120 ° 若平面 ABC 外的 点P和线段AC上的点D，满足PD=DA , PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值二

7、均有15. （4分）（2016?浙江）已知向量1, , | 1|=1, '|=2,若对任意单位向量T T * * » »| 1? -|+|：?“|W :，贝y '? 的最大值是 三、解答题：本大题共 5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （ 14分）（2016?浙江）在厶ABC中，内角A ,B,C所对的边分别为 a, b, c,已知b+c=2acosB .（I）证明：A=2B2（n）若 ABC的面积S=：，求角A的大小.417. （15分）（2016?浙江）如图，在三棱台 ABC - DEF中，已知平面 BCFE丄平面 ABC ,

8、/ ACB=90 ° BE=EF=FC=1 , BC=2 , AC=3 ,（I）求证：EF丄平面ACFD ;（n）求二面角 B- AD - F的余弦值.18. （15分）（2016?浙江）已知a务，函数 F (x) =min2|x - 1|,2x - 2ax+4a- 2，其中 min（P, q）（I）求使得等式F ( x) =x2 - 2ax+4a - 2成立的x的取值范围(n) (i )求F (x )的最小值m ( a)(ii)求F (x)在0, 6上的最大值M ( a) / 219. (15 分)(2016?浙江)如图，设椭圆 C: ' +y =1 (a> 1)a（

9、I）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用 a, k表示）（n）若任意以点 A （ 0, 1 ）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值_、+ *20. (15分)(2016?浙江)设数列满足1力-违F鬥，n N .n - 1*(I)求证：|an| 呈(|a1|- 2) (n N )(n)若 |an|< ( J n,£nN，证明:|an|<2, n N*.2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理数参考答案与试题解析1. B【分析】运用二次不等式的解法，求得集合Q,求得Q的补集，再由两集合的并集运算,即可得到所求.2【解答】解：Q=x R|x =x

10、 R|x支或 x<- 2,即有?RQ=x R| - 2 V x V 2,则 PU（ ?rQ） = （- 2, 3.故选：B.2. C【分析】由已知条件推导出I? 3,再由n丄3,推导出n丄I.【解答】 解：互相垂直的平面a, 3交于直线I，直线m, n满足m/ a,'mil 3或 m? 3或 m丄 3 , I? 3, n 丄 3, n 丄 I.故选：C.3. C【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线 x+y - 2=0上的投影构成线段 RQ',即SAB, 而

11、RQ =RQ,亠 - 3y+4=0由*Lx+y=01尸1即 Q (- 1,1),/v-qx=2由得，门，即 R ( 2,- 2),“+尸01尸-2则|AB|=|QR|=i:二=.=3 匚,故选：Cx=24. D*9?x R, ?n N，使得 n 孩2”的【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题* 2否定形式是：？xR, ?nN，使得nvx2.故选：D.5. B【分析】根据三角函数的图象和性质即可判断.2【解答】解：设函数f (x) =sin x+bsinx+c ,c是图象的纵坐标增加了c,横坐标不变，故周期与 c无关,当b=

12、0时,丁 2K T= n1 : n,2 (x) =sin x+bsinx+c= - cos2x+ :+c 的最小正周期为 当 b 老 时，f (x) = - cos2x+bsinx+ +c,2 2/y=cos2x的最小正周期为n, y=bsinx的最小正周期为 2 n, f (x)的最小正周期为 2 n,故f (x)的最小正周期与 b有关，故选：B6. A【分析】设锐角的顶点为 0,再设 |0Ai|=a, |0Bl|=b, |AnAn+l|=|An+lAn+2|=b, |BnBn+l|=|Bn+lBn+2|=d，由于 a, b 不确定，判断 C, D 不正确，设 AnBnBn+1 的底边 Bn

13、Bn+1 上的高为hn,运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1，由Sn= d?hn,可得Sn+Sn+2=2Sn+1,进而得到数列Sn为等差数列.【解答】解：设锐角的顶点为 O, |OA1|=a, |0B1|=b,|AnA n+1|=|A n+1An+2|=b, |BnBn+1 |=|Bn+1 Bn+2|=d,由于a, b不确定，则d n不一定是等差数列，2d n 不一定是等差数列，设厶AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn,由三角形的相似可得£°(n - 1) b%知 0An+1 a+nbh廿2_0 A出_a+电）b hn+l 0An+J a+nb两式相加可

14、得，：二_U_2,hn+1 a+nb即有 hn+hn+2_2hn+1 ,由 Sn_ d?hn,可得 Sn+Sn+2_2Sn+1,2即为 Sn+2 Sn+l_Sn+1 - Sn, 则数列Sn为等差数列.7. A2 2 2 2 2【分析】根据椭圆和双曲线有相同的焦点，得到c _m -仁n +1,即m - n _2,进行判断，能得m>n,求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可.2 2 2 2【解答】 解：t椭圆C仁+y _1 （m > 1）与双曲线 C2： - y _1 （n > 0）的焦点重合，TDD满足 c2_m2-仁n2+i ,即 m2- n2_2 > 0,. m2

15、> n2,则 m> n,排除 C, D2 2 , 2 2 2 2则 c _m - 1v m , c _n +1> n ,贝U cv m. c> n,ccei_ , e2_ ,irrj2则 ei?e2_?_-it n inn则（ei?e2）2_ （ ：） 2?（：）n n2-, -*1 .门 'Jr _ '：'i_ :广ri_ : _二_ '_1+_1+ _ -_m nid nd nid nin n1+ - >1 ,in ne1e2> 1,故选：A.【分析】本题可根据选项特点对 a, b, c设定特定值，采用排除法解答.2 2

16、2 2 2【解答】 解：A 设 a=b=10, c= - 110,则 |a2+b+c|+|a+b2+c|=O W, a'+b'+c'100;2 2 2 2 2 B .设 a=10, b= - 100, c=0,则 |a +b+c|+|a +b - c|=OW, a +b +c > 100 ；2 2 2 2 2C.设 a=100, b= - 100, c=0,则 |a+b+c |+|a+b- c |=0W , a +b +c > 100； 故选：D.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分.9. 9【分析】 根据抛物线的性质得出

17、M到准线x= - 1的距离为10,故到y轴的距离为9.【解答】 解：抛物线的准线为 x= - 1,点M到焦点的距离为10,点M到准线x= - 1的距离为10,点M到y轴的距离为9.故答案为：9.10. *：； 1.【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案.2【解答】 解： 2cos x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+#：(cos2x+sin2x) +1hjsin (2x+)+1,_4 A= :, b=1 ,故答案为：二；1.11. 72, 32【分析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可.2 2

18、2 2丑5正视團 侧视團俯视图【解答】 解：由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm的小正方体所构成的,2 2则其表面积为2 x (24- 6) =72cm ,3其体积为4X2 =32 ,故答案为：72, 3212. 4; 2.【分析】设t=log ba并由条件求出t的范围，代入logab+logba=:化简后求出t的值，得到a2与b的关系式代入ab=ba化简后列出方程，求出a、b的值.【解答】解：设t=logba，由a>b> 1知t> 1,代入 logab+logba= 得-| 2 t 2即 2t2- 5t+2=0，解得 t=2 或 t=-（舍去），22所以 logba=

19、2，即 a=b ,因为 ab=ba,所以 b2b=ba，贝U a=2b=b2,解得 b=2, a=4,故答案为：4; 2.13. 1, 121【分析】运用n=1时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n> 1时，an+1=Sn+1 -Sn,结合条件，计算即可得到所求和.【解答】解：由n=1时，a1=S1,可得a2=2S1+1=2a1+1,又 S2=4，即 a1 +a2=4, 即有 3a1+1=4，解得 a1=1;由 an+1=Sn+1 - Sn,可得Sn+1=3Sn+1 ,由 S2=4，可得 S3=3 >4+1=13 ,S4=3 >3+ 仁40,S5=3

20、>40+1=121 .故答案为：1 , 121 .【分析】 由题意， ABD PBD，可以理解为 PBD是由 ABD绕着BD旋转得到的， 对于每段固定的 AD，底面积BCD为定值，要使得体积最大， PBD必定垂直于平面 ABC , 此时高最大，体积也最大.【解答】 解：如图，M是AC的中点. 当AD=t V AM=二时，如图，此时高为 P到BD的距离，也就是 A到BD的距离，即图中AE ,DM= - 由 ADE BDM，可得, h= l,V=3 21 V（V3 - tV（V3-t） 2+l= ，t （0，；）22+l 6 v（V3-t）2+l 当AD=t > AM=:时，如图，此时

21、高为 P到BD的距离，也就是 A到BD的距离，即图tr dcH W2/2B中AH ,DM=t -；，由等面积，可得 -.V 一 ，=，.:; I， h=,V(V3-t) 2+12 v=,t （二，2 二）3 2 咖 丁7荷）相& J （花）如2综上所述，7=、,t （0, 2 r6 V（Vs-t）2令 m=_2 + 口 ,2),则7=書,m=1时，Vmax .故答案为：】15.:.【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论.【解答】解:V | ( r+ .) ?匚|=| |? +，?匚冃 |? |+| ?., | ( i+丨 0 ?二珥 i+ 忏'

22、;.,* Q Q*平方得：| i| +| -| +2 |?，詬,即 12+22+2 1?，詬,则亿£,故.|? *的最大值是，2故答案为：.216.【分析】(I)禾U用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A=2B2 2(H)若 ABC的面积S=贝U bcsinA=：,结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A424的大小.【解答】(I)证明：T b+c=2acosB,/ sinB+sinC=2sinAcosB ,/ sinB+sin (A+B ) =2sinAcosB/ sin B+s in AcosB+cosAs in B=2s in AcosB/ sinB=2=sinAcosB -

23、cosAsinB=sin (A - B) A , B是三角形中的角， B=A - B, A=2B ;2(n)解： ABC 的面积 s=,41 a2bcsi nA= ,2 4 2bcsinA=a , 2sinBsinC=sinA=sin2B , sinC=cosB , B+C=90 ° 或 C=B+90 ° A=90。或 A=45 °17.【分析】（I）先证明BF丄AC,再证明BF丄CK，进而得到 BF丄平面ACFD .（II ）方法一：先找二面角 B - AD - F的平面角，再在 Rt BQF中计算，即可得出；方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK与

24、平面ABK的法向量，进而可得二面角B - AD - F的平面角的余弦值.【解答】（I）证明：延长 AD , BE , CF相交于点K，如图所示，平面 BCFE丄平面ABC , / ACB=90 ° AC 丄平面 BCK , BF 丄 AC .又EF / BC , BE=EF=FC=1 , BC=2 , BCK为等边三角形，且F为CK的中点，贝U BF丄CK , BF丄平面ACFD .(II )方法一：过点 F作FQ丄AK，连接BQ,t BF丄平面 ACFD .二BF丄AK ,贝U AK丄平 面 BQF , BQ丄AK ./ BQF是二面角 B- AD - F的平面角.在 Rt ACK

25、 中，AC=3 , CK=2 ,可得 FQ=_1_13在 Rt BQF 中，BF= - , FQ=二:：.可得：cos/ BQF='. 134面角B - AD - F的平面角的余弦值为堂4方法二：如图，延长 AD , BE, CF相交于点K，则 BCK为等边三角形,取BC的中点，贝U KO丄BC,又平面 BCFE丄平面ABC , KO丄平面BAC ,以点0为原点，分别以 OB, OK的方向为x, z的正方向，建立空间直角坐标系0 - xyz .可得：B (1, 0, 0), C ( - 1 , 0, 0) , K (0 , 0 , V3)，A ( - 1 , - 3, 0), E (吉

26、.0,唾),.沁=(0 , 3 , 0) , ."_：= ' 1 '''',-I- (2 , 3 , 0)./fe-设平面ACK的法向量为！T=( xi, yi , zi)平面ABK的法向量为口 = (X2 , y2 , Z2),由 此、AK 5 二 0旳产。可得*厂色兮,可得,I AK *n=0取 丁 =、，山-一2, V3)心：,取二(3 区2 +2 v3 £ 2 二U _L . I j面角B - AD - F的余弦值为18.【分析】(I)由a绍，讨论xW时，x> 1，去掉绝对值，化简 x2- 2ax+4a- 2 - 2|x

27、- 1|,判2断符号，即可得到 F ( x) =x - 2ax+4a - 2成立的x的取值范围；(n) (i )设 f (x) =2|x - 1|, g (x) =x2 - 2ax+4a - 2,求得 f (x)和 g (x)的最小值，再 由新定义，可得F (x)的最小值；(ii)分别对当0WW时，当2 v x詬时，讨论F (x)的最大值，即可得到F (x)在0, 6上的最大值M (a).【解答】解：(I)由a3,故xW时，2 2x - 2ax+4a - 2- 2|x- 1|=x +2 (a- 1) (2 - x)> 0;2 2当 x> 1 时，x - 2ax+4a- 2 - 2|

28、x- 1|=x -( 2+2a) x+4a= (x- 2) (x- 2a), 则等式F (x) =x2- 2ax+4a - 2成立的x的取值范围是(2, 2a);(n) (i )设 f (x) =2|x - 11, g (x) =x2- 2ax+4a - 2,2则 f (x) min=f ( 1) =0 , g (x) min=g ( a) = - a +4a - 2 .由-a2+4a - 2=0,解得a=2+:(负的舍去)，由 F (x)的定义可得 m (a) =minf (1), g (a) ,即 m (a)0, 3<a<2+V2- at+4a_ 2,色>2+ 逅(ii

29、)当 0WcW!时，F (x) W (x) Wnaxf (0), f (2) =2=F (2);当2v x詬时,F (x) Wg (x) Wnaxg(2), g (6) =max2 , 34 - 8a=maxF (2), F (6) .则 M (a)34 - 8a,2, a>419.【分析】（I）联立直线y=kx+1与椭圆方程，利用弦长公式求解即可.（n）写出圆的方程，假设圆 A与椭圆由4个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任 意一 A （0, 1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围.(y=kx+l【解答】解：（I）由题意可得:22222X ,2可得：(1+a k ) x +2ka x=0 ,+y 二 1得 X1=0 或 x2=-2k a2直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为：:''=-(H)假设圆A与椭圆由4个公共点，由对称性可设 y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足 |AP|=|AQ|，记直线AP，AQ的斜率分别为：2川 Ik|AP|=