高等数学D7_6高阶线性微分方程ppt课件

1、高阶线性微分方程 第六节一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 第七章 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡形状, 例例1. 质量为质量为m的物体自在悬挂在一端固定的弹簧上的物体自在悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxO解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它分开平衡位置后放开,假设用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图. 设时辰 t 物位移为 x(t).(1) 自在振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)xcf成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.据牛顿第二定律得txxctxmd

2、ddd22,2mck,2mn令那么得有阻尼自在振动方程:0dd2dd222xktxntx阻力txRdd(2) 强迫振动情况. 假设物体在运动过程中还受铅直外力作用，t pHFsin，令mHh 那么得强迫振动方程:t phxktxntxsindd2dd222求电容器两两极板间电压 0ddiRCqtiLE例例2. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,sintEEm所满足的微分方程 .cu解解: 设电路中电流为设电路中电流为 i(t),的电量为 q(t) , 自感电动势为,LE由电学知,ddtqi ,CquCtiLELdd根据回路电压定律:设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电

3、源 E 串极板上 在闭合回路中, 一切支路上的电压降为 0q LERQCqi,ddtqi ,CquC,ddtiLEL0ddiRCqtiLELCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串联电路的振荡方程:22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin化为关于cu的方程:,ddtuCiC注意故有 q LERQCqi假设电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 那么得0dd2dd2022CCCututun 阶线性微分方程的普通方式为阶线性微分方程的普通方式为方程的共性 (二阶线性微分方程)( )( )( )yP x yQ x yf x 可归结为同一方式:)()()()(

4、1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn时, 称为非齐次方程 ; 0)(xf时, 称为齐次方程.复习复习: 一阶线性方程一阶线性方程)()(xQyxPy通解:xxQxxPxxPde)(ed)(d)(xxPCyd)(e非齐次方程特解齐次方程通解Yy0)(xf )(11yCxP )(11yCxQ0证毕二、线性齐次方程解的构造二、线性齐次方程解的构造)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yx

5、QyxPyC (叠加原理) )()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.阐明阐明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy那么为处理通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 定义定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间 I 上的 n 个函数,21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211那么称这 n个函数在 I 上线性相关, 否那么称为线性无关.例如， ,

6、sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它们在任何区间 I 上都线性相关;又如，,12xx假设在某区间 I 上,02321xkxkk那么根据二次多项式至多只需两个零点 ,321,kkk必需全为 0 ,可见2,1xx故在任何区间 I 上都 线性无关.假设存在不全为 0 的常数两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:)(),(21xyxy线性相关存在不全为 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数思索思索:)(),(21xyxy若中有一个恒为 0,

7、 那么)(),(21xyxy必线性相关相关0)()()()(2121xyxyxyxy(证明略)21, yy可微函数线性无关定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, )()(2211xyCxyCy数) 是该方程的通解.例如例如, 方程方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常数,故方程的通解为xCxCysincos21(自证) 推论推论. nyyy,21若是 n 阶齐次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 个线性无关解, 那么方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y为任意常21,(CC那么三

8、、线性非齐次方程解的构造三、线性非齐次方程解的构造 )(* xy设是二阶非齐次方程的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 那么是非齐次方程的通解 .证证: 将将)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立恣意常数,例如例如, 方程方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCysi

9、ncos21证毕因此 也是通解 .定理定理 4.),2, 1()(mkxyk设分别是方程的特解,是方程),2, 1()()()(mkxfyxQyxPyk mkkyy1则)()()(1xfyxQyxPymkk 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推行到 n 阶线性非齐次方程. 定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的 n 个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齐次方程的特解, 那么非齐次方程的通解为齐次

10、方程通解非齐次方程特解常数, 那么该方程的通解是 ( ).321,yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是恣意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)3322311)()()(yyyCyyCC3322311)()()(yyyCyyCD例例4. 知微分方程知微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x个解,e,e,2321xxyyxy求此方程满足初始条