高等数学教学汇编-第四章1 不定积分及其计算ppt课件

1、第一节机动 目录 上页 下页 前往 终了 不定积分及其计算 第四章 一、一、 不定积分的概念不定积分的概念定义定义 1 . 假设在区间假设在区间 I 上定义的两个函数上定义的两个函数 F (x) 及及 f (x)满足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在区间 I 上的一个原函数 .那么称 F (x) 为f (x) ,)()(的一个原函数是若xfxF定理定理 1. 的所有则)(xf原函数都在函数族CxF)( C 为恣意常数 ) 内 .证证: 1)的原函数是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函数是设)()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF )()(xFx)(

2、)(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C即0)()(CxFx属于函数族.)(CxF机动 目录 上页 下页 前往 终了 即定义定义 2. )(xf在区间 I 上的原函数全体称为Ixf在)(上的不定积分,d)(xxf其中 积分号;)(xf 被积函数;xxfd)( 被积表达式.x 积分变量;假设, )()(xfxF那么CxFxxf)(d)( C 为恣意常数 )C 称为积分常数不可丢 !例如,xexdCexxx d2Cx 331xxdsinCx cos记作机动 目录 上页 下页 前往 终了 不定积分的几何意义不定积分的几何意义:)(xf的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的

3、图形的一切积分曲线组成)(xf的平行曲线族.yxo0 x机动 目录 上页 下页 前往 终了 的积分曲线 . 例例1. 设曲线经过点设曲线经过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解解: xy2xxyd2Cx 2所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有C2121 C因此所求曲线为12 xy机动 目录 上页 下页 前往 终了 yxo)2, 1 (xdd) 1 (xxfd)()(xf二、二、 根本积分表根本积分表 从不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思想利用逆向思想xkd) 1

4、 ( k 为常数)Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln时0 x机动 目录 上页 下页 前往 终了 ) 1( )ln()ln(xxx121d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cx sinxx2cosd)8(xxdsec2Cxtan或Cx cotarc21d)5(xxCxarcsin或Cxcosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cot机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cx cscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln机动 目录 上页 下页 前往

5、终了 例例3. 求求.d3xxx解解: 原式原式 =xxd34134Cx313例例4. 求求.dcossin22xxx解解: 原式原式=xxdsin21Cx cos21134xC机动 目录 上页 下页 前往 终了 二、不定积分的性质二、不定积分的性质xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2推论推论: 假设假设, )()(1xfkxfinii那么xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( k机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例5. 求求.d)5(2xexx解解: 原式原式 =xexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln51

6、2ln2C机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例6. 求求.dtan2xx解解: 原式原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例7. 求求.d)1 (122xxxxx解解: 原式原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctanCx ln机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例8. 求求.d124xxx解解: 原式原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313机动 目录 上页 下页 前往 终了 内容小结内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 根

7、本积分表 2. 直接积分法:利用恒等变形, 及 根本积分公式进展积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质积分性质机动 目录 上页 下页 前往 终了 思索与练习思索与练习机动 目录 上页 下页 前往 终了 1. 求以下积分求以下积分:.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x2. 求不定积分求不定积分解：解：.d113xeexxxeexxd113xeexxd1) 1()

8、 1(2xxeexeexxd) 1(2Cxeexx221机动 目录 上页 下页 前往 终了 第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(三、不定积分的换元积分法三、不定积分的换元积分法根本思绪根本思绪 机动 目录 上页 下页 前往 终了 设, )()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(那么有第一类换元法第一类换元法定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu那么有换元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也称配元法即xxxfd)()(, 凑微分法凑微分法)

9、机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例1. 求求).1(d)(mxbxam解解: 令令,bxau那么,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC注注: 当当1m时bxaxdCbxaaln1机动 目录 上页 下页 前往 终了 22)(1d1axxa例例2. 求求.d22xax解解:22dxax,axu 令那么xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21duuCu arctan)(ax机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例3. 求求).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2)(1daxax)

10、(d)(xxf(直接配元)xxxfd)()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例4. 求求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan机动 目录 上页 下页 前往 终了 类似Caxaxaln21例例5. 求求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( d机动 目录 上页 下页 前往 终了

11、常用的几种配元方式常用的几种配元方式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd例例6. 求求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式原式 =xln2121)ln2

12、1 (dxCx ln21ln21机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例7. 求求.d3xxex解解: 原式原式 =xexd23)3d(323xexCex332例例8. 求求.dsec6xx解解: 原式原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例9. 求求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果一样机

13、动 目录 上页 下页 前往 终了 xxsin11sin1121例例10. 求求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxxCxxtansecln同样可证xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln机动 目录 上页 下页 前往 终了 222d)(2123xax例例11. 求

14、求.d)(23223xaxx解解: 原式原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC机动 目录 上页 下页 前往 终了 )2cos2cos21 (241xx 例例12 . 求求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C机动 目录 上页 下

15、页 前往 终了 xxexex111xexexxxdd xexxd) 1(例例13. 求求.d)1 (1xexxxx解解: 原式原式=xexxxxd)1 () 1(xexe)1 (1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1 (1xxxxxexexexe)(dxxexexlnxex1lnCCexxxx1lnln机动 目录 上页 下页 前往 终了 分析分析: 小结小结常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 一致函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx万能凑幂法x

16、xxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11机动 目录 上页 下页 前往 终了 利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如思索与练习思索与练习1. 以下各题求积方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxxd) 1(1102. 求求.) 1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3 ) 1(d10 xxx10)x )

17、1(d10 xxx) 1(1010 xx ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10d x10110(x10dx101作业 目录 上页 下页 前往 终了 第二类换元法第二类换元法机动 目录 上页 下页 前往 终了 第一类换元法处理的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu假设所求积分xxxfd)()(易求,那么得第二类换元积分法 .难求，uufd)(CxF)()()()(ttft定理定理2 . 设设)(tx是单调可导函数 , 且,0)( t)()(ttf具有原函数 ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt证证:的原函数为设)()(t

18、tf, )(t令 )()(1xxF那么)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xttttf机动 目录 上页 下页 前往 终了 那么有换元公式例例14. 求求. )0(d22axxa解解: 令令, ),(,sin22ttax那么taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例15. 求求. )0(d22aaxx解解: 令

19、令, ),(,tan22ttax那么22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22ln机动 目录 上页 下页 前往 终了 xa1C例例16. 求求. )0(d22aaxx解解:,时当ax 令, ),0(,sec2ttax那么22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC机动 目录 上页 下页 前往 终了 22

20、ax axa,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln机动 目录 上页 下页 前往 终了 阐明阐明:被积函数含有22ax 时, 除采用1shch22tt采用双曲代换taxsh消去根式 , 所得结果一致 . taxch或22ax 或机动 目录 上页 下页 前往 终了 三角代换外, 还可利用公式原式21) 1(22ta221a例例17. 求求.d422xxxa解解: 令令,1tx 那么txtdd21原式ttd12tttad) 1(2122,0时当 x421

21、12tta Cata2223) 1(23当 x 0 时, 类似可得同样结果 .Cxaxa32223)(23) 1(d22ta机动 目录 上页 下页 前往 终了 小结小结:1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1 (22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()2(22xxaxf令taxtan或taxsh,d),() 3(22xaxxf令taxsec或taxch机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln机动 目录

22、 上页 下页 前往 终了 2. 常用根本积分公式的补充(5) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 ,d)()4(xafx令xat xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln机动 目录 上页 下页 前往 终了 .32d2 xxx解解: 原式原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例18. 求求例例19. 求求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx

23、942ln212例例20. 求求.1d2xxx解解: 原式原式 =22)()()(d21x2521xCx512arcsin机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例21. 求求.1d2xex解解: 原式原式xxee21dCexarcsin例例22. 求求.d222axxx解解: 令令,1tx 得原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222机动 目录 上页 下页 前往 终了 ttttd)1(12132例例23. 求求.2) 1(d23xxxx解解: 原式原式1) 1() 1(d23xxx令tx11tttd122tttd11)1 (22tt d12ttd

24、112tttarcsin121221Ct arcsinCxxxx1121) 1(221arcsin22例16 目录 上页 下页 前往 终了 由导数公式vuvuuv )(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易计算 .:)d(的原则或及选取vvu机动 目录 上页 下页 前往 终了 四、不定积分的分部积分法四、不定积分的分部积分法例例1. 求求.dcosxxx解解: 令令,xu ,cosxv 那么, 1 uxvsin 原式xxsinxxdsinCxxxcossin思索思索: 如何求如何求?dsin2x

25、xx提示提示: 令令,2xu ,sin xv 那么原式xx cos2xxxdcos2机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例2. 求求.dlnxxx解解: 令令,ln xu xv 那么,1xu 221xv 原式 =xx ln212xxd21Cxxx2241ln21机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例3. 求求.darctanxxx解解: 令令,arctan xu xv 那么,112xu221xv 原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111 (212xx arctan212Cxx)arctan(21机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例4. 求求.dsinxxex解解: 令令,sin xu xev , 那么,cosxu xev 原式xexsinxxexdcos再令,cosxu xev , 那么,sin xuxev xexsinxxexexxdsincos故 原式 =Cxxex)cos(sin21阐明阐明: 也可设也可设veux,为三角