第五章点的运动学

1、 在理论力学第二篇在理论力学第二篇 运动学中，我们讨论运动学中，我们讨论 的是刚体（质点）在空间运动时，位置与时的是刚体（质点）在空间运动时，位置与时间的关系，而并不考虑引起运动的力。也就间的关系，而并不考虑引起运动的力。也就是说，运动学研究的是是说，运动学研究的是纯粹的运动几何量纯粹的运动几何量，例如例如位移位移、速度速度、加速度加速度。 运动学是以后学习动力学的基础！运动学是以后学习动力学的基础！动点动点: 一个忽略其大小尺寸和几何形状的点一个忽略其大小尺寸和几何形状的点.刚体刚体 物体内任意两点的距离在力的作用下物体内任意两点的距离在力的作用下保持原来的长度和位置。保持原来的长度和位置。

2、 轨迹方程：轨迹方程：0),(zyxf运动方程：运动方程：)()()(0),(321tfztfytfxortzyxf质点质点 m 的空间位置用的空间位置用矢量矢量om表示表示om- r矢径矢径)(trrkjirzyxt)()()()(321tfztfytfx在上述联立方程中消去时间在上述联立方程中消去时间 t, 我们可以得到点我们可以得到点m的轨迹方程的轨迹方程:0),(zyxfmo(-)(+)s)(tfs 椭圆规椭圆规tdmclbcacoc确定点确定点 a, b, c, m的运的运动方程动方程.tdmclbcacoc a 点的运动方程:ayb点的运动方程:bxtlsin2sinabtlcos

3、2abcosm点的运动方程:mxmycm)cosac(tdlcos)( cm)sincb(tdlsin)( m点的轨迹方程:1)()(2222dlydlxmmtdmclbcacocc点的运动方程:c 点的运动轨迹是以o为圆心，l为半径的圆。选择选择 o 作为自然坐标的原作为自然坐标的原点，则点，则c 点的运动方程可写点的运动方程可写为为:tlscocccrddlim0tttrrvrrvva220ddddlimtttt方向方向 : 沿轨迹的切线方向沿轨迹的切线方向.单位单位 : m/s单位单位 : m/s2矢端曲线 速度矢径矢端曲线切线 加速度速度矢端曲线切线kjir)()()()(tztytx

4、t)(ddddkjirvzyxtt由于直角坐标轴固定由于直角坐标轴固定: :0ddddddtttkjikjivzyxvvv沿坐标轴的分量沿坐标轴的分量: :zyxzyxvvv222zyxvvvv)(ddddkjivazyxvvvttkjiazyxaaazyxzyxaaakjiva222222ddddddddtztytxt222zyxaaaaaaaaaazyx),cos(),cos(),cos(kajaia 例例1：抛体运动。假设物体以初速度：抛体运动。假设物体以初速度v0沿与水平沿与水平方向成角方向成角 方向被抛出方向被抛出, 求物体运动的轨道方程、求物体运动的轨道方程、射程、飞行时间和物体所

5、能到达的最大高度。射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。0 抛体运动可以看作为抛体运动可以看作为x方向方向的匀速直线运动和的匀速直线运动和y方向的匀方向的匀变速直线运动相叠加。变速直线运动相叠加。0 xy0vo解解：首先必须：首先必须建立坐标系建立坐标系, 取抛射点为坐标原点取抛射点为坐标原点o, x 轴水平向右轴水平向右, y 轴竖直向上轴竖直向上, 如图。如图。运动叠加原理是求解复杂运动的有力工具。运动叠加原理是求解复杂运动的有力工具。 x1 = 0是抛射点的位置是抛射点的位置, 另一个是射程另一个是射程 avvxvtxx00000,cos,(cos)2000021)sin(,sin,g

6、ttvygtvvgayyyxgvx()(cos)tan000222抛体运动轨道方程抛体运动轨道方程 令令y = 0，得，得 ()(cos)tan0002220 xgvxxvg20202sin0 xy0vo物体的飞行时间物体的飞行时间txvvg200002cossin当物体到达最大高度时当物体到达最大高度时, 必有必有0yvtvg100sin物体达最大高度的时间物体达最大高度的时间最大高度最大高度hvg02202sin抛射角抛射角 0 = /4时时,最大射程最大射程gvx20max0 xy0vo 例例2：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边, 如图。如如图。如果绞车以恒定的

7、速率果绞车以恒定的速率u拉动纤绳拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面绞车定滑轮离水面的高度为的高度为h, 求小船向岸边移动的速度和加速度。求小船向岸边移动的速度和加速度。 解解：以绞车定滑轮处为坐标原点：以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向轴水平向右右, y 轴竖直向下轴竖直向下, 如图所示。如图所示。xlhyoxxlhujirhx?, 0dtdxvdtdyvxy 设小船到坐标原点的距离为设小船到坐标原点的距离为l, 任意时刻小船到任意时刻小船到岸边的距离岸边的距离x总满足总满足 x 2 = l 2 h 2 两边对时间两边对时间t 求导数求导数, 得得 22xxtlltdddd 绞车拉动纤绳的速率

8、绞车拉动纤绳的速率, 纤绳随时间在缩纤绳随时间在缩短短, 故故 ; 是小船向岸边移动的速率。是小船向岸边移动的速率。ddltu ddlt 0ddxtvuxhxuxlv22负号表示小船速负号表示小船速度沿度沿x 轴反方向。轴反方向。 小船向岸边移小船向岸边移动的加速度为动的加速度为 axtvtu hx dddd22223xlhum点的运动方程点的运动方程:ktayktaxmm22sincos求求1. m 点的轨迹2.当 t = /4k 秒时，m点的位置和速度.3. 沿轨迹的运动方程ktayktaxmm22sincos1.从从m点的运动方程中消去参数点的运动方程中消去参数t:ayx2.计算速度计算

9、速度2/2/)4/(ayaxktktakktktaktyvktakktktaktxvyx2sincossin2d/d2sinsincos2d/dktakvvvyx2sin222akvkt24/ktayktaxmm22sincos3. 设设 m0 是自然坐标的原点是自然坐标的原点tvsdd ttvs0dttktak0d2sin2ktakktakttt20sin2)22cos(2ktakvvvyx2sin222当质点从当质点从 a 运动到运动到 b, 在一个在一个无穷小的时间无穷小的时间 dt, 质点走过的质点走过的轨迹是曲率半径为轨迹是曲率半径为 r r 的一段的一段非常小的长度非常小的长度 d

10、srdd s除以 dtrs222/32d/d)d/d(1 :yxyxrr曲率半径引进单位矢量引进单位矢量et 和和 enet 和和 en 相互垂直相互垂直, 大小为大小为1。et 和和 en 方向并不固定方向并不固定, 由动点由动点a的位置确定。的位置确定。et 是是a的切线方向且指向的切线方向且指向s的的增加方向。增加方向。en 垂直于垂直于a的轨迹并指向曲的轨迹并指向曲率中心率中心 cmalinfinitesidr 与a点的轨迹相切，大小为dsssddddttreer速度速度: :tdddddderrvvstst速度的大小速度的大小 sv速度的方向速度的方向tentttvveeeeavvt

11、 ddva )(ddtevtttveevjiecossintjiesincosn)sincos(etji由上由上, ,nteersantsveervnntteeaa又：又：则：则：vt2navarttn2nveaearvvt2navarttn2nveaearv切向加速度，表示了质点速度大小的切向加速度，表示了质点速度大小的变化，若质点速率增加，那么它具有变化，若质点速率增加，那么它具有和速度相同的方向，反之，和速度方和速度相同的方向，反之，和速度方向相反。向相反。tana法向加速度，描述了速度方向的变法向加速度，描述了速度方向的变化。化。2t2naaa关于关于 空间自然轴系空间自然轴系dddd

12、1ddddsssr因为方向同nddnsr所以ddddddddrrssvvtstt速度ddddddvvavttt加速度ddddddsvntstr代入2ddtnvvanaa ntr则ddnsr若切向加速度若切向加速度 at 是一个常数是一个常数, 质点做匀加速曲线运动，质点做匀加速曲线运动，则有以下关系则有以下关系:)(2210t2022t00t0ssavvtatvsstavv曲线匀速运动曲线匀速运动0000,tavvssv t常数常数 例例5-4 在图的摇杆滑道机构中，滑块在图的摇杆滑道机构中，滑块m同时在固定圆弧槽同时在固定圆弧槽bc和摇杆和摇杆oa的滑道中滑动。圆弧的滑道中滑动。圆弧bc的半

13、径为的半径为r，摇杆的转轴，摇杆的转轴o在在bc弧的圆周上，摇杆绕弧的圆周上，摇杆绕o轴以匀角速度转动。当运动开始轴以匀角速度转动。当运动开始时，摇杆在水平位置。求时，摇杆在水平位置。求 （1）滑块相对于）滑块相对于bc弧的速度、弧的速度、加速度；（加速度；（2）滑块相对于摇杆的速度、加速度。）滑块相对于摇杆的速度、加速度。theoretical mechanics 返回首页返回首页theoretical mechanics先求滑块先求滑块m相对圆弧相对圆弧bc的速度、加速度。的速度、加速度。 bc弧固定，故滑块弧固定，故滑块m的运动轨迹已知，宜用自然法求解的运动轨迹已知，宜用自然法求解 以以

14、m点的起始位置为原点，逆时针方向为正点的起始位置为原点，逆时针方向为正 trrmos2rtsv2dd方向如图方向如图224,0ddrrvatvan24raan方向如图方向如图 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析theoretical mechanics解法解法2：笛卡儿坐标法笛卡儿坐标法建立图示坐标系建立图示坐标系trttrtomytrrtrtomx2sinsincos2sin2coscos2cos2trtyvtrtxvyx2cos2dd,2sin2ddrvvvyx222tvvtvvyx2cos,cos,2sin,cosjviv 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析the

15、oretical mechanics 在轨迹已知情况下，用自然法不仅简便，而且速在轨迹已知情况下，用自然法不仅简便，而且速度、加速度的几何意义很明确。度、加速度的几何意义很明确。 讨论：讨论： 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析trtvatrtvayyxx2sin4dd,2cos4dd222224raaayxtaataayx2sin,cos,2cos,cosjaiatheoretical mechanics求滑块求滑块m相对于杆的速度与加速度相对于杆的速度与加速度 将参考系将参考系ox 固定在固定在oa杆上，此时，滑块杆上，此时，滑块m在在oa杆上作直杆上作直线运动，相对轨迹是已知

16、的线运动，相对轨迹是已知的oa直线。直线。m点相对运动方程为点相对运动方程为 方向沿方向沿oa且与且与x 正向相反正向相反 其方向沿指向其方向沿指向x轴负向轴负向 trtxvtrromxsin2ddcos2cos2rtrtvacos2dd2rr 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析theoretical mechanics 例例5-5 平行四连杆机构在图示平面内运动。平行四连杆机构在图示平面内运动。o1a = o2b=0.2 m, am =0.6m，o1o2 = ab =0.6m，如，如o1a按按 =15的规律转动，其中的规律转动，其中 以以rad计计，t以以s计计。试求试求t=0.

17、8 s时时，m点的速度与加速度。点的速度与加速度。 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析theoretical mechanicsa a点作圆周运动，其运动方程为点作圆周运动，其运动方程为taos 313ddtsva（m/s） 0ddtvaa2212452 . 09aovaaan8 . 0t (s)时，4 . 2s(m)， 2 . 01ao(m)， 122 . 04 . 2 此时此时ab杆正好第六次回到起始的水平位置杆正好第六次回到起始的水平位置o点处点处. 、 的方向如图示的方向如图示 mvma 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析theoretical mechanic

18、s 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析 例例5-6 搅拌机如图所示，已知搅拌机如图所示，已知o1ao2br，o1o2ab，杆，杆o1a以不变转速以不变转速n r/min。试分析。试分析 bam构件上构件上m点的轨迹、速度点的轨迹、速度和加速度。和加速度。 解：因为构件解：因为构件bam作平移作平移,所以所以 m轨迹与轨迹与a相同。相同。 a的轨迹为的轨迹为theoretical mechanics 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析o1xa bvmmyamvano2ba222ryxrnrnaarnrnvnaaa2230602, 030602222ryxrnvn30rna

19、a2n30, 0 m的轨迹的轨迹速度速度 加速度加速度 例例5-7 如图所示，摇杆机构的滑杆如图所示，摇杆机构的滑杆ab以匀速以匀速u向上运动，试建向上运动，试建立摇杆立摇杆oc上点上点c的运动方程，并求此点在的运动方程，并求此点在 的速度大小。假定的速度大小。假定初始瞬时初始瞬时 0，摇杆长，摇杆长oca，距离，距离odl。theoretical mechanics 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析4theoretical mechanics 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析sincosayax解：如图示坐标系，动点解：如图示坐标系，动点c的坐标为：的坐标为：对于动点对于动点a：lututlylxarctantan222222/tulautytulalxcclutaasarctan 动点动点c的运动方程为：的运动方程为：用弧坐标表示点用弧坐标表示点c的运动方程，则有的运动方程，则有ult 时，4laultuluatsvultultultc2/1dd222当当 lutaslauvtulautytulalxcccarctan,2/,/,/222222theoretical mechanics 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析 例例5-7 如图