平面三角形与空间四面体之间的类比

1、平面三角形与空间四面体之间的类比“类比是伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”（波利亚）。新教材中引入类 比这一内容，从根本上改变了我以往对数学的看法。虽然我以前也知道到类比，但却不敢把它作为一种数学方法理直 气壮地在课堂上讲授，让学生使用。如今总算可以放开手脚，大胆应用了。首先，平面三角形是平面几何中的一个基本图形，而四面体是立体几何中的一个基本图形。二者之间有着密 切的联系，同时它们之间的联系体现了平面与空间的联系，一维空间与二维空间的联系，进一步可能有助于对多维空 间的理解。一、从概念上看：三角形是边数最少的多边形，四面体是面数最少的多面体。二、三角形的任意两边之

2、和大于第三边。四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积。三、任意一个三角形都有一个外接圆，即不共线三点确定一个圆，这个圆圆心称为三角形的外心，外心是各边垂 直平分线的交点，外心到三角形各顶点距离相等。任意一个四面体都有一个外接球，即不共面四点确定一个球；这个 球的球心在四面体各个面内的射影是各个面的外心，且它到四面体各顶点的距离也相等。四、任意一个三角形都有一个内切圆，圆心称为三角形的内心，内心到各边距离相等，是三内角平分线的交点；S = rc且设三角形的周长为 c,内切圆半径为r,则三角形的面积为1 。任意一个四面体都有一个内切球，球心到各个面的距离相等，是从六条棱出发的六个二面角的平分

3、面的交点。且设四面体的表面积为S内切球半径为 R，则四面体的体积为 ；。五、正三角形棱长为a时，周长为3a,面积为-外接圆半径为3，内切圆半径为外接圆半径是内切圆半径的 2倍。正四面体棱长为a时，表面积为，外接球半径为盘内切接球半径为11 。外接球半径是内切球半径的 3倍。六、任意三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。（重心定理）如图1所示： G为二 的重心。且 AG=2GE任意四面体的顶点与对面重心的连线交于一点，正是四面体的物理重心，且四面体的重心到顶点的距离是 它到对面重心距离的 3倍。（重心定理的推广）如图2所示：E,F分别为，1| ；&

4、#39; -1L 的重心，AE与BF相交于点G,则G为四面体A-BCD的重心。 AG=3GE七、三角形中三个顶点的坐标分别为- -1，则它的重心坐标为叫+羽+兀必+为+必)。四面体中四个顶点的坐标分别为jq+呵+西+习”+”+”+片珂+ %+勺+%)则它的重心坐标为'八、三角形中有余弦定理。在四面体A-BCD中，顶点A,B,C,D所对底面面积分别为;以四面体的各棱为棱的.面角大小分别为 m；r ；二。则有. . r丄严；二严 m余弦定理证明如下:证明：在二二T中利用射影定理有a-c cos 5 +b cos C (1) b-acoC(2) c = Z?cosi4+cos5 (3)由上面

5、三式得：,一££ I上.”上|二j向量证明至迄中，不一谶；_石，':Bfc|2 二 应 一 Xi)(xb-Ah)町岡冲科価点*Bc|z 二 ptp+1/1?|2-2|Xi|AtcasAa2 = b2 +t2 -2bccosA空间中的余弦定理类比证明如下:证明：由空间的射影定理知H为点A在平面BCD中的射影，贝U 5逊D +门逊C +叫沁COS+ Eg COS+ "q COS同理有：Sr COS CIqp + Sq COS C12)+ 爲 COS 必丄 cSq S&cos 此伺 + S号 cos &血+S© cos a嗣爲二

6、63; cos aiC+& cos aAC+i?ccos 弦于是有= $£“机°£龟D +心卫"月%)+心卫心l也亡=,丫，：丫，严叮二.丄:；+丨丄. /J'.,+ ' ' 12，：，' "jIl 匚"-'jJ所以：匚二点评：在上面的推理论证中，我们不光从已知、结论上进行了类比，而且对证明过程也进行了类比。充分体现 了类比的“引路人”作用。九、在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。这是勾股定理，它是余弦定理的一种特殊情形。于是 可利用余弦定理证明。在有三个面两两互相垂直的四面

7、体中，三个“直角面”的面积平方和等于“斜面”的面积平方。这是推广的勾股 定理，它也正好是前面推广的余弦定理的特殊情形。于是它可利用推广的余弦定理证明。十、三角形中有正弦定理:siujI sinS sin (7证明：在 MBC 中，有于是有：丄S逊亡=1眩 sin B = ab sin C2 2c ba即：i上 ：口二。 同理可证：_口一二( :二。而在四面体 ABCD中，设棱AB与面ACD，面BCD所成角分别为 Z 0 ,则-:-：1 -:二A证明：如图4:作AH垂直平面BCD , H为垂足。则 二二就是AB与平面BCD所成角。所以AH=AB ：1L -。所以匚同理：二“LACS) _ %血如

8、所以 “丄口丄-二即一;一：i：；十一、已知点 o是二 内任意一点，连接 AO,BO,CO并延长交对边于 A，B，C',OA1 OS1 OC' qr +H 1则矢证明：如图5所示,0占_ &妙因为i'. .-I与同底，所以同理:ob* _ &牧 gc，_瓦沁莎一琢；歹臥所以W + 0E' + °C' _ &陋 + 必血 * % 吨 _ AA莎CC'T盂而在空间四面体 ABCD中也可有类似命题:已知点O是四面体ABCD内任意一点，连接AO,BO,CO,DO并延长交对面OA1 OB1 OC 0D1rH1H于 A', b', C' D ,则孔4 SB' CCl DD'证明：如图6所示,因为三棱锥 O-BCD与三棱锥 A-BCD