基于小波变换的A

1、基于小波变换的APF（用于三相不对称电路）基于瞬时无功功率理论的电流检测方法被广泛应用于电力有源滤波器。仅适合对称的三相三线电路，不适合三相不对称，三相四线和单相电路。小波理论分析1 .连续小波变换小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在（不为零），且其均值为零。图是一个Daubechies小波（db10）与正弦波的比较。傅里叶变换与小波变换基元正弦波是振幅不变、随时间无限振动的光滑波形，它是傅里叶变换的基础。由图看由，小波是尖锐变化而且是无规则的波形，这是小波变化的基础。因此用小波能更好地刻画信号的局部特性。在数学上，傅里叶变换的公式为F（w）=f（t）e-jwtdt-oO积分是从3到收。

2、图给生了傅里叶变换的示意图。由图看出，原始信号是由不同的频率成分构成的信号不同频率分量的组成信号傅里叶变换过程连续小波变换(ContinueWaveletTransform)的数学表示式为Wf(a,b)=；fJa,b；=f(t)(;ra1二,b(t)=1式中，中为小波；a为尺度因子；b为平移参数。图是小波变换的示意图。由图看由，小波变换给由了在各个时刻信号是由哪些尺度的小波构成的。信号不同尺度和不同位置小波的组成信号小波变换示意图小波中的尺度因子的作用是将小波在保持完全相似条件下的“拉伸”或者“压缩”。图给由了尺度因子的“拉伸”和“压缩”作用。小波中的位移参数，是简单地将波形沿时间轴平移。f(

3、t)=.(t)a=l1 f" (4 )aN不同尺度下小波形状2 .离散小波变换在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的。离散的目的是减少连续小波变换的信息冗余，同时又要保证反映由信号的特征信息。通常，把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散化公式分别取作a=%j,b=ka0jb0,j,ZZ,则相应的离散小波函数为2j.=a072V(上半)=a。(ao-jt-kto)ao相应的离散小波变换为：Cj,kJf(t)j；dt=：f：、k/-O0其重构公式为f(t)=C1：CjJj,k(t)-

4、00-COC是一个与信号无关的常数3 .二进制小波变换上面是对尺度参数a和平移参数b进行离散化的要求。为了使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，需要改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。换言之，在实际中采用的是动态的采样网格。最常用的是二进制的动态采样网格，即瓦=2,仇=1,每个网格点对应的尺度为2j,而平移为2jk。由此得到的小波1,k=22,-(2t-k)j,kZ二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定有一放大倍数2T,它对应为观测到信号的某部分内容。如果想进一步观看信号更小的细节，就需要增加放大倍数即减小j值；反之，若想了解信号更粗的内容，则可

5、以减小放大倍数，即加大j值。在这个意义上，小波变换被称为数学显微镜。二进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移参量仍保持连续变化，因此，二进小波变换不破坏信号咋时间域上的平移不变量，这是它较之离散小波变换所具有的连续的独特优点。时间域频率域短时傅里叶变换小波变换(1)小波变换示意图4 .MALLAT算法滤波的基本原理Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅里叶变换算法在经典傅里叶分析中的地位。关于多分辨率分析的理解，以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图三层多分辨率分析树结构图从图可以明显看由，多分辨率分析只是对低频部分进行进一步分解，而高频不

6、予以考虑。分解具有关系：S=A3+D3十D2十D1.这里只是以一个层分解进行说明，如果要进行进一步的分解，则可以把低频部分A3分解成低频部分A4和高频部分D4。以下再分解依次类推。4.1 康托尔（Cantor）间断集设X0=0,1，则X0是一个长度等于1的闭区间，现在将单位长度等分，去掉中间长度为%的开区间（,%）,剩下的是左、右各长度的闭区间，用Xi表示，则Xi=0,%|J%1,接着再把“中两个长度各为区的区间三等分，去掉中间的%部分，其长度为%2的开区间，剩下的是X2,则X2=0,%U%2，%2U%2，%U%2,1，它是由22个长度等于%2的闭区间所构成，如图所示。如此继续分割下去就得到一

7、个无穷嵌套序列X。nXX2nX3川，其中Xk是由2k个长度为%的闭区间所组成，这些集的交集用D表示，则D=X°cXiCX2cXsllkXk,这就是康托尔间断集。因为Xk是k为由2k个长度等于%k的闭区间所组成，它的总长度等于2Z。所以D若是有长度的话，其长度等于如下极限：ikm%=®（%）k=0与闭区间同时存在的是开区间，记为Wi,W2，.不难看由，康托尔间断集中任意两个不同的开区间即交集是空集*,说I、，一，、一IN明匕们是相互正交的，即W1cW2W3cl|WN=cWk=。kT为了方便，称下标k为康托尔间断集的尺度。4.2 康托尔间断集与希尔伯特空间的对应关系由图易将康托

8、尔间断集与希尔伯特空间H联系起来，建立二者之间的对应关系。为此用H空间的子空间V。表示康托尔间断集中的Xoo每次去掉的部分用子空间Wk表示，而每次剩余的部分用子空间Vk表示。显然，任意两个不同的开区间Wi与Wj的交集是弧意味着它们彼此正交。同时Vi与Vj的交集并不是叫因此Vi与Vj并不正交，在尺度为1时，V0分解为Vi与Wi的直和，即Vo=Vi5Wi,Wi就是Vi在Vo中的正交补空间，改变尺度继续分割下去就有Vo=Vi©Wi=V2©W2©Wi=III,可见，Wi就是对Vo空间结构的细节补充。同时Vi就是在尺度i下对Vo的基本特征的表现。VoViXiX。ViWi)V

9、2V2V2V2(W2)Wi)(W2)X2V3 V3V3V3V3V3V3V3(W3)(W2)一(W3)(Wi)(W2) X3(W3)(W3)康托尔间断集与希尔伯特空间的关系4.3 康托尔间断集的性质由图可以直观地看由，康托尔间断集有如下性质：1 .XmeXm.：即分辨率高的空间Xm,包含了分辨率低的空间Xm全部信息002 .9Xm=X。,CXm=0,即limXm=0。m-二：m一_二：m_八3 .如果f(t)WXm,则f(2t)WXm。4 .若f(t)WXm,则f(t-%m)WXm,即康托尔间断集对于函数f的平移是不变的。4.4 多分辨率分析多分辨率分析的实质是满足一定条件L2(R)中的一系列子

10、空问，其定义如下：在L2(R)空间中的多分辨率分析是指满足下列条件的一空间序列：Vj,jzH(1)单调性：VjUVj，jwz；渐进完全性：j：VjwL2(R),jE2=b；(3)伸缩性：对任意jwz,f(x)wVj,则f(2x)wVj；平移不变性：f(x)WVj,则f(x-2jk)WVj,kwz；里兹(Riesz)基存在性：存在函数g(x)WV0,使得g(x-k),YZ构成Vo的里兹基，即对任意的中(x)WV。，存在唯一的序列a-I2，使得甲(x)=£akg(x-k)。k4.4.1Vj(jwz)空间的标准正交基(尺度函数的引入)由里兹基得存在性，设平(x)WVo,则(x)=akg(x

11、-k)(1)k其傅里叶变换为P(w)=G(w)"akekw=G(w)M(w)(2)k己式中jkwM(w)=、akekez在多分辨分析中，称邛(x)为尺度函数。由多分辨率分析的性质(3),可以得由Vj空间的标准正交基为24中(2x.n),nwZ。尺度函数中(x)与小波中(x)在小波变换中起着重要作用，尺度函数时构造小波的重要途径。4.4.2 Vj的正交补空间Wj的标准正交基若中(x)ww0,则W(xn),nwZ可构成W。空间的标准正交基，而由多分辨率分析的伸缩性，Wj空间的标准正交基为jj2(2-x-n),nwZ。4.4.3 尺度函数中(x)的两尺度方程和h(w)的性质尺度函数2一2c

12、p(2nxn),j”Z当j=0和1时有0,n=(x-n)Voi,1(x)Vi.22但VlEV0,所以可以用中0,n展开中1,0,即1(x)-hn:x-n)(3),.22n其中hn=l-Wndx",。nJ,式(3)成为尺度函数的两尺度差分方程。将式(2.3)两边取傅里叶变换，P(2w) = H (w) P(w)(4)其中9=京in称为序列0的傅里叶变换。序歹I皿或者与之等价的H(w)完全决定了多分辨率分析。4.4 信号f的多分辨率分析将Vj空间与四空间结合起来，就相当于希尔伯特空间H的正交分解，即V0”二四、二W2二四二W3=W2二四=|(实际测量的信号f(x),只能得到有限的分辨率，

13、假设对于尺度m。，该尺度就对应着V。，然后在Wk空间不断变换尺度进行越来越细的分解，用公式表示如下：NV0"二w=v2二%二皿=v3二W3二W4二W1=|l|=vN.Wk1Nf。=f1d1=f2.d2.d1=f3.d3.d2.d1=川=fN'dkk=14.5 滤波器脉冲系列限和“设M为)的多分辨率逼近，由多分辨率理论有j二Z:Vj二WjV可Vj三VjWjWVj(5)邛(x)为尺度函数，令?(x)=2$2-jx),则、n=2jf(x-2jn)MZ(6)是Vj的规范正交基。将Q(x)=2"(2Tx)代入式(6),Vj的规范正交基也可表示为*,n=22中(2x-n)nWZ

14、(7)里(x)为小波函数,令%(x)=2，(2-jx),则j中j,n=2/中j(x-2jn)neZ(8)是Wj的规范正交基。将匕(刈=2中(2刈代入式(8),Wj的规范正交基也可表示为七,n=2,2中(2x-n)n-Z(9)292中(2x三Vj户Vj且I2幺甲(-j2xWj户y110)根据式(10),可以用Vj空间的规范正交基表示Vj空间的基函数，即jjjj.jj22j(x-2jn)-、.22j(x-2jn),22(x2j,k)：22jJ(x-2jJk)令j=1,则由内积变成(212%(x-2n)/Po(x-k)(11)这正是式(3)中定义的%,不过现在是hk.no对任意j,上式均成立。所以有

15、j.j一22%(x-2jn)=£h-2f(x-2j,k)(12)k将甲j(x)=2T<P(2x)代入上式，就得到等价表示式T,j12"邛QTx_n)=£均为2，2邛xk)(13)khkin/'中(2-xn),2T女中(2j)x-k)：(14)完全相似地可以得到小波函数的如下关系：jji2八七(x-2jn)=£gk.2'2%-24)(15)k2,2中(2x-n)=£gk,n2,表巴2j)xk)(16)kg-n=，表中(2xn),2场Q,qxk)1(17)脉冲系列0和yj是马拉算法的基础。4.6 二进正交小波分解的物理意义由于

16、巴,n(x)为规范的正交基，对不同的j”j,n(x)是正交的。所以由不同的j所确定的频带是相互独立的。随着j的变化，这些相互独立的频带覆盖了整个频率轴。从频谱分析角度看，二进正交小波变换DWTj,n是把信号分解到一系列相互独立的频带上，分辨率j反映了频带的位置和带宽。在多分辨率分析理论中，Vj=VjSWj甲j,n(x)是Vj空间的标准正交基，Wj,n(x)是Wj的标准正交基。信号f(x)在Vj空间的正交投影Djf(x),称为f(x)在分辨率为j时的细节部分。显然,Aj”(x)=Ajf(x)+Djf(x),Ajf(x)为在分辨率j-1时的近似信号,它是由分辨率为j时的近似部分与细节部分之和构成。

17、综上所述，对二进正交小波分解可表示为如下：(1)当分辨率为j时，Wj空间的标准正交基为2jW(2-jx-n),n-Z,则Djf(x)=£(f(u),2幺中(2-un)2%中(2x-n)n二二二;工dn/,n(x)(18)n二二式中dnj="(u)；”Tn)(19)j一，一-，匕口=27却(20一2是带通的，所以Djf(x)是由j所确定的带通频带对信号f(x)的贡献，提供f(x)在分辨率为j时的细节部分，而正交展开系数dnj称为离散细节。(2)当分辨率为j时，Vj空间的标准正交基为24中(2x.n),nwZ则Ajf(x)=£(f(u),2"(2'u

18、n)24中(2-jxn)n二二二.工anj/n(20)n=_二式中anj=(f(u),2人中(2,un)j(21)它是相对匕,n(x)所确定带通频带的相邻低通频带对信号f(x)的贡献，称为信号f(x)在分辨率为j时的近似部分，而是正交展开系数anj称为离散近似。(3) Ajf(x)=Ajf(x)+Djf(x)(22)它是由j所确定的带通频带与比其低且相邻的低通频带之和的一段低通频带队信号f(x)的贡献，包含了信号的分辨率为j时的近似和细节。下图说明了(22)的频带关系：Aj和Dj分别是分辨率为j-1时的近似部分和细节部分的频带；而Aj和Dj分别是分辨率为j时的近似和细节部分频带。Dj是Aj中的

19、高频部分，Aj是Aj中的低频部分。DJ均D尸式(2.22)的频带关系4.7 MALLAT算法4.7.1 小波分解艰据Vj°=VjWj,VjUVj，WjUVj，有j/匕、/-j(Li1)，j_D2一2：(2,x-n)="：2一2；(2九-2,22(2'j)u-k)；：22:(24jJ)x-k)k-.：.(23)与j，*'；jUd/:-Lj-D2-2，-(2jx-n)-'、；2-2，-(2九n),22，-(2"j,)u一k)；22，-(2"j,)x一k)(24)将式(14)和式(17)定义的h和g-n代入式(23)和(24)有j/.(

20、j1)22中(2-xn)=£hyn22中(2431k)(25)k二二二与j二，j_1)22(24x-n)=gg-n22中(2-k)(26)k-因此，由式(25)有(f(u),2T2cp(2"ju-n)=£_hj卜(u),2-Q"，k);(27)即anj=£naki(28)k二二二由式（26）有«（u）,2jW（2u_n）j=JgkNn卜（u）,22巴2，%_可（29）即dnj=Zgsaj（30）k二-二令gn=g则式（28）与式（30）%j=Jha（31）k-：2n_kdnj=Jga（32）k-：2n_k上面两式就是小波分解的马拉算法

21、。图表示小波分解的马拉算法，12表示%抽样，即从a1到aj和dj,样点数减少一半0'-q/.且1小波分解的马拉算法4.7.2小波重构q_i）艰据Vj=VjWj2，2中（27-n、M,及Vj与Wj两个正交基之和就是Vj的正交基，有4j-1)22：(2d)x-n)二2(2,2中(2-uk),22平(2,)un)2：2甲(2一xk)+k=g/'W(33)'、；2-2,-(2-ju-k),22：(2(,)-n)；22，-(2-jx-k)与小波分解马拉算法推导相同，引入系数hn和gn,上式化简(f(u),2月2中Qun)j=£hnNk(f(U),24(2,Uk)+gn/1f(U),2'(2,Uk)(34)k：.kr二二即oOcoan，=hnhn_2kaJ+Zgn_2kdJ(35)k：k=二上式即为小波重构的马拉算法。图为这种算法的示意图，2表示内插，即有akj和dkj到akj样点数增加一倍。日叵-©；I*卜21回小波重构的马拉算法示意如果从信号处理的观点来看，小波分解与重构