中考专题复习一次函数知识点总结

1、一变量：自变量：自己变化的量；在一个变化的过程中，我们称数值变化的量是自变量.常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量.函数：被变量是自变量的函数.函数值：当自变量确定一个值，被变量随之确定的一个值.因变量：自变量的变化引起另一个量的变化，另一个量是因变量.二一次函数和正比例函数的概念1概念： 若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k,b为常数，k丰0）的形式， 则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来 确定（2） 一次函数y=kx+b（k,b为常数，0）中的一次”和

2、一元一次方程、一元一次不等 式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1, 一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数判断一个等式是否是一次函数先要化简（3）当b=0,k丰0时，y= kx仍是一次函数.（正比例函数）（4）当b=0,k=0时，它不是一次函数.2.函数的表示方法：1）解析法，2）列表法，3）图象法.列表法直观但不完全解析法准确完全但不直观图象法直观形象但不够准确也不太完全图象的画法：一列表、二描点、三连线（顺次用平滑的曲线）解析式的列法：一）实际问题，确定自变量的取值二）符合题意三函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内 描出它的

3、对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线.一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（k,b为常数，k工0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：K直线与y轴的交点（0,b）,直线与x轴的交点（-,0）.画正比例函数y=kx的图象时，k只要描出点（0,0）,（1,k）即可.四一次函数性质1.一次函数y=kx+b（k,b为常数，k0）的性质（1）k的正、负决定直线的倾斜方向；1k0时，y的值随x值的增大而增大；2k0时，直线与y轴交于正半轴上；2

4、当bv0时，直线与y轴交于负半轴上；3当b=0时，直线经过原点，是正比例函数.(4)由于k,b的符号不同，直线所经过的象限也不同;kb经过的象限Y随x的变化图象y=kx+b（b丰o）kobo5 -KY随x的增大而增大1/y=kx+b（b丰o）kobvo一三四Y随x的增大而增大H丄y=kx+b（b丰o）kvobo一二四Y随x的增大而减小y=kx+b（b丰o）kvobvo二三四Y随x的增大而减小(5)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且 它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x+1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个

5、单位得到的.2.正比例函数y=kx(k丰0)的性质(1)正比例函数y=kx的图象必经过原点；(2)当k0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；(3)当kv0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小.点P(xo,yo)与直线y=kx+b的图象的关系(1)如果点P(xo,yo)在直线y=kx+b的图象上，那么xo,yo的值必满足解析式y=kx+b；(2)如果xo,yo是满足函数解析式的一对对应值，那么以xo,yo为坐标的点P(1,2)必 在函数的图象上.例如：点P(1,2)满足直线y=x+1，即x=1时，y=2,则点P(1,2)在直线y=x+l的 图象上；点P(2,1)不满足解析式y=

6、x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P(2,1)不 在直线y=x+l的图象上.确定正比例函数及一次函数表达式的条件(1)由于正比例函数y=kx(kz0)中只有一个待定系数k，故只需一个条件(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值.(2)由于一次函数y=kx+b(kz0)中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定两个 关于k,b的方程，求得k,b的值，这两个条件通常是两个点或两对x,y的值.五一次函数与方程1.一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b(az0,a, b为常数)中，函数的值等于0时自变量x的值

7、就是一元一次方程ax+b=0 (az0) 的解，所对应的坐标(b,0)是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；？直线ay=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b0(az0)的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b0时，直线与y轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b0时，直线与x轴正半轴相交；k当b=0时，即-b=0时，直线经过原点；k当k,b同号时，即-bO bO时，图象经过第一、二、三象限；当k0,b=0时，图象经过第一、三象限；当bO, bvO时，图象经过第一、三、四象限；当k0时，图象经过第一、二、四象限；当k0时，把直

8、线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b；当b0时，y随x的增大而减小；xc0时，y随x的增大而增大；X -0时，y有最大值0.22. y =ax c的性质:x的二次式，x的最高次数是2.b是一次项系数，c是常数项.结论：上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上(0，c)y轴x=0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0向上(h ,0)X=hxh时，y随x的增大而增大；xch时，y随x的增大而减小；x = h时，y有最小值0.a v0向下(h ,0)X=hxh时，y随x的增大而减小；xvh时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0.4.y=ax-hk的

9、性质:2.a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上(h, k)X=hxh时，y随x的增大而增大；xvh时，y随x的增大而减小；x = h时，y有最小值k.a h时，y随x的增大而减小；xvh时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k.二次函数图象的平移1.平移步骤：2将抛物线解析式转化成顶点式y =a xh j亠k，确定其顶点坐标h ,k； 保持抛物线y二ax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下:平移规律y=ax2A y=ax2+k向右(h0)【或左(*0)】平移|k|个单位y=a(xh)2向右(h0)【或左(h0)【或向下(k0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(

10、k0)平移|k|个单位鬥y=a(x-h)2+k在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”.三、二次函数y =a x _h:;k与y =ax2 bx c的比较请将y =2x2 4x 5利用配方的形式配成顶点式。请将y =ax2 bx c配成2y =a xh i亠k。总结:从解析式上看，y =a x-h i亠k与y =ax2，bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即心4a4ab，其中“舟心呼- 四、二次函数y =ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y =ax2亠bx亠c化为顶点式y = a(x -h)2亠

11、k，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点2h,c、 与x轴的交点xi, 0,X2,0(若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点五、二次函数y =ax2bx c的性质当xb时，y随x的增大而减小；当xb时，y随x的增大而增大；当x 2a2a2a时，y有最小值4ac.4a2.当a cO时，抛物线开口向下，对称轴为x=-，顶点坐标为,4ac_b当2aV 2a 4ayx时，y随x的增大而增大；当x时，y随x

12、的增大而减小；当xb时，y2a2a 2a2有最大值4ac-b4a六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y = ax2 bx c(a,b,c为常数，a = 0)；2.顶点式：y =a(x-h) k(a,h,k为常数，a=0)；3.两根式：y =a(x-xi)(x-X2)(a =0,为,x?是抛物线与x轴两交点的横坐标).注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写. 2成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b -4ac_0时，抛物线的解析式才可以用交 点式表示二次函数解1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x=舟，顶点坐标为b 4ac-b22a 4a析式的这三

13、种形式可以互化七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y =ax2，bx中，a作为二次项系数，显然a=0. 当a：0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.当a 0时，抛物线开口向上, 大；a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴. 在a 0的前提下，当b 0时，一,0，即抛物线的对称轴在y轴左侧;2a当b =0时，一A=0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b：:0时，一A 0，即抛物线对

14、称轴在y轴的右侧.2a 在a,0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时，一A：0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置. 总结：3.常数项c 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 当c：0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a ,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式， 通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点，选择适当的形

15、式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.1、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称y =ax2bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y - -ax2-bx -c；2 2y =a x-h i亠k关于x轴对称后，得到的解析式是y - -ax-h-k；2.关于y轴对称当b 0时，-茶0，即抛物线的对称轴在y轴右侧;当时，一加0，即抛物线的

16、对称轴就是y轴;y轴交点的纵坐标为正；y轴交点的纵坐标为0;y轴交点的纵坐标为负.22y二axbx c关于顶点对称后，得到的解析式是2y=ax-h亠k关于顶点对称后，得到的解析式是2 2y=ax-h k关于点m,n对称后，得到的解析式是y -ax h-2m：；2n-k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化， 因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时， 可以依据题意或方便运算的原则， 选择合适 的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线） 的顶点坐标及开口方向， 再确 定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c =0是二次函数y =ax2亠bx亠c当函数值y = 0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：1当丄二b2-4ac0时，图象与x轴交