幂函数、函数的图象

1、第四节 幂函数、函数的图象1.1.了解幂函数的概念了解幂函数的概念. .2.2.掌握函数：掌握函数：y=x,y=xy=x,y=x2 2,y=x,y=x3 3, , 的图象特征，了解它的图象特征，了解它们的变化情况们的变化情况. .3.3.会用基本函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个会用基本函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题数与不等式解的问题. .4.4.会用数形结合的思想与化归转化的思想解决数学问题会用数形结合的思想与化归转化的思想解决数学问题. . 121y,yxx1.1.考纲对幂函数要求不高，只需了解幂函数的性质，掌握常见考纲对幂函数要求不高，只需了解幂

2、函数的性质，掌握常见的几种幂函数图象即可的几种幂函数图象即可. .2.2.对基本函数的图象，考纲要求以图象为载体研究其单调性、对基本函数的图象，考纲要求以图象为载体研究其单调性、奇偶性，能结合图象比较函数值的大小，利用图象解一些简单奇偶性，能结合图象比较函数值的大小，利用图象解一些简单的方程、不等式的方程、不等式. .3.3.从能力上，要求学生具备基本的作图、识图能力和图象的简从能力上，要求学生具备基本的作图、识图能力和图象的简单应用能力单应用能力. .4.4.从题型上看，主要以选择、填空的形式考查，一般为低中档从题型上看，主要以选择、填空的形式考查，一般为低中档难度题难度题. .综合应用的题

3、目有时难度会稍大一些综合应用的题目有时难度会稍大一些. . 函数图象的判断函数图象的判断高考指数高考指数: :1.(20121.(2012山东高考山东高考) )函数函数y y 的图象大致为的图象大致为( )( )xxcos6x22【解析】【解析】选选d.d.函数函数f(x) f(x) ，f(-x)= =-f(x)f(-x)= =-f(x)为奇为奇函数，函数，当当x0 x0，且，且x0 x0时时f(x)+f(x)+；当；当x0 x0，且，且x0 x10 x10时，时，|lgx|1.|lgx|1.因此结合图象及数据特点知因此结合图象及数据特点知y=f(x)y=f(x)与与y=|lgx|y=|lgx

4、|的图象交点共有的图象交点共有1010个个. .【命题人揭秘】【命题人揭秘】命题规律：纵观历年来高考试题，该高频考点的考查内容主要命题规律：纵观历年来高考试题，该高频考点的考查内容主要有：有：(1)(1)函数图象的对称性，周期性，奇偶性，单调性函数图象的对称性，周期性，奇偶性，单调性. .(2)(2)函数图象的变换函数图象的变换( (平移、伸缩、对称、翻转平移、伸缩、对称、翻转).).题型有：题型有：由函数图象求交点、交点个数，求解析式，求参数由函数图象求交点、交点个数，求解析式，求参数值，求最值等值，求最值等. .图象变换图象变换( (求变换前后函数关系式、变换方法、求变换前后函数关系式、变

5、换方法、变换过程变换过程).).利用图象性质解决综合性问题利用图象性质解决综合性问题. .考查形式一般为选择题、填空题考查形式一般为选择题、填空题. .难度为中档或中档偏上难度为中档或中档偏上. .备考策略：备考策略：1.1.解决图象问题，关键是要学会观察分析图象的关键点、关键解决图象问题，关键是要学会观察分析图象的关键点、关键值和主要性质值和主要性质. .总结由图象特征提取信息，分析信息的规律方法总结由图象特征提取信息，分析信息的规律方法. .并通过练习应用，验证、补充，使之不断完善并通过练习应用，验证、补充，使之不断完善. .2.2.对图象的变换原则，要进行针对性训练，熟练掌握基本函数对图

6、象的变换原则，要进行针对性训练，熟练掌握基本函数的常见的变换方法的常见的变换方法. .图象是数形结合思想应用的主体，对图象是数形结合思想应用的主体，对“数数”与与“形形”结合的关键点和转化技巧要加强训练，高度重视结合的关键点和转化技巧要加强训练，高度重视. . 函数中的新定义问题函数中的新定义问题【典例【典例3 3】(2011(2011天津高考天津高考) )对实数对实数a a和和b,b,定义运算定义运算“”: :a ab= b= 设函数设函数f(x)=(xf(x)=(x2 2-2)-2)(x-1),xr.(x-1),xr.若函数若函数y=f(x)-cy=f(x)-c的图象与的图象与x x轴恰有

7、两个公共点轴恰有两个公共点, ,则实数则实数c c的取值范围是的取值范围是 ( )( )(a)(-1,1(a)(-1,1(2,+) (b)(-2,-1(2,+) (b)(-2,-1(1,2(1,2(c)(-,-2)(1,2(c)(-,-2)(1,2 (d)(d)-2,-1-2,-1a,ab1,b,ab1【解题视角】【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：由题目获取已知信息并分析如下：(1)(1)已知信息：已知信息：新定义实数新定义实数a a、b b满足运算满足运算“”. .函数函数f(x)f(x)是满足新定义运算的关系式是满足新定义运算的关系式. .函数函数y=f(x)-cy=f(x)-c的

8、图象与的图象与x x轴恰有轴恰有两个公共点两个公共点. .(2)(2)信息分析：信息分析：根据新信息规定，可得出根据新信息规定，可得出f(x)f(x)的解析式，的解析式，f(x)f(x)解析式应该是分段函数解析式应该是分段函数. .y=f(x)-c y=f(x)-c 的图象是由的图象是由y=f(x)y=f(x)的图象上下平移得到的的图象上下平移得到的, , 数形数形结合平移图象即可得出所需结论结合平移图象即可得出所需结论. .【解题流程】【解题流程】选选b.b.【阅卷人点拨】【阅卷人点拨】创创新新点点拨拨 1.1.本题在给出题目条件时有创新，新定义了两个实数的本题在给出题目条件时有创新，新定义

9、了两个实数的运算法则运算法则. .考查了学生的审题能力和面对新问题的分析考查了学生的审题能力和面对新问题的分析思维能力思维能力. .2.2.本题在问题设置上也有创新，求函数本题在问题设置上也有创新，求函数f(x)-cf(x)-c与与x x轴的轴的交点，实际在考查函数交点，实际在考查函数f(x)f(x)的图象变换，改变设问方式，的图象变换，改变设问方式，旨在考查学生的灵活应变能力旨在考查学生的灵活应变能力. .备备考考策策略略 1.1.对待新定义问题，应该首先仔细审题，把新定义的规对待新定义问题，应该首先仔细审题，把新定义的规定理解透彻，并对各项要求认真分析作出标记，找出问定理解透彻，并对各项要

10、求认真分析作出标记，找出问题的关键点、易混易错点题的关键点、易混易错点. .2.2.在复习中要利用专题训练的方式，把新定义问题归类在复习中要利用专题训练的方式，把新定义问题归类研究，找出各种条件下的新定义问题，比较异同，归纳研究，找出各种条件下的新定义问题，比较异同，归纳出通性通法，达到举一反三、触类旁通的效果出通性通法，达到举一反三、触类旁通的效果. . 幂函数的概念、图象、性质幂函数的概念、图象、性质1.1.幂函数的定义幂函数的定义形如形如y=xy=x(r)(r)的函数称为幂函数，其中的函数称为幂函数，其中x x是是自变量自变量，为为常数常数. .【考点突破区】【考点突破区】2.2.五种幂

11、函数的图象五种幂函数的图象3.3.五种幂函数的性质五种幂函数的性质y=xy=xy=xy=x2 2y=xy=x3 3 y= y=y=xy=x-1-1定义域定义域_值域值域_奇偶性奇偶性_单调性单调性_定点定点_函数函数特征特征性质性质12xr rr rr r0,+)0,+)x|xrx|xr且且x0 x0r r0,+)0,+)r r0,+)0,+)y|yry|yr且且y0y0奇奇偶偶奇奇非奇非偶非奇非偶奇奇xx0,+)0,+)时时, ,增增x(-,0 x(-,0时，减时，减增增增增x(0,+)x(0,+)时时, ,减减x(-,0)x(-,0)时时, ,减减(1,1)(1,1)增增【状元心得】【状元

12、心得】1.1.幂函数的三个特征幂函数的三个特征(1)(1)指数为常数；指数为常数；(2)(2)底数为自变量底数为自变量x;(3)xx;(3)x的系数为的系数为1.1.2.2.比较幂函数值的大小的常用方法比较幂函数值的大小的常用方法(1)(1)若幂的指数相同，构造幂函数，利用幂函数的单调性比较若幂的指数相同，构造幂函数，利用幂函数的单调性比较大小；大小；(2)(2)若幂的底数相同，构造指数函数，利用指数函数的单调性若幂的底数相同，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小；比较大小；(3)(3)若幂的底数和指数均不相同，找一个中间量，使它与一个若幂的底数和指数均不相同，找一个中间量，使它与一个幂

13、的底数相同，而与另一个幂的指数相同，分别将此中间量与幂的底数相同，而与另一个幂的指数相同，分别将此中间量与它们比较它们比较. .【特别提醒】【特别提醒】比较既有幂值，又有对数值的大小问题时，一般比较既有幂值，又有对数值的大小问题时，一般引入中间量，分组比较大小引入中间量，分组比较大小. . 3.3.幂函数幂函数y=xy=x图象特征图象特征(1)(1)当当00时，时，图象都过图象都过(0,0)(0,0)点，点，(1(1，1)1)点点. .在第一象限在第一象限内函数值随着内函数值随着x x的增大而增大的增大而增大. .在第一象限内，在第一象限内，11时，图象时，图象向下凸；向下凸；0101时，图象

14、向上凸时，图象向上凸. .(2)(2)当当00)a(a0)个单位得到函数个单位得到函数_的的图象图象. .y=f(x-b)(b0)y=f(x-b)(b0)的图象可由的图象可由y=f(x)y=f(x)的图象的图象_得到得到. .(2)(2)对称变换对称变换( (在在f(-x)f(-x)有意义的前提下有意义的前提下) )y=f(-x)y=f(-x)与与y=f(x)y=f(x)两个函数的图象两个函数的图象_对称；对称；y=-f(x)y=-f(x)与与y=f(x)y=f(x)两个函数的图象两个函数的图象_对称；对称；y=f(x+a)y=f(x+a)向右平移向右平移b b个单位个单位关于关于y y轴轴

15、关于关于x x轴轴 y=-f(-x)y=-f(-x)与与y=f(x)y=f(x)两个函数的图象两个函数的图象_对称；对称；作作y=|f(x)|y=|f(x)|的图象可将的图象可将y=f(x)y=f(x)的图象在的图象在x x轴下方的部分轴下方的部分_，其余部分不变；，其余部分不变；作作y=f(|x|)y=f(|x|)的图象可先作出的图象可先作出y=f(x)y=f(x)当当x0 x0时的图象，再利用时的图象，再利用偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴对称，作出轴对称，作出_的图象的图象. .关于原点关于原点翻折翻折到到x x轴上方轴上方y=f(x)(x0)y=f(x)(x0)【状元心得】【状

16、元心得】画函数图象的三种方法画函数图象的三种方法(1)(1)直接法：当函数表达式直接法：当函数表达式( (或变形后的表达式或变形后的表达式) )是熟悉的基本是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线函数或解析几何中熟悉的曲线( (如圆、椭圆、双曲线、抛物线如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分的一部分) )时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出. .(2)(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出. .(3)(3)描点法：

17、当上面两种方法都失效时，则可采用描点法描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法. .为了为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质找关键点的单调性、奇偶性等性质找关键点. . 忽略幂的运算性质的适用条件导致失误忽略幂的运算性质的适用条件导致失误 在进行幂的运算时要注意隐含条件的挖掘与利用，当在进行幂的运算时要注意隐含条件的挖掘与利用，当的幂指数中的幂指数中n n为奇数，为奇数，m m为偶数时，为偶数时，x x必须大于等于零，当必须大于等于零，当 00时，时，x0,x0,在化简变形时如果不细心就会导致运算错误在化简变形时如果不细心就会导致运算错误. .【示例】化简：【示例】化简：(1-x)(1-x)(x-1)(x-1)-2-2【易错易混区】【易错易混区】nmxnm1122( x)【错解】【错解】(1-x)(1-x)(x-1)(x-1)-2 -2 =(1-x)(x-1)=(1-x)(x-1)-1-1【