2019年自考微型计算机及其接口技术笔记串讲ppt课件

1、1 15 5 极限运算法则极限运算法则定理1. 若limf (x)=A, limg(x)=B存在, 那么(1) limf (x) g(x) = limf (x)limg(x) =AB(2) limf (x) g(x) = limf (x) limg(x) = A B(3)()(lim, 0 xgxfB则若 )(lim)(limxgxf.BA证证: (2) 因因limf (x)=A, limg(x)=B, 均存在均存在, 则f (x)=A+(x), g(x)=B+(x). 从而f (x) g(x)= A+(x)B+(x)= AB+A(x)+ B(x)+(x)(x)得lim f (x) g(x)

2、= AB同理可证(1), (3).推论: 设limf (x)存在. C为常数, n为自然数. 那么(1) limCf (x) = C limf (x)(2) limf (x)n = limf (x)n定理2. limf (x)=a, limg(x)=b均存在. 且恒 有f (x)g(x). 则limf (x) limg(x)证证: 记记F(x) = f (x) g(x) 0. 由保号性定理及定理1.有limF(x) = limf (x) g(x) = limf (x)limg(x) 0. 即 limf (x) limg(x).例例1.642lim232xxxx求解解: 由于由于)6(lim2x

3、x6limlim22xxx= 26 = 4)42(lim232xxx4lim2lim2232xxxx4limlim22232xxxx= 2 23 + 22 4 =16,4416642lim232xxxx故).2()(lim,642)(223fxfxxxxfx上述结果说明若记例例2.)(,.,)(1110次多项式为称为非负整数常数为其中设nxfnaaxaxaxaxfinnnn)()(lim00 xfxfxx则解解: 由定理由定理1及其推论及其推论, 有有)(lim0 xfxxnxxnnxxnxxaxaxaxa000limlimlim1110nnnnaxaxaxa0110100)(0 xf例例3.

4、 .)()()()(lim, 0)(.)()(,)(),(0000 xgxfxgxfxgxgxfxgxfxx则若为有理函数称分别为多项式设更一般的, 以后将有结论: 若f (x)为初等函数. 且f (x)在点 x0处有定义. 那么)()(lim00 xfxfxx2111lim21xx比如:1ln)ln(limeeexxex例例4.,11lim1为自然数其中求nmxxmnx解解: 将将x=1代入分母代入分母, 分母为分母为0, 不能用例不能用例3或定理或定理1(3)的方法求极限的方法求极限.想办法约去使分子分母都为零的因子x1.).1)(1(121nnnxxxx注意到公式有11lim1mnxxx

5、) 1)(1() 1)(1(lim111mnxxxxx11lim111mnxxxmn例例5.xxx11lim0求解解: 将将x=0代入代入. 分子分子, 分母都为分母都为0. 不能用定理不能用定理1(3). 想法约去零因子想法约去零因子x. 为此, 有理化.xxx11lim0) 11(lim0 xxxx111lim0 xx21例例6.925lim22xxx求解解: 这是有理函数这是有理函数. 当当x时的极限问题时的极限问题. 分子分子, 分母的极限都为分母的极限都为. 不存在不存在. 不能用定理不能用定理1(3).同除以分母的最高次幂x2.925lim22xxx229251limxxx21将本

6、题改为9 25lim2xxx3339251limxxxx= 0925 lim2xxx322925limxxxx= 改为例例7. ,)(110nnnaxaxaxf设mmmbxbxbxg110)(那么)()(limxgxfx., ,0,00为非负整数时当时当时当mnmnmnmnba).1)( .)(lim, 1,xgxfnx取当特别总结: 设f (x), g(x)为多项式.)()()(lim ) 1 (已解决xgxfx)()(lim )2(0 xgxfxx0)(, 0)(, 0)()(0)()()(00000000 xfxgxgxfxxxgxgxf但想法约去因子=例例8.).1311(lim31x

7、xx求解解: 这是两个无穷大量之差的极限问题这是两个无穷大量之差的极限问题. 无穷大量的和无穷大量的和, 差不一定是无穷大量差不一定是无穷大量.)1311(lim31xxx) 1)(1(31lim221xxxxxx) 1)(1()2)(1(lim21xxxxxx12lim21xxxx133这类问题, 称为“ ”型. 通分例例9.).1(lim22xxxx求解解: 这是两无穷大量之差的问题这是两无穷大量之差的问题. 即即“ ” 型型. 对无理函数, 可考虑有理化.)1(lim22xxxx11lim22xxxxx2111111limxxxx21注意: 虽然“ ”不一定是无穷大量.但“ (+)+(+

8、)” 一定是正无穷大量,“ ()+()” 一定是负无穷大量.若改变例9为,?)1 100(lim22xxx+解解: 这是一分段函数这是一分段函数. 分段点分段点x=0.在分段点处极限要分左, 右极限讨论.分段函数)00( f)(lim0 xfx) 1(lim0 xxe10 e=2)00( f)(lim0 xfx)(sinlim0bxxb0sin= b故, 当b=2时, f (0+0) = f (00)= 2,. 2)(lim0 xfx从而例例10.,0sin,01)(时当时当设xbxxexfx何值时,.)(lim0存在xfx问常数b为例例11. .,lim, 0,321并求之存在证明设数列nn

9、nxaaaaxaaaxaaxax证证: 先用先用“ 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限” 证明证明.lim存在nnx(1)单调性.= xn1故xn单调递增.0aaa n1个aaaaxn n个a(2)有界性.故 xn有界.00, 由保号性定理, A0从而,2411aA即.2411limaxnn求复合函数的极限时, 常可用“ 换元法” 简化运算.例例12.).cos(lnlim1xx求解解: 直观地看直观地看.当x1时, lnx0, 而当lnx0时, cos(lnx)cos0=1.或者, 令u=lnx,当x1时, u0,代入uxuxcoslim)cos(lnlim0110cos这种方法称为换

10、元法. 使用时, 将原式中所有x换写成u的表达式. 极限过程xx0换成相应的u的极限过程.定理3. 设y =f (x)由y =f (u), u=(x)复合而成.,)(lim00uxxx若.)(lim0Aufuu而且在x0的某去心邻域 (x0)内, (x) u0Aufxfuuxx)(lim)(lim 00则证 (略).例例13.sinlnlim2xx求解解: (1) 令令u=sinx. 12sinsin,2xux时当代入.uxuxlnlimsinlnlim1201ln (2) 也可直接利用例3后介绍的结论, 有02sinlnsinlnlim2xx例例14.xxe10lim求解解:.1xu 令.1

11、,0 xux时当代入,0limlim10uuxxee有?lim1xe若改为x0+1 16 6 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限定理1. 设在点x0的某去邻域 (x0, 1)内, 有 F(x)f (x)G(x),),()(lim)(lim00常数且AxGxFxxxx那么Axfxx)(lim0证证: 0.)(lim)(lim00AxGxFxxxx因当0|xx0|2时, 有|F(x)A|且|G(x)A|0.故 A F(x) , G(x) A+ 即 |f (x)A| .)(lim 0Axfxx故注注: 定理对定理对x的情形也成立的情形也成立.),min(21取, |00时则当xxAx

12、GxfxFA)()()(有. 1sinlim0 xxx证证: (1)先证先证. 1sinlim0 xxx.,20作单位圆设 x110 xyAxDBC总有 SAOC S扇形AOB 0. 必存在自然数n, 使得nxn+1. .1111111 ,nxn从而由幂函数, 指数函数的单调性. 有nn111nx11xx11111nx111nnnn111 所以xx11.111nnnnn111lim1111111lim1nnnn= e 1= e令x+, 由于x 0时, y = elny. 从而,kxxkx1)1 (lim0kxexkx1lim)1ln(0kxxkx)1ln(lim0= 10, ,1)1 ( ,k

13、Rkkxxk所以注注1. 用符号用符号“ ”表示无穷小量比无穷小量的极限问表示无穷小量比无穷小量的极限问题题.00用符号“ ”表示无穷大量比无穷大量的极限问题.用符号“ 0 ”表示无穷小量乘以无穷大量的极限问题.,000存在它们的极限甚至可能不一定是穷大量也不”不一定是无穷小量”，“”，“则“三种类型可以互化. 比如,”“”“”“”“00101100注2. 若当x0时, f (x) = O(x ), g(x) = O(x ), 0.那么 f (x) g(x) = O(x),).()()(xOxgxf1 18 8 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点例. 火箭升空时, 质量变化情形如图.tm

14、om0t0一般, 当 f (x)连续变化时, 其图形是一条连续曲线.反之, 假设 f (x)图形是一条连续曲线, f (x)则是连续变化的.xyoxyoxxyyxyxyx0f (x0)ABx x0 x x0从图上可看出, (x)在x0间断. 但f (x)在x0连续. (x)在x0的极限不存在, 而).()(lim00 xfxfxxyyx0y = (x)y = f (x)定义1. 设f (x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.且).()(lim00 xfxfxx则称f (x)在x0连续, x0称为f (x)的连续点.否则称f (x)在x0间断, x0称为f (x)的间断点, 或称为不连续点.由于

15、当f (x)为多项式时, 有).()(lim00 xfxfxx0sinsinlim,0 xxxx并且0coscoslim0 xxxx所以, 多项式及正, 余弦函数在任何点x0处连续.连续定义也可用 语言给出。若对 0, 0,使得当|xx0|时, 对应的函数值f (x)满足| f (x) f (x0) |则称f (x)在x0处连续.注: 与极限定义比较, 将a换成 f (x0)将0|xx0| 换成 |xx0|0y=CD的长0lim0yxy=(x)xyof (x0) x0+x x0+xx0 x0yMNy=CD的长y= (MN的长)CD0lim0yxy=f (x)定理2. 若f (x), g(x)在

16、点 x0处连续, 那么(1) af (x)+bg(x)在x0处连续, 其中a, b为常数. (2) f (x) g(x)在x0连续.(3) 当 g(x0)0时,.)()(0连续在xxgxf1 19 9连续函数的运算与初等函数的连续连续函数的运算与初等函数的连续性性定理3. 设若y=f (x)由 y=f (u), u=(x)复合而成.若u=(x)在x0连续,u0=(x0),而y=f (u)在u0则复合函数y=f (x)在x0连续.连续,证证:要证y=f (x)在x0连续, 只须证0, 0, 当|xx0| 时, 有| f (x) f (x0)|0, 因y=f (u)在u0连续, 故 0, 当|uu

17、0|, 有| f (u) f (u0)| 0, 0, 当|xx0|时, 有|uu0|= |(x) (u0)| .,|, |,00uuxx有时当故进而有| f (x) f (x0)| = | f (u) f (u0)|0 (0 (0. 根据对数恒等式 y=elny, y 0, 有f (x)gx = eg(x) lnf (x),即, 因而, 当f (x), g(x)均连续时, f (x)g (x)也连续.那么)(0)(00)()(limxgxgxxxfxf)()(lim ),()(lim0000 xgxgxfxfxxxx若xxx)2(lim0例例7.120假设 limf (x) = A 0. li

18、mg(x) = B, 存在.)()(limxgxf则)(ln)(limxfxgeABelnBAxxxx102sinlim例例8.= 21 = 20121lim2xxxx例例9.21的图形知由xyyx01xy21.1lim1212xxxx例例10.21的图形知由xyy01x1xy若limf (x)=1, limg(x)= , 称limf (x)g(x) 为“ 1 ”型极限问题.若limf (x)=0, limg(x)= 0, 称limf (x)g(x) 为“ 00 ”型极限问题.“ 1 ”, “ 00 ”和“ 0 ”型都不一定是无穷小量, 也不一定是无穷大量, 更不一定是1.若limf (x)=

19、 , limg(x)= 0, 称limf (x)g(x) 为“ 0 ”型极限问题.)(coslim210 xxx求例例11.解解: “ 1 ”型型, 原式 =21cos1cos10)1(cos1 (limxxxxx21cos1cos10)1(cos1 (limxxxxx21 e1 110 10 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质设f (x)C(a, b)，那么(i) f (x)在a, b上为单调函数时 aObxyaObxyOab xyOabxy此时，函数 f (x)恰好在 a, b的端点a和b取到最大值和最小值.y=f (x)a, b, 那么y=f (x)a, b, 那么，)()(m

20、ax,bfxfbax);()(min,afxfbax，)()(max,afxfbax).()(min,bfxfbax(ii) y = f (x) 为一般的连续函数时，如图中所示，xya a1a2a3a4a5a6bma1mama2ma3ma4ma5ma6mby = f (x),maxmax654321,baaaaaaabaxmmmmmmmm,minmin654321,baaaaaaabaxmmmmmmmm 在定理中，闭区间的条件是很重要的，例如，y=x在(1, 3)内连续，但它不能取到它的最大值和最小值. f (x)在在 a, b上可取到它的最大值上可取到它的最大值M和最小值和最小值m，证：证：

21、 f (x)C(a, b)故 m f (x) M xa, b| f (x)| max M* xa, b令 M* = max |m|, |M|, 那么即 f (x)在a, b上有界.设 f (x)C (a, b)，且f (a) f (b)0，则至少存在一点(a, b)，使得 f ( )0.axyy=f (x)f (a)bf (b)O 证明的思想方法是等分区间法(区间套法)：将区间a, b等分为a, a1和a1, b, 在这两个区间中选择与a, b性质相同的一个，例如，若f (a1)f (b)0, 则选取a1, b, 然后，对a1, b进行等分，并进行选择，又得一个新的小区间. 如此下去，小区间的长度趋于零，并且总保持区间端点值反号，由函数的连续性，这些小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值就是我们要求的(a, b).设 f (x)C(a, b)，f (a)A, f (b)B, 且AB, 则对于A，B