第八次课、闭区间上连续函数的性质ppt课件

1、4.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质( ) , ,( ) , 341f xa bf xa b若函数在闭区间上连定理 .续 则在 . 上必有界。 , ., , fa bfa b设在闭区间上连续 在本节中将研究 在 上的整体性质( ) , f xa b我们只证明 在 上有上界，有下界的证明完全类似由读者自证明： 己完成。( ) , , ().nnf xa bnxa bf xn设若 在 上无上界，则对任意的自然数 皆存在 使得 （ 反证法） knnxx由于 是有界数列，由Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列 ，不妨设0limknkxx,0 , lim()knkxa b

2、f x 则 ， ，0( )lim()()knkf xf xf x但这与 的连续性矛盾，因为根据连续性，。 均有均有使得对一切使得对一切存在存在,0DxDx ),)()()()(00 xfxfxfxf 定义定义1 1( ).f xD设设为为定定义义在在数数集集上上的的一一个个函函数数假假设设( )(),f xD则则称称在在 上上有有最最大大 小小 值值0()x 称称为为最最大大 小小 值值0()( )().f xf xD称称为为在在 上上的的最最大大 小小 值值点点, ,xysgn 例如例如, ,符号函数符号函数的最大值为的最大值为1,1,最小值为最小值为-1;-1;xysin 正弦函数正弦函数

3、的最大值为的最大值为1,1,最小值为最小值为-1;-1;函数函数的最大值不存在的最大值不存在, ,最小值为零最小值为零. .留意留意: :xxy 既无最大值既无最大值, ,又无最小值又无最小值. .22yx sin(,)在在上上( ) , 3.4.( ) , .2f xa bf xa b若若函函数数在在闭闭区区间间上上定定理理（最最值值连连续续，则则在在上上有有最最大大和和定定理理最最小小值值）(其上确界为其上确界为1, 下确界为下确界为-1 )( )( ) , , ff xaRf x xba b由定理3.4.1， 在 上有界，令 证明： infsupfffRRR则 是一个有界集，从而由确界定

4、理，它必有上确界和下确界，记 ，00()xf x下面我们证明存在 使得 。 , 1(),nnnxa bf xn由上确界的性质，则对任意的自然数 皆存在 使得 knnxx由于 是有界数列，由Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列 ，不妨设0 , lim(),knkxa bf x则 ， 0limknkxx,0lim()().knkf xf x=( ) f x由 的连续性，思索：为何要强调闭区间呢？1( ),(0,1f xxx反例：这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性质有着根本的区别质有着根本的区别. .00( , )( ) , ,(

5、 )( ) ()003.4.3,f xa bf axa bffxb若定理（零点存在性定理则至少存在一点 使得 在上连）续。( )0,( )022f af babfabf由不妨设 ，如果=0，则命题已经得证；证明： 如果 0 则令11, 0,22, 0.22ababafa bababbf若若111122abfabf如果 =0，则命题已经得证；如果 0 则令111112211111, 0,22, 0.22ababafa bababbf若若1122,nnnnnabfabnfa b将上述过程一直进行下去，如果到第 步的时候 =0，则命题已经得证；如果对任意自然数 皆有 0 则得到一个闭区间套，满足()

6、0, ()0, ,nnf af bn N N,nna bn 于是由闭区间套定理，且N Nlimlim,nnnnablim()( )lim(),nnnnf aff b( )0( ) ( )0,( , )ff a f ba ba b因此 ，又由于 ，因此 ，。00, ( ) , 3 .4 , ()( ).4, Mmf xa bmcMcxf xa ba bf xc上连续 记 和 分别是在区间 上的最大值和最小值，则对于满足 的任何常数 ，至少存在设函数在一个 使得定理（介闭值性区间 定理）。从几何上看从几何上看, ,当连续曲线当连续曲线 从水平直线从水平直线( )yf x y 的一侧穿到另一侧时的一

7、侧穿到另一侧时, 两者至少有一个交点两者至少有一个交点.( )yf xyxo)(af)(bf ab0 x0.nxr 使使得得证证 先证存在性：先证存在性：,lim.nxnx 因因为为 为为正正整整数数 所所以以由极限的保号由极限的保号.1rxn ( )nf xx 又又因因为为函函数数在在1,x性知,存在性知,存在使使01(0,) ,xx .0rxn 使得使得00nxxr这这个个我我们们记记为为(读作读作 r 的的 n 次算术根次算术根).例例3 30,rn 若若为为正正整整数数，则存在唯一的正数则存在唯一的正数,0 x, )()0(1xfrf 且且延续，延续，10,x 上上所以存在所以存在)(

8、1221 nnnnnnxyxxyyxyxy, 0 ( ) 0 ,)nf xx 在在上上我们只需证明我们只需证明严格递增严格递增,0,x yxy 使使有有即可即可. 事实上，事实上， ).()(yfxf 即即000 , ,().xa bf xx 存存在在使使例例4 4 . ,),(,babafbaf 上上连连续续，在在设设求证求证: :再证唯一性再证唯一性:,)()(xxfxF . 0)()()()(bbfaafbFaF则则( ),( ).af af bb 现现设设作作辅辅助助函函数数证证.)(, )(bbfafa 由由条条件件知知.则结论成立则结论成立( )( ),af abf b 若若或或(

9、 ) , ,f xa b因因在在上上连连续续( ), .F xa b故在上也连续故在上也连续.)(00 xxf ),(0bax 由由介介值值性性定定理理，存存在在0()0F x 使使，即即只需只需 , 若对任给的若对任给的 , 存在存在 小于小于 , 不论两点不论两点 与与 在在 中处于什么位置中处于什么位置,直观地说直观地说, 在在 上一致连续意味着：上一致连续意味着： 则称函数则称函数 在区间在区间 上一致连续上一致连续.使得对任何使得对任何 , ,设设 为定义在区间为定义在区间 上的函数上的函数. .fI0 0 ，,x xI xx fxfx ，fIfIx x I .fxfx I定义定义2

10、 2就有就有只要它们的距离只要它们的距离就可使就可使四、一致连续性首先来看两个例题首先来看两个例题.例例8 8 ( )1,).f xx 证证明明在在上上一一致致连连续续证证有有因为对任意的因为对任意的, ),1,21 xx|,|12211221xxxxxxxx 0, 所所以以对对任任意意的的正正数数只只要要取取当当12|xx 时时，1221|,xxxx 1).x 所所以以在在，上上一一致致连连续续证证 首先我们根据一致连续的定义来叙述首先我们根据一致连续的定义来叙述 f (x) 在在区区例例9 9 1(0,1).yx 证证明明在在内内不不一一致致连连续续1212,|,xxIxx 虽虽然然但仍有

11、但仍有.| )()(|021 xfxf1,(0,1)yxx 现现在在来来验验证证函函数数确实不是一致确实不是一致连续的连续的.00,() 存存在在对对任任意意正正数数无无论论多多么么小小 ，总有总有间间I上不一致连续的定义：上不一致连续的定义：),21(1 ，对对任任意意正正数数取取1212,|,2xxxx 令令虽虽. 111112 xx但但1(0 ,1).yx 这这就就说说明明在在内内不不一一致致连连续续1x2x1xyO试问试问, 函数函数 在区间在区间I上一致连续与上一致连续与 在区在区( )f x( )f x间间I上连续的区别究竟在哪里？上连续的区别究竟在哪里？仅与仅与 有关有关.01(

12、0,1),yxx比比如如在在连连续续 对于任意正数对于任意正数 , 所所得得1)yx 已已证证得得在在，上上一一致致连连续续. .这这是是由由于于答答:(1) 首先首先, 对于对于, 0 假设假设 在区间在区间 I上连续，上连续，( )f x0 x 有有关关, ,那么那么, 不仅与不仅与 有关有关, 而且还与所讨论的点而且还与所讨论的点 ).,(0 x 即即而而 在区间在区间I上一致上一致延续延续. 那么那么( )f x,2,2min020 xx 0 x,它它与与都都有有在例在例8中中显然显然关关.0,.x 与与无无关关),(0 x 有有时时当当,|0 xx.| )()(|0 xfxf 过程中

13、有一个正下界过程中有一个正下界(当然当然00( ,)xx 若若在在的的变变化化(2) 函数函数 f (x) 在每一点在每一点 延续延续,Ix 0,0 下述定理是连续函数在闭区间上的又一整体性质下述定理是连续函数在闭区间上的又一整体性质.区间区间I上就一致连续了上就一致连续了.这个下界只与这个下界只与 有关有关, 而与而与x0无关无关), 则此时则此时 f (x)在在上连续上连续, 那那么么,baf 在在,ba上一致连续上一致连续. 这个定理告诉我们这个定理告诉我们: 定义在闭区间上的函数定义在闭区间上的函数, 连连定理定理4.94.9一致连续性定理若函数一致连续性定理若函数 f f 在闭区在闭

14、区间间续和一致连续是等价的续和一致连续是等价的. 00( ) , 0, , 1 , ()().nnnnnnf xa bnxya bxyf xf yn 在 上不是一致连续的，则存在 对任意的自然数 存在 使证明：(反证法) 若得设 knnxx由于 是有界数列，由Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列 ，kny由于 是有界数列，由Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列，不妨假设就是它自己，则kknnxy， 皆收敛，00lim , knkxxxa b设 ，则 ，且0limlimlim()kkkknnnnkkkyxyxx，( )f x由 的连续性，0limlim(k

15、knnkkfyf xf x),lim0kknnkfyf x ，矛盾。例例10 设区间设区间1的右端点为的右端点为1c , 区间区间2的左端的左端上一致连续上一致连续,)(xf则则在区间在区间21 上也一致连续上也一致连续. .,2cc 并并且且证明：假证明：假设设)(xf分别在分别在21, 点也为点也为延续，所以分别存在延续，所以分别存在 使得使得 ,0,021 当当121121, |,x xxx 时时12|()()|,f xf x 当当122122, |x xxx 时时, ,12|()()|.f xf x , 0,min21 取取则对于任意的则对于任意的,2121xx 证证 对任意的对任意的

16、,0 由于由于)(xf在在21,上一致上一致121221.,.情情形形或或xxx x 此时自然有此时自然有12|()()|.f xf x 有以下两种情形：有以下两种情形：12|,xx 当当时时11222.,.xx 情情形形注意到注意到1212, |, |,cxcxc 1212|()()|()( )|()( )|f xf xf xf cf xf c 可得可得.2 综上，证得综上，证得)(xf在区间在区间21 上一致连续上一致连续. 注注 例例10的条件的条件 ”“21c 是重要的是重要的. 比如比如 32,021,1)(xxxf在区间在区间2,1与区间与区间3,2( 上分别一致连续上分别一致连续, 但在但在区间区间 1, 3 上不连续上不连续, 当然也不一致连续当然也不一致连续. 例例11 设设),)( axf在在上连续上连续, 并且并且.)(limAxfx 证明证明),)( axf在在上一致连续上一致连续.证证 由于由于Axfx )(lim, 所以对任意的正数所以对任意的正数, 0 存在存在有有时时，当当XxxaX 21,21|()()|.f xf x 又又1,)( Xaxf在在上连续上连续, 故由定理故由定理4.9可知可知 f (x) ,1a X 在在