江西省南昌二中2013届高三数学第四次月考试题 文（含解析）新人教A版

1、江西省南昌二中2013届高三第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题；每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）复数z=1i，则=（）ABCD考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：把复数z代入后前一部分采用复数的除法运算，然后在把实部和实部相加，虚部和虚部相加解答：解：因为z=1i，所以=故选D点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法采用的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题2（5分）已知R是实数集，则NCRM=（）A（1，2）B0，2CD1，2考点：交集及其运算；补集及其运算；函数的值域；其他不等式

2、的解法专题：常规题型分析：先化简2个集合M、N到最简形式求出M，N，依照补集的定义求出CRM，再按照交集的定义求出NCRM解答：解：M=x|1=x|x0，或x2，N=y|y= =y|y0 ，故有 NCRM=y|y0 x|x0，或x2=0，+）（，0）（2，+）=0，2，故选 B点评：本题考查函数的值域求法，不等式的解法，以及求2个集合的补集和交集的方法3（5分）若p：|x+1|2，q：x2，则¬p是¬q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断分析：依集合的观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必

3、要条件；若A=B，则A是B的充要条件解答：解：|x+1|2，x1或x3，¬p：3x1，3，1（，2，¬p是¬q成立的充分不必要条件故答案选A点评：本题主要考查了命题的必要条件，充分条件与充要条件的判断，较为简单，要求掌握好判断的方法4（5分）（2012芜湖二模）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2x）=f（x），且在3，2上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是（）Af（sin）f（cos）Bf（cos）f（cos）Cf（cos）f（cos）Df（sin）f（cos）考点：偶函数；函数单调性的性质专题：综合题分析：由，是钝角三角形的两个锐角可得0&#

4、176;+90°即0°90°，从而有0sinsin（90°）=cos1由f（x）满足f（2x）=f（x）函数为偶函数即f（x）=f（x）可得f（2x）=f（x），即函数的周期为2，因为函数在在3，2上是减函数，则根据偶函数的性质可得在2，3单调递增，根据周期性可知在0，1单调递增，从而可判断解答：解：，是钝角三角形的两个锐角可得0°+90°即0°90°0sinsin（90°）=cos1f（x）满足f（2x）=f（x），函数关于x=1对称函数为偶函数即f（x）=f（x）f（2x）=f（x），即函数的周期为2

5、函数在在3，2上是减函数，则根据偶函数的性质可得在2，3单调递增，根据周期性可知在0，1单调递增f（sin）f（cos）故选D点评：本题主要考查了函数的奇偶性、单调性等综合应用，解决的关键一是由f（2x）=f（x），偶函数满足的f（x）=f（x）可得函数的周期，关键二是要熟练掌握偶函数对称区间上的单调性相反的性质，关键三是要，是钝角三角形的两个锐角可得0°+90°即0°90°本题是综合性较好的试题5（5分）（2012烟台二模）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）（）ABCD考点：由三视图求面积、体积专题：计算题；图

6、表型分析：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可解答：解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法

7、可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2+=，故选A点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等6（5分）（2011琼海一模）一个样本容

8、量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列an，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）A13，12B13，13C12，13D13，14考点：等差数列与等比数列的综合；众数、中位数、平均数专题：计算题；转化思想分析：由题设条件，一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列an，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，设出公差为d，用公差与与a3=8表示出a1，a7再由等比数列的性质建立方程求出公差，即可得到样本数据，再由公式求出样本的平均数和中位数解答：解：设公差为d，由a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，可得64=（82d

9、）（8+4d）=64+16d8d2，即，0=16d8d2，又公差不为0，解得d=2此数列的各项分别为4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，故样本的中位数是13，平均数是13故答案为B点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，解题的关键是根据题设中数列的性质建立方程求出数列的各项，即求出样本数据，再由平均数与中位数的求法求出即可7（5分）双曲线（a1，b1）的离心率为2，则的最小值为（）ABC2D考点：双曲线的应用专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线（a1，b1）的离心率为2，可得a，b的关系，代入化简，利用单调性，即可求得的最小值解答：解：双曲线（a1，b1）

10、的离心率为2，b2=3a2=a1在1，+）上单调增故选A点评：本题考查双曲线的几何性质，考查函数的单调性，正确运用双曲线的几何性质是关键8（5分）数列an中，a1=3，ananan+1=1（n=1，2，），An表示数列an的前n项之积，则A2005=（）ABC3D1考点：数列递推式；等差数列与等比数列的综合专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据题设条件能够推导出a4=a1，a5=a2，a6=a3，下标之差为3的倍数，以此类推，a2005=a1=3，由此可知答案解答：解：a1=3，33a2=1，a2=，a3=1，a3=，（）a4=1，a4=3，a4=a1，a5=a2，a6=a3，下标之差为3

11、的倍数，以此类推，a2005=a1=3=668A2005=3××（）668×3=3故选C点评：本题考查数列的递推关系式的应用，数列的性质，解题时要认真审题，仔细解答9（5分）（2011深圳一模）在同一平面直角坐标系中，画出三个函数，的部分图象（如图），则（）Aa为f（x），b为g（x），c为h（x）Ba为h（x），b为f（x），c为g（x）Ca为g（x），b为f（x），c为h（x）Da为h（x），b为g（x），c为f（x）考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象专题：计算题分析：从振幅、最小正周期的大小入手：b的振幅最大，故b为f（x）；

12、a的最小正周期最大，故a为h（x），从而c为g（x）解答：解：由函数的图象可知图象b的振幅最高，结合解析式可知b为f（x）；由函数的图象可知图象a的最小正周期最小，结合解析式可知a为h（x）；从而可知c为g（x）故选B点评：本题主要考查了利用三角函数的性质：三角函数的振幅、最小正周期等来判断函数的图象，考查了识图的能力10（5分）（2010湖南模拟）已知，且关于x的函数在R上有极值，则的夹角范围为（）ABCD考点：数量积表示两个向量的夹角；函数在某点取得极值的条件专题：计算题分析：利用函数的极值的性质是极值点是导函数的根且根左右两边导函数符号相反，得到不等式，利用向量的数量积公式将不等式用向量

13、的模、夹角表示，解不等式求出夹角解答：解：在R上有极值有不等的根0即0故选C点评：本题考查函数在某点取极值的条件：极值点处导数为0且左右两边导函数符号相反、利用向量的数量积公式求向量的夹角二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）（2012南昌模拟）按如下程序框图运行，则输出结果为170考点：循环结构专题：规律型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算变量S=21+23+25+27的值，利用等比数列的前n项和公式，易得结果解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算变量S=21+2

14、3+25+27的值，即以2为首项，以4为公比的等比数列的前4项和，则S=170故答案为：170点评：本题考查的知识点是循环结果，其中根据程序框图分析出程序的功能是解答本题的关键12（5分）已知圆C过点A（1，0）和B（3，0），且圆心在直线y=x上，则圆C的标准方程为（x2）2+（y2）2=5考点：圆的标准方程专题：综合题分析：设圆心坐标为（a，a），利用圆C过点A（1，0）和B（3，0），即可确定圆心与半径，从而可得圆C的标准方程解答：解：设圆心坐标为（a，a），则圆C过点A（1，0）和B（3，0），（a1）2+a2=（a3）2+a2，a=2（a1）2+a2=5圆C的标准方程为（x2）2+（

15、y2）2=5故答案为：（x2）2+（y2）2=5点评：本题考查圆的标准方程，确定圆心与半径是关键，属于中档题13（5分）设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为15考点：椭圆的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|PF2|=2a+|MF2|，由此可得结论解答：解：由题意F2（3，0），|MF2|=5，由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|PF2|=10+|PM|PF2|10+|MF2|=15，当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，故答

16、案为：15点评：本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题14（5分）在ABC中，A=30°，BC=2，D是AB边上的一点，CD=2，BCD的面积为4，则AC的长为4或2考点：余弦定理；正弦定理专题：计算题；压轴题分析：由BCD的面积为4，求得sinBCD 的值，进而求得cosBCD 的值，BCD中，由余弦定理可得BD 的值，BCD中，由正弦定理求得sinB 的值再在ABC中，由正弦定理求得AC的长解答：解：由题意可得CBCDsinBCD=4，即 ×2×2 sinBCD=4，解得 sinBCD=当BCD 为锐角时，cosBCD=BCD中，由余弦定理

17、可得 BD=4BCD中，由正弦定理可得 ，即 ，故 sinB=在ABC中，由正弦定理可得 ，即 ，解得 AC=4当BCD 为钝角时，cosBCD=BCD中，由余弦定理可得 BD=4 BCD中，由正弦定理可得 ，即 ，故 sinB=在ABC中，由正弦定理可得 ，即 ，解得 AC=2综上可得 AC=4或2，故答案为 4或2点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，判断三角形的形状的方法，体现了分类讨论的数学思想，讨论BCD 为锐角和钝角两种情况，是解题的易错点，是一个中档题目15（5分）下列4个命题：已知是单位向量，|+|=|2|，则在方向上的投影为；关于x的不等式a恒成立，则a的取值范围是a；

18、函数f（x）=alog2|x|+x+b为奇函数的充要条件是a+b=0；将函数y=sin（2x+）图象向右平移个单位，得到函数y=sin2x的图象其中正确的命题序号是（填出所有正确命题的序号）考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题；向量的模专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：化简由已知化简可得=，而要求的等于|cos，代入化简，即可判断正误不等式恒成立转化成函数的最值进行判断出；通过举反例对进行判断；利用函数图象的平移判断正误即可；解答：解：对于，|+|=|2|，（|+|）2=（|2|）2，展开化简可

19、得：=，故在方向上的投影等于|cos，=，所以正确对于0sin2x1，令sin2x=t，=t+，则令f（t）=t+，t0，1，根据其图象可知，当x时，f（t）为递增的，当0x时，f（t）为递减的，t0，1，f（t）f（1）=1+2=3，3a恒成立时，只要a小于的最小值即可，所以a3，所以不正确对于当a=1，b=1时，虽然有a+b=0，但f（x）不是奇函数，故错，对于将函数y=sin（2x+）图象向右平移个单位，得到函数y=sin（2x）的图象，所以不正确正确只有故答案为：点评：本题考查向量的投影，转化为向量的数量积和模长来运算是解决问题的关键，不等式恒成立问题，考查的知识点比较多，属基础题三、

20、解答题16（12分）（2010深圳一模）已知函数（其中为正常数，xR）的最小正周期为（1）求的值；（2）在ABC中，若AB，且，求考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；y=Asin（x+）中参数的物理意义专题：计算题分析：（1）先借助诱导公式把角化成相同的角，即sin（x+）=cos（x+）=cos（x+）=cos（x），然后借助二倍角公式化成一个角一个函数的形式根据周期公式即可求出的值（2）由三角函数值为可求出相应的两个角A，B由内角和求出C角，利用正弦定理即可求出答案解答：解：（1）=（4分）而f（x）的最小正周期为，为正常数，解之，得=1（6分）（2）由（1）得若x是三角

21、形的内角，则0x，令，得，或，解之，得或由已知，A，B是ABC的内角，AB且，（10分）又由正弦定理，得（12分）点评：本题主要考查三角函数的诱导公式，二倍角公式和三角函数的周期及其求法，并结合解斜三角形知识考查了正弦定理等知识属于三角函数章节与解斜三角形的综合考查17（12分）如图，正方形OABC的边长为2（1）在其四边或内部取点P（x，y），且x，yZ，求事件“|OP|1”的概率；（2）在其内部取点P（x，y），且x，yR，求事件“POA，PAB，PBC，PCO的面积均大于”的概率是考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率专题：概率与统计分析：（1）分析出正方形的四边和内部取点

22、P（x，y），且x，yZ的全部基本事件个数，及满足“|OP|1”的基本事件个数，代入古典概型公式可得事件“|OP|1”的概率；（2）求出满足条件的所有基本事件对应的平面区域的面积，及满足条件“POA，PAB，PBC，PCO的面积均大于的平面区域面积，代入几何概型公式，可得事件“POA，PAB，PBC，PCO的面积均大于”的概率解答：解：（1）在正方形的四边和内部取点P（x，y），且x，yZ，所有可能的事件是（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），其中满足|OP|1的事件是（0，2），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1

23、），（2，2），所以满足|OP|1的概率为（6分）（2）在正方形内部取点，其总的事件包含的区域面积为4，由于各边长为2，所以要使POA，PAB，PBC，PCO的面积均大于，应该三角形的高大于，所以这个区域为每个边长从两端各去掉后剩余的正方形，其面积为×=，所以满足条件的概率为（12分）点评：本题考查的知识点是几何概型，及古典概型，其中求出所有基本事件个数（对应区域面积）和满足条件的基本事件个数（对应区域面积）是解答的关键18（12分）圆锥PO如图1所示，图2是它的正（主）视图已知圆O的直径为AB，C是圆周上异于A、B的一点，D为AC的中点（） 求该圆锥的侧面积S；（） 求证：平面PA

24、C平面POD；（） 若CAB=60°，求三棱锥APBC的体积考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（）确定圆的半径，求出圆锥的母线长，可得圆锥的侧面积S；（） 连接OC，先根据AOC是等腰直角三角形证出中线ODAC，再结合POAC证出ACPOD，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面POD平面PAC；（） 若CAB=60°利用等体积转化，可求三棱锥APBC的体积解答：（）解：由正（主）视图可知圆锥的高，圆O的直径为AB=2，故半径r=1圆锥的母线长，圆锥的侧面积 （4分）（）证明：连接OC

25、，OA=OC，D为AC的中点，ODACPO圆O，AC圆O，POACODPO=O，AC平面POD又AC平面PAC，平面PAC平面POD（8分）（）解：AB是直径，ACB=90°，又CAB=60°，PO=三棱锥APBC的体积为=（12分）点评：本题考查三视图，考查面面垂直，考查侧面积与体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（12分）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数（1）若函数g（x）在x=1处有极值，求g（x）的解析式；（2）若函数g（x）在区间1，1上为增函数，且b2mb+4g（x）在x1，1时恒成立，求实数m的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；

26、函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；直线的斜率专题：计算题分析：（1）先求出斜率为3的切线方程，根据两条切线间的距离求出a值，再讨论满足g（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，求出b即可（2）欲使函数g（x）在区间1，1上为增函数只需转化成g（x）0在区间1，1上恒成立，求出b的范围，根据g（x）在x1，1是增函数知g（x）的最大值为g（1），只需使b2mb+4g（1）恒成立即可解答：解：（1），由=3得x=±a，即切点坐标为（a，a），（a，a）切线方程为ya=3（xa），或y+a=3（x+a）（2分）整理得3xy2a=0或3xy+2a=0，解得a=

27、7;1，f（x）=x3g（x）=x33bx+3（4分）g（x）=3x23b，g（x）在x=1处有极值，g（1）=0，即3×123b=0，解得b=1g（x）=x33x+3（6分）（2）函数g（x）在区间1，1上为增函数，g（x）=3x23b0在区间1，1上恒成立，b0，又b2mb+4g（x）在区间1，1上恒成立，b2mb+4g（1）（8分）即b2mb+443b，若b=0，则不等式显然成立，若b0，则mb+3在b（，0）上恒成立m3故m的取值范围是3，+）点评：本题主要考查了利用导数研究函数极值，以及函数恒成立问题和利用待定系数法求解析式，属于基础题20（13分）（2012南昌模拟）已知

28、双曲线x2y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）（1）求k的取值范围，并求x2x1的最小值；（2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论考点：圆与圆锥曲线的综合专题：综合题分析：（1）由l与圆相切，知m2=1+k2，由，得（1k2）x22mkx（m2+1）=0，所以由此能求出k的取值范围和x2x1的最小值（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（1，0），（1，0），=由此能证明k1k2是定值解答：解：（1）l与圆相切，m2=1+k2（2分）由，得（1k2）x22mkx（m2+1）=0，k21，1k1，故k的取值范围为（1，1）（5分）由于，0k21当k2=0时，x2x1取最小值（7分）（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（1，0），（1，0），=（10分）=，由m2k2=1，为定值（14分）点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想21（14分）（2012房山区二模）已知点集L=（x，y）|y=，其中=（2xb，1），