线面平行与面面平行

1、第2课时 线面平行与面面平行考纲链接1.了解空间线面、面面平行的有关概念2.理解直线与平面、平面与平面的平行关系的性质与判定，并能进行简单运用.【课前自主探究】 教材回归基础重现：1直线与平面平行的判定定义法：证明直线与平面无公共点（反证法）.判定定理：如果_和平面内的一条直线平行，则直线和平面平行.面面平行的性质：如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.2直线与平面平行的性质： 定义：如果一条直线和一个平面平行，,则直线与平面无公共点性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和_平行3平面与平面平行的判定定义法：证明两个平

2、面没有公共点（反证法）.判定定理：如果一个平面内的_分别和另一个平面平行，那么这两个平面相互平行.推论：如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条直线（相交）平行，那么这两个平面相互平行.垂直于同一直线的两个平面相互平行.4平面与平面平行的性质：.定义 ： 如果两个平面平行, 则两个平面没有公共点.性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么_5两个平行平面间的距离 两个平行平面的_的长度叫做两个平行平面间的距离基础重现答案：1. 平面外的一条直线；2. 交线；3. 两条相交直线4. 所得的两条交线平行5. 公垂线段思维升华：1.线线、线面、面面平行的转换_线线平行 线面平行

3、 面面平行2解答或证明线面、面面平行的有关问题，常常要作_或辅助平面.思维升华答案：1. 面面平行性质定理 2. 辅助线 基础自测1.下列命题中，正确命题的个数是 .若直线l上有无数个点不在平面内，则l；若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行；如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.答案：1解析：正确的命题仅是2下列说法正确的有_一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面互相平行；两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行；两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面互相平行；两

4、个平面同时平行于某一个平面，则这两个平面互相平行；答案：3如果一个平面内的两条直线都平行于另一个平面，则这两个平面 位置关系为 _答案：平行或相交4. (2010宿迁模拟题)设是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若，且，则”为真命题的是 .（填所正确条件的代号）为直线； 为平面；为直线，为平面； 为直线，为平面.答案：5.（2010山东高考题改编）在空间，下列命题正确的有_个.平行直线的平行投影重合.平行于同一直线的两个平面平行.垂直于同一平面的两个平面平行.垂直于同一平面的两条直线平行答案：1.解析：由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出命题是正确的.【

5、课堂师生共探】 经典例题题型一 直线与平面平行的判定与性质例题1 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF平面ABCD.分析：要证EF平面ABCD，思路有两种：一是利用线面平行的判定定理，即在平面ABCD内确定EF的平行线；二是利用面面平行的性质定理，即过EF作与平面ABCD平行的平面.证明 方法一 分别过E，F作EMAB于M，FNBC于N，连接MN.BB1平面ABCD，BB1AB，BB1BC，EMBB1，FNBB1，EMFN.又B1E=C1F，EM=FN，故四边形MNFE是平行四边形，EFMN.又MN平面ABCD，E

6、F平面ABCD，所以EF平面ABCD.方法二 过E作EGAB交BB1于G，连接GF，则，B1E=C1F，B1A=C1B，FGB1C1BC，又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD，而EF平面EFG，EF平面ABCD.点评：判断或证明线面平行的常见途径：利用线面平行的定义（无公共点）；线面平行的判定定理；面面平行的性质定理ABCDEP变式训练：（2010福建泉州一中模拟卷改编）右图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，/.求证：/平面；证明：，同理可得BC/平面PDA，又，题型二 平面与平面平行的判定与性质例题2 已知P为ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是PAB、PCB、P

7、AC的重心.（1）求证：平面G1G2G3平面ABC；（2）求SSABC.分析：要证明平面G1G2G3平面ABC，可以通过面面平行的判定定理，两条相交直线，都平行平面ABC.证明（1）如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连接DE、EF、FD，则有PG1PD=23， PG2PE=23，G1G2DE.又G1G2不在平面ABC内，G1G2平面ABC.同理G2G3平面ABC.又因为G1G2G2G3=G2，平面G1G2G3平面ABC.（2）解由（1）知=，G1G2=DE.又DE=AC，G1G2=AC. 同理G2G3=AB，G1G3=BC.G1G2G3CAB，

8、其相似比为13，SSABC=19.点评：证明面面平行，一般可利用面面平行的判定定理，将面面平行转化为线面平行，进一步转化线线平行.值得 注意的是，不能直接通过得出平面G1G2G3与平面ABC.平行，而通过两条相交直线都和平面ABC平行.变式训练：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点,问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO？解析： 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.Q为CC1的中点，P为DD1的中点，QBPA.P、O为DD1、DB的中点，D1BPO.又POPA=P，D1BQB=B，D1B平面PAO，QB平面

9、PAO，平面D1BQ平面PAO.题型三 平行关系的综合应用例题3 如图所示，平面平面，点A，C，点B，D,点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEB=CFFD.（1）求证：EF；（2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60，求EF的长.分析：（1）首先判断A、B、C、D未必共面，可以对其是否共面进行讨论.若这四点共面,可通过EF/BD来证得EF，若这四点不共面，可过A、C、D作辅助平面交于DH,在AH取一个合适点G，进而通过平面EFG平面来证得EF.（2）求线段的长可以将其放到三角形中去解三角形.（1）证明 当AB，CD在同一平面内时，由，平面平面ABD

10、C=AC，平面平面ABDC=BD，ACBD，AEEB=CFFD，EFBD，又EF,BD,EF.当AB与CD异面时，设平面ACD=DH，且DH=AC.，平面ACDH=AC，ACDH，四边形ACDH是平行四边形，在AH上取一点G，使AGGH=CFFD，又AEEB=CFFD，GFHD，EGBH，又EGGF=G，平面EFG平面.EF平面EFG，EF.综上，EF.（2）解 如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.E，F分别为AB，CD的中点，MEBD，MFAC，且ME=BD=3，MF=AC=2，EMF为AC与BD所成的角（或其补角），EMF=60或120，在EFM中由余弦定理得，EF=，即E

11、F=或EF=.点评：线线、线面、面面平行之间常常需要直接或间接转化，不少问题还需要我们多次转化，才能实现；立体几何中问题的解决还需要平面几何知识的运用，事实上复杂的立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的.变式训练：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）BFHD1；（2）EG平面BB1D1D；（3）平面BDF平面B1D1H.解析： （1）如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，HD1MC1.又MC1BF，BFHD1.（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE DC，又D1G DC，O

12、E D1G，四边形OEGD1是平行四边形，GED1O.又D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D.（3）由（1）知D1HBF，又BDB1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BDF，且B1D1HD1=D1，DBBF=B，平面BDF平面B1D1H.高考新题零距离（2010陕西文高考题） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.(1)证明：EF平面PAD；(2)求三棱锥EABC的体积V.证明：(1)在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.又BCAD,EFAD,又AD平面PAD,EF平面P

13、AD,EF平面PAD. (2)连接AE,AC,EC,过E作EGPA交AB于点G,则BG平面ABCD,且EG=PA.在PAB中，AD=AB,PAB,BP=2,AP=AB=,EG=.SABC=ABBC=2=,VE-ABC=SABCEG=.典型错误警示1.线面平行关系判定时,对两直线平行比较关注,但对两条直线分别在平面外、平面内的要求比较容易忽视,如：例1证明 EF平面ABCD.容易遗漏平面ABCD和平面ABCD；2.在证明面面平行，容易直接运用一个平面两条相交直线平行于另一个平面内两条相交直线而得到结论，而不是通过线线平行过渡到线面平行再到面面平行.如例2中直接运用QBPA， D1BPO平面PAO

14、/平面QBD1.典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径. 请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！我的错题：错因：反思：学以致用第2课时 线面平行与面面平行 基础级1以下命题正确的有_两个平面可以只有一个交点 一条直线与一个平面最多有一个公共点两个平面有一个公共点，它们可能相交 两个平面有三个公共点，它们一定重合答案：.解析：两个平面有一个交点，则有经过该点的一条直线，所以错误；直线在平面内，则直

15、线与平面有无数个公共点，所以错误；若两个平面有三个共线的点，则两个平面未必重合.所以错误.2已知平面内有无数条直线都与平面平行，那么与位置关系为_答案：或与相交.解析：若这无数条直线平行，则或与相交；若这无数条直线有两条相交，则.3平面平面，AB、CD是夹在和间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点， 则EF与的位置关系是_答案：平行解析：连BC，作BC的中点M，可证明面MEF/.从而EF/.4.下列命题，其中真命题的个数为 .直线l平行于平面内的无数条直线，则l；若直线a在平面外，则a；若直线ab,直线b,则a；若直线ab,b,那么直线a就平行于平面内的无数条直线.答案 1解析 、错，对.

16、5.写出平面平面的一个充分条件 （写出一个你认为正确的即可）.答案 存在两条异面直线a,b,a,b,a,b.解析：面面平行的判定.6.对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得，都垂直于；存在平面，使得，都平行于；存在直线l,直线m,使得lm；存在异面直线l、m，使得l,l,m,m.其中，可以判定与平行的条件有 （写出符合题意的序号）.答案 解析 由线面位置关系不难知道正确.7.已知平面平面,=l,点A,Al,直线ABl,直线ACl,直线m,m,则下列四种位置关系中,一定成立的是 .ABmACm ABAC答案 解析 m，m，=l，ml.ABl，ABm.故一定正确.ACl，ml，ACm

17、.从而一定正确.A，ABl，l，B.AB，l.AB.故也正确.ACl，当点C在平面内时，AC成立，当点C不在平面内时，AC不成立.故不一定成立.8.设有直线m、n和平面、.下列命题不正确的是 （填序号）.若m,n,则mn若m，n,m,n,则若，m，则m若,m,m,则m答案 解析 若，m，n，可知m,n,但m与n可以相交，所以不对；若mn，即使有m,n,m,n, 与也可以相交，所以不对；若，中仍有不与垂直的直线，例如与的交线，故不对；若，则在中可作与垂直的直线n,又m，则mn，又m，所以m，故正确.升华级9求证： 两个相交平面分别过两条平行直线, 则它们的交线和这两条平行直线平行.解析：如图,

18、a， a/b , b， a/又a, = l , a/ l ,又 a/b， a/b/ l .BACDPQO10（2010姜堰中学月考）如图四边形是菱形，平面， 为的中点. 求证：平面；解析：设 ,连 . 为菱形， 为中点，又为中点. . 又 , 11（2010江苏省届百校联考改编）在在四棱锥OABCD中，底面ABCD为菱形，E为OA的中点，F为BC的中点，求证：EF/平面OCD证明：取中点，连接,则，是菱形，为的中点，四边形是平行四边形，我的错题：错因：反思：第三课时 线面垂直与面面垂直考纲链接1.了解线面垂直的概念，能正确判断空间线面、面面垂直的位置关系；2.能运用线面、面面垂直的判定和性质来

19、证明线面、面面垂直，能求简单的线面角和二面角和点面距离.【课前自主探究】 教材回归基础重现1.直线与平面垂直判定（1）定义：若一条直线和一个平面内的_垂直，则这条直线和这个平面垂直.（2）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（3）判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.2.直线与平面垂直的性质：（1）一条直线和一个平面垂直,那么该直线与平面内所有直线垂直.（2）性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线_.3.平面与平面垂直的判定（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.（2）如果一个平面

20、经过另一个平面的_，那么这两个平面互相垂直.（3）一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.4.平面与平面垂直的性质： （1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.（2）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，_.（3）如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.5.二面角及二面角的平面角(1)半平面： 一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 ： _叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.6.空间的几

21、种距离点到平面的距离：面外一点引一个平面的垂线，这个点和_间的距离叫做这个点到这个平面的距离.直线和平面的距离：定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.平行平面的距离：个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.基础重现答案：1. 任何一条直线2. 平行3. 一条垂线4. 在第一个平面内5. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形6.垂足思维升华：1三种垂直关系的相互转化线线垂直判定性质判定判定性质性质面面垂直2求点面距离、

22、线面距离、平行平面距离常用的方法：（1)直接利用定义求;（2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离;（3)等体积法.其步骤是：在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；_；由V=求出h即为所求.线面距、平行平面距离：转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.思维升华答案：1.线面垂直2.求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S； 基础自测1.给出下列四个命题：若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂

23、直于两底边所在的直线；若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线.其中正确的命题共有 个.答案 2.解析 与线面垂直的定义及判定定理相对照，、为真，中两线可能不相交，中两线不相交，故不正确.2.(2010无锡模拟)已知直线m、n和平面、满足mn，m，则n与平面的关系为 .答案 n,或n.解析 n与的位置关系各种可能性都有.当n时，作nn,且nm=O,则n与m确定平面,设= l,则有ml,又mn,所以ln,ln,n；当n时，显然成立.3.(2010年南京市高三情况调查卷)下列命题中，真命题是_ .如果一条直线与一个平面垂直,则这条直线与这个平面内的任意一条直线垂直PABC

24、.如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行.如果一条直线垂直于平面的两直线，则垂直于这个平面.如果两平面垂直，则一平面的直线垂直于另一个平面答案： 4.如图，BC是RABC的斜边，AP平面ABC，连结PB、PC，则图中共有直角三角形 个.PABCO答案：45.如图，AB是圆O的直径，C是异于A、B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面， 则BC和PC所成角为 答案： 【课堂师生共探】 经典例题题型一 直线与平面垂直的判定与性质例1如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点. （1）求证：MNCD；（2）若PDA=45.求证：MN平面PCD.分析：要证明MN

25、平面PCD，只要证明MN与平面PCD内两条相交直线垂直.证明 （1）连接AC，AN，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为PC中点，AN=PC.PA平面ABCD，PABC，又BCAB，PAAB=A，BC平面PAB，BCPB，从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，BN=PC.AN=BN，ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，MNAB，又ABCD，MNCD.（2）连接PM、CM,PDA=45，PAAD，AP=AD.四边形ABCD为矩形.AD=BC，PA=BC.又M为AB的中点，AM=BM.而PAM=CBM=90,PM=CM.又N为PC的中点，MNPC.由（1）知，MNCD，P

26、CCD=C,MN平面PCD.点评：在线线垂直和线面垂直的相互转化中, 平面在其中起着至关重要的作用, 应考虑线与线、线与面所在的平面特征, 以顺利实现证明需要的转化.变式训练：如图, AB为O的直径, C为O上的一点, AD面ABC , AEBD于E , AFCD于F.求证： BD面AEF.解析： AB为O直径, C为O上一点， BCAC. .题型二 平面与平面垂直的判定与性质例2 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB=60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，（1）求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；（3）若E为BC

27、边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论.分析：要证明BG平面PAD，可通过平面PAD平面ABCD来证明；要探求在PC上是否存在点F，使得平面DEF平面ABCD，只需平面探求PC上是否存在点F，使得平面DEF平面PGB.（1）证明 在菱形ABCD中，DAB=60，G为AD的中点，所以BGAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BG平面PAD.（2）证明 连接PG，因为PAD为正三角形，G为AD的中点，得PGAD，由（1）知BGAD，PG平面PGB，BG平面PGB，PGBG=G，所以AD平面PGB，因为PB平面PGB，所以ADPB.（

28、3）解 当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF，在PBC中，FEPB，在菱形ABCD中，GBDE，而FE平面DEF，DE平面DEF，EFDE=E，所以平面DEF平面PGB，因为BG平面PAD，所以BGPG又因为PGAD，ADBG=G，PG平面ABCD，而PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD，所以平面DEF平面ABCD.点评：（1）线面垂直可以通过转化为线线垂直来证明；（2）探求符合要求的点，可通过先构造垂直的特殊位置上的点或线，然后验证其是否符合条件，如果符合要求，则反过来直行证明.变式训练：（2010江宁区模拟）如图所示，在直四棱

29、柱ABCDA1B1C1D1中， DB=BC，DBAC，点M是棱BB1上一点.（1）求证：B1D1/平面A1BD；（2）求证：MDACABCDA1B1C1D1MNN1O（3） 试确定点M的位置，使得平面DMC1平面CC1D1D解析：（1）B1D1/BD 而BD平面A1BD，BD平面A1BD， B1D1/平面A1BD.（2）AC平面B1BD而MD平面B1BD， MDAC.（3）当点M为棱BB1的中点时，可使得平面DMC1/平面CC1D1D取DC的中点N，D1C1的中点N1，连结NN1交DC1于O，连结OM.N是DC的中点，BD=BCBNDC又平面ABCD平面DCC1D1=DC,平面ABCD平面DC

30、C1D1，BN平面DCC1D1.又可知O是NN1的中点，BM/ON且BM=ON，即BMON是平行四边形，BN/OMOM平面CC1D1D又OM平面DMC1，平面DNC1平面CC1D1D.题型三 线面角的求法例3 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD=90，PA底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.（1）求证：PBDM；（2）求BD与平面ADMN所成的角.分析：线面角关键是找出直线BD在平面ADMN内的射影，即只要找出过直线BD上某一点且和平面ADMN垂直的垂线问题便迎刃而解！解析：（1）N是PB的中点，PA=PB，ANPB.BAD=9

31、0，ADAB.PA平面ABCD，PAAD.PAAB=A，AD平面PAB，ADPB.又ADAN=A，PB平面ADMN.DM平面ADMN，PBDM.（2）连接DN，PB平面ADMN，BD在平面ADMN上的射影为ND，BDN是BD与平面ADMN所成的角，在RtBDN中，sinBDN=，BDN=30,即BD与平面ADMN所成的角为30.点评：作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影变式训练：ABC和DBC所在平面互相垂直，且ABBCBD，ABCDBC120求AD与平面DBC所成的角；ABDCE解析：作AEBC交BC的延长线于E，由面ABC面BCD知AE平面BCD，ADE即为所求，在ABE中，ABC=

32、120ABE=60，AE=，同理在BDE中，DE=,则AE=DE，则ADE45,即AD与平面DBC所成的角为45.题型四 点到平面的距离例5 （2010江苏高考题）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900.(1) 求证：PCBC；(2) 求点A到平面PBC的距离.分析：一方面可以通过ABDC且AB=2DC，将点A到平面PBC的距离转化为D到平面PBC的距离的2倍.过D作PC的垂线便可以解决；另一方面也可以运用等体积法，将距离转化为平面PBC上的高.（1）证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC.由BCD=900，

33、得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD.因为PC平面PCD，故PCBC.（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等.又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍.由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F.易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于.（方法二）体积法：连结AC.设点A到平面PBC的距离为h.因为ABDC，BCD=900，所以ABC=900.从而AB=2，BC=1，得的面积.由PD

34、平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积.因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC.又PD=DC=1，所以.由PCBC，BC=1，得的面积.由，得，故点A到平面PBC的距离等于.点评：求点到平面的距离的方法： 确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质 转化法即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求.(3) 等体积法：利用三棱锥的体积公式，建立体积相等关系求出某底上的高，即点面距.高考新题零距离（2010山东高考题）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD

35、PD2MA.（1）求证：平面EFG平面PDC；（2）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比.解析：(1)由已知平面ABCD，PDMA，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以因为四边形ABCD为正方形,所以又,因此，平面PDC在中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GFBC，因此平面PDC又平面EFG所以平面EFG平面PDC（2）因为平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA1,则PDAD2所以由于面MAB，且PDMA，所以DA即为点P到平面MAB的距离，三棱锥，所以：1：4.典型错误警示1证明线面垂直时，容易忽视直线垂直与平面内两条直线相交的条件.如遗漏条件PCCD=C,2找线

36、面角时不知道找线在平面内的射影，关键是不知道找出平面的垂线.在求线面角时,需要作、证、算三个步骤，同学们在解题过程中容易忽视“证”这个过程.如例3的第2问的解答中，遗漏“PB平面ADMN，BD在平面ADMN上的射影为ND”这个环节.典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径. 请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！我的错题：错因：反思：学以致用 第三课时 线面垂直与面面垂直 基础级1已知a平面, b

37、, 则a与b的位置关系是 答案：ab.解析：直线垂直于平面,则该直线垂直于平面内所有直线.2.直线a与平面a斜交，则在平面a内与直线a垂直的直线有 条.答案：无数条解析：直线a与平面a斜交，设斜足为，则过必可作一条直线l与直线a垂直，从而a内与l平行的直线都与a垂直.3.(2010江苏扬州模拟卷) 给定空间中的直线l及平面a，条件“直线l与平面a内无数条直线都垂直”是“直线l与平面a垂直”的_条件答案：必要非充分.解析：直线l与平面a内平行线垂直时，直线l与平面a未必垂直.4.已知a、b是两条不重合的直线, 、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若a,a,则；若，则；,a,b,则ab；若

38、，=a, =b，则ab.其中正确命题的序号是 .答案 解析 根据线面、面面平行与垂直的判定与性质可知正确.5.(2010年广州市高三模拟)已知：直线与平面内无数条直线垂直，：直线与平面垂直则是的_条件答案： 必要不充分解析： 当直线与平面内无数条平行直线垂直, 则直线与平面未必垂直,但直线与平面垂直,则直线与平面内所有直线垂直6.(2010南通模拟卷) 已知直线l，m，n，平面，则“”是“”的 条件.（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一） 答案：充分不必要.解析： 通过来证明,必须要具备m，n是平面的两条相交直线.7（2010江苏宿迁模拟）设为两个不重合

39、的平面，是两条不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若相交且不垂直，则不垂直；若，则n；若，则其中所有真命题的序号是答案：解析：，又，则.8P是ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影,若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是ABC的 心.答案：垂心. 解析：因为PA、PB、PC两两互相垂直，所以PA平面PBC，所以PABC，又因为OA是PA在面ABC内的射影，且BC在面ABC内，所以OABC，同理可得，OBAC，OCAB，所以O是ABC的垂心. 升华级9如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M、N分别为面对角线AD1、BD上的点, 且AM=BN=x .(1) 求证： MN

40、AD ；(2)当x为何值时, MN的长取得最小值, 并求出这个最小值.解析： (1)在面AD1内过M作MRAD, 垂足为R , 则MR面ABCD , 连结RN , 则RNAD,过M、N分别作MQDD1 , NPCD , 垂足分别为Q、P, 因为MD1=ND, 所以MQ/RD/NP, MQ=RD=NP, 故MNPQ是平行四边形, MN/PQ , MN/平面CDD1C1.AD面CDD1C1 , QP面CDD1C1 , ADPQ , MN/PQ , ADMN. (2) MN2=MR2+RN2=(x, 当x =时,即M、N分别为AD1、BD的中点时, MNmin = .10如图, 四棱锥P-ABCD底

41、面为一直角梯形, BAAD , CDAD , CD=2AB, PA面ABCD, E为PC中点.(1)证明： EB/面PAD ； (2)若PA=AD , 证明BE平面PDC.解析： (1)取PD中点Q , 连AQ、EQQE/CD , CD/AB，QE/AB , 又QE=CD=AB ABEQ是平行四边形,BE/AQ , 又AQ平面PAD, BE/平面PAD (2)PA底面ABCD , CDPA . 又CDAD, CD平面PAD , AQCD.若PA=AD , Q为PD中点, AQPD , AQ平面PCD.BE/AQ , BE平面PCD .11. (2010盐城模拟)如图，在直四棱柱中，分别是的中点

42、.A1B1C1ABCD1DEF（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.解析：（1）连接AC，则AC，而分别是的中点，所以EFAC，则EF，故平面（2）因为平面，所以，又，则平面又平面，所以平面平面我的错题：错因：反思：课时4 空间几何体的表面积与体积考纲链接1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式；2会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积.【课前自主探究】 教材回归基础重现：1. 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱, 把直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上, 展开图的面积就是棱柱的侧面积，其公式是：S直棱柱侧=_； 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱. 长方体的长、

43、宽、高分别为a、b、c , 则它的体积为： V长方体=_ ；柱体的体积等于它的底面积S和高h的积, 即V柱体 =_ .2. 如果一个棱锥的底面是正多边形, 并且顶点在底面的正投影是_, 这样的棱锥为正棱锥, 棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的, 展开图的面积就是棱锥的侧面积.其公式是：S正棱锥侧=_（其中c是棱锥的底面周长，是棱锥的斜高）； 锥体的体积： V锥体 =_,（其中S为锥体底面积, 高为h .）3. 正棱锥被平行于底面的平面所截, 截面和底之间的部分叫做正棱台，其侧面积公式是：S正棱台侧=_； （其中c，是分别棱台的上、下底面周长，是棱台的斜高）；台体的体积： V台体 =_, 其中台

44、体的上、下面积分别为S、S , h是台体的高.4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式：S圆柱侧 =_ S圆台侧 =_ S圆锥侧 =_5.球体的体积： V球 =_, （其中R为球的半径.）基础重现答案：1. ch； abc； Sh；2.底面中心； ；3. ；h(+S.4.c l； (c+c)l ； c l =.5. R3思维升华：1.常见几何体的侧面展开图(1)圆柱的侧面展开图的图形是矩形.矩形的长是_,宽是_.(2)圆锥的侧面展开图的图形是扇形.扇形的半径是_,弧长是_.(3) 圆台的侧面展开图的图形是扇环.扇环的上下弧长分别是_2棱锥中平行于底面的截面性质（1）所截棱锥的侧面与底面与原棱锥的侧面与

45、底面相似，=_；=_思维升华答案：1. (1)底面圆的周长； 圆柱的母线长(2). 圆锥的母线长； 圆锥的底面周长；(3). 圆台的上下底面的周长.2. 直角三角形2. 对应线段（高、底边长、斜高）的比的平方； 对应线段（高、底边长、斜高）的比的立方. 基础自测1.已知正方体外接球的半径为,那么正方体的表面积等于 .答案 24解析 设正方体的边长为a,其外接球的直径为该正方体的体对角线a,即=a, a=2, S=24.2（2010上海高考题）6.已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 .答案：96.解析：根据棱锥体积公式3.下列不正确的命题的序号是 .有两个面平

46、行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥答案 解析 根据棱柱、棱锥的定义判断.4.正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,则其体积为 .答案： 解析：底面正方形的对角线长为，则正四棱锥高为，则正四棱锥的体积为5.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是 .答案 60解析设母线为l,底面半径为r，则l=2r. =,母线与高的夹角为30.圆锥的顶角为60.【课堂师生共探】 经典例题题型一 多面体的表面积及其

47、体积例1 如图所示，三棱锥ABCD一条侧棱AD=8 cm，底面一边BC=18 cm，其余四条棱的棱长都是17 cm，求三棱锥ABCD的体积.分析：可将该几何体化整为零，过AD作直线BC的垂面，将该体积转化为垂面面积与线段BC乘积的三分之一.解 取BC中点M，连接AM、DM，取AD的中点N，连接MNAC=AB=CD=BD，BCAM，BCDM，又AMDM=M，BC平面ADM，BC=18，AC=AB=DB=DC=17.AM=DM=4，NMAD，MN=8.SADM=MNAD=88=32.VABCD=VBADM+VCADM=SADM（BM+CM）=3218=192（cm3）.点评：将不规则几何体划分为几

48、个规则几何体，是求复杂几何体表面积和体积的有效途径.变式训练：如图所示，长方体ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比.解析： 设长方体底面ADDA面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh.而棱锥CADD的底面面积为S，高是h,因此，棱锥CADD的体积VCADD=Sh. 余下的体积是Sh-Sh=Sh.所以棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为15.题型二 旋转体的表面积及其体积例2 如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中BAC=30)及其体积.分析：所得几何体为球里面挖去同底的两

49、个圆锥，求其表面积只要求出两个圆锥的底面半径和母线长，体积可以用球的体积减去上下圆锥的体积.解 如图所示,过C作CO1AB于O1,在半圆中可得BCA=90,BAC=30,AB=2R,AC=R,BC=R,CO1=R,S球=4R2,=RR=R2,=RR=R2,S几何体表=S球+=R2+R2=R2,旋转所得到的几何体的表面积为R2.又V球=R3,=AO1CO12=R2AO1=BO1CO12=BO1R2V几何体=V球-（+）=R3-R3=R3.点评：正确判断旋转体的形状是解决问题的前提，求旋转体的表面积，要充分利用其轴截面及侧面展开图.变式训练：如图所示，扇形的中心角为90，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积V1和V2之比为 .答案 11解析： RtAOB绕OA旋转一周形成的几何体为圆锥，其体积V1=R3，扇形绕OA旋转一周形成的几何体为半球，其体积V=R3，V2=V-V1=R3-R3=R3，V1V2=11.题型三 组合体的表面积及其体积例3 如图所示，在等腰梯形A