渗透思想 捕捉生成 提升能力

1、2008年萧山区中学数学专业委员会论文渗透思想 捕捉生成 提升能力 如何在农村初中数学教学中渗透数学思想方法 【论文摘要】初中数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体，现行数学教材的编排是沿知识的纵向展开的，数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中，没有明确的揭示和总结。这样就产生了如何处理数学思想方法教学的问题。本文针对农村初中数学教学中不重视渗透数学思想方法的现状，结合新课程“以学生发展为本”的理念，就如何构建学生的数学思想方法进行了近三年的探索。指出数学思想方法教学应贯彻渗透性为主线，结合落实反复性、系统性和明确性的原则；并提出了构建学生数学思想方法的五大策略和四种模

2、式，以提升学生的数学素养,为学生的可持续发展打下良好的基础。【关键词】农村初中 数学思想 数学方法 渗透 构建一 问题的提出数学思想方法是形成学生的良好的认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁。数学思想方法是隐藏在数学概念、法则公式、定理等知识的背后，因而未能引起人们的高度重视。其实，它比一般的数学概念具有更高的概括性、抽象性和深刻性，在培养人发展人，特别是在培养创造性人才方面具有举足轻重的地位和作用。曹才翰教授认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的。只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移”。美国心理学家布鲁纳也认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模

3、型里面，否则很快就会忘记。学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”由此可见，数学思想方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。” 数学新课程标准中，对数学思想方法的教学也提出了十分明确的要求，即“教师在向学生传授知识、技能的同时，应让学生接触了解一些重要的数学思想方法，

4、掌握数学规律（包括法则、性质、公式、定理、数学思想方法），以形成良好的思维品质。”近几年的各种数学考试和竞赛中，也越来越重视对数学思想方法的考查。一堂数学公开课是否真正精彩，很大程度上取决于教师对相关数学知识中数学思想方法的挖掘、渗透和生成过程。但是，在当前的数学教学中，数学思想方法的教学却常常被淡化或忽略。许多教师往往是过于强调对定义、定理、法则、公式的灌输与记忆，不注意这些概念、知识的发生、发展、应用过程的提示与解释，不善于将这一过程中丰富的思维训练因素开掘出来，不善于将知识中蕴含的丰富思维训练因素开掘出来，不善于将知识中蕴含的丰富思想和方法进行抽象和概括。长此下去。会严重阻碍学生创造力的

5、培养和发展。要发展学生的思维、培养数学能力，提高人文素质，就必须使学生了解数学知识形成的过程，明确其产生和发展的外部和内部的驱动力。而在数学概念的确立、数学事实的发现、数学理论的推导以及数学知识运用中，所凝聚的思想和方法，乃是数学的精髓，它能将零散的数学知识“吸附”起来，使知识结构得到优化，认识结构迅速构建，从而对学生的思维及整体文化素质产生深刻而持久的影响，使学生受益终生。因此，数学思想方法的教学，是把传统的知识型教学转化为能力型教学的关键，是培养有创造性人才的良好手段和渠道。 下面从一个教学案例来说明数学思想方法的教学意义。【案例1】“二次函数的性质”教学片段教师让几个学生在黑板上画出二次

6、函数y=X2+2X-3的图象。其中一名同学巧妙地利用了二次函数的对称性特点，另一名学生则灵活地利用求函数顶点和与X轴交点的方法，他们都迅速地画出了函数图象。而另一名学生，按照“列表-描点-连线”的一般方法最后才画出图象。结果，在老师对三位同学的板演进行订正讲评时，他对前两名同学的做法重点评讲、大加赞赏，而对第三位同学的做法只打了一个“”号就轻轻带过，而且还要求同学们向前两名同学学习，注意使用“最简便的方法”。案例剖析：前面两名同学抓住了二次函数特有的性质，应用了简便方法，画图很快，确实应当受到表扬。但是，他们使用的方法毕竟是画函数图象的特殊方法，不具有普遍性的意义。后面同学虽然做题较慢，但他的

7、做法却是画函数图象的一般步骤，是关于函数图象问题的通法和最基本的方法，更有代表性，没有理由不得到表扬和鼓励。教师对三名同学做题的处理态度，有明显的误导倾向，实际上是舍本取末之举。因为简便方法的强调，而忽视了对充分体现“数形结合”、“对应”等基本数学思想方法的教学，实在有违新课改对数学思想方法的重视和强调。二、数学思想方法教学的理论依据数学思想是指人们在研究数学过程中对其内容、方法、结构、思维方式及其意义的基本看法和本质的认识，是人们对数学的观念系统的认识。数学方法是解决数学问题、体现数学思想的手段和工具。数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养和重要内容之一。学生只有领会了数学思想方法，才能有

8、效地应用知识，形成能力，才能真正掌握数学的通性、通法，从整体上、本质上掌握数学。数学思想方法的构建，必须贯彻渗透性为主线，结合落实反复性、系统性和明确性的原则。它们相互联系、相辅相成，共同构成数学思想方法教学的指导思想。（如下图所示）1渗透性原则：在具体知识教学中，一般不直接点明所应用的数学思想方法，而是通过精心设计的学习情境与教学过程，着意引导学生领会蕴涵在其中的数学思想和方法，使他们在潜移默化中达到理解和掌握。一般来说，数学思想方法的教学总是以具体数学知识为载体，在知识的教学过程中实现的。2反复性原则：学生对数学思想方法的领会和掌握只能遵循从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到

9、高级的认识规律。因此，这个认识过程具有长期性和反复性的特征3系统性原则：与具体的数学知识一样，数学思想方法只有形成具有一定结构的系统，才能更好地发挥其整体功能。数学思想方法有高低层次之别，对于某一种数学思想而言，它所概括的一类数学方法，所串联的具体数学知识，也必须形成自身的体系，才能为学生理解和掌握，这就是数学思想方法教学的系统性原理。4明确性原则：在反复渗透的教学过程中，利用适当时机，对某些数学思想方法进行概括、强化和提高，对它的内容、名称、规律、使用方法适度明确化，是让学生理解数学思想的关键，是熟练掌握、灵活运用数学思想方法并转化为能力的前提，所以数学思想方法的教学应贯彻明确性原则。三、初

10、中数学常见的数学思想方法1、分类讨论思想。分类思想指的是一种数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的数学思想方法。分类在解题中是一种很重要的方法,掌握分类思想,有助于学生提高理解知识、整理知识和独立获得知识的能力。引起分类讨论的主要原因有：由数学概念引起的分类讨论；由数学定理、性质、公式的限制条件引起的分类讨论；由数学式子的变形所需要的限制条件引起的分类讨论；由图形的位置和大小的不确定性而引起的分类讨论；对于含有参数的问题要对参数的允许值进行全面的分类讨论。运用分类方法解决数学问题要注意两点：一是不能遗漏，二是不能重复。如，解关于X的方程aX=b，此方程是最简单的一元一次方

11、程，但由于它含有字母系数，故要分为：当a0时，X=b/a；当a=0且b0时，方程无解；当a=0且b=0时，方程的解是任何数。这样才能完整，否则会漏解或不全解。又如，直线与圆的位置关系应分为三种，如果遗漏或重复一种情况就很容易出错。在课堂教学中，教师必须向学生强调正确选择分类的标准和分类讨论对解决数学问题的重要性。2、化归与转化思想。化归与转化思想是最常见的数学思想方法，是根据已有的知识、经验把问题进行变换，转化为已经解决或容易解决的思想方法。最终目的是化繁为简，化抽象为直观，化隐为显，化难为易，化未知为已知等第。化归与转化的策略有：已知与未知的转化（已知条件常含有丰富的内容，发掘其隐含条件，使

12、已知条件朝着明朗化的方向转化，如综合法；对于一个未知的新问题，通过联想，寻找转化为已知的途径，或从结论人手进行转化，如分析法）。正面与反面的转化（在处理某一问题，按照习惯思维方式从正面思考遇到困难，甚至不可能时，用逆向思维的方法去解决，往往能达到突破性的效果）。数与形的转化（数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求）。 一般与特殊的转化。复杂与简单元的转化（把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则）。如初二数学中学完三角形、平行四边形、正方形后，就安排学习梯形。怎样了解梯形的性质呢？其思想

13、就是转化。它的方法是通过作辅助线把梯形转化为最基本的几何图形-三角形、平行四边形，然后通过三角形、平行四边形来研究梯形的性质。它是一个化未知为已知的过程，或者说是化繁为简的方法。3、数形结合思想。数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而数学研究总是围绕着数与形进行的，数和形是数学的两大支柱。“数”就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系。数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时

14、难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。因此在研究数量关系时，要联系图形；在研究图形时，要常常将其量化。数形结合思想贯穿于整个初中数学之中，比如数轴、方程、函数等都存在数形结合思想。4、符号思想。研究数学问题时，为使问题简明，常常要引进数学符号。这种引进数学符号来简化问题的思想就是符号思想。初中数学中用字母表示数的思想就属于符号思想。如a²-b²=（a+b）（a-b）表示平方差公式，其意义是两数的平方差等于这两数的和与这两数的差的积，“=”表示相等关系，用“+”表示运算等。符号既可表示数，也可表示量、关系、运算、图形等，符号思想在初中数学

15、各章节都出现，可以说没有符号就没有数学，它是简化问题最基本的方法。利用它可以提高学生的记忆力，达到化繁为简的目的，因此在教学中要贯穿这个思想，提高学生的思维能力。四、数学思想方法教学策略抓住机会，适时渗透。数学知识的发生过程，实际上也是数学思想方法的发生、思考过程。因此概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的发现过程、规律被揭示的过程都蕴藏着向学生渗透数学思想方法，训练思维的极好机会。策略一：展开概念-不要简单地给出定义。概念是思维的细胞，是浓缩的知识点，是感性认识飞跃到理性认识的结果。而飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工，要依靠数学思想方法的指导。因此

16、概念教学应完整地体现这一生动过程，引导学生揭示概念本质特征，让学生对理解概念有一定的思想准备，同时也培养从具体到抽象的思维方法。【案例2】在讲“无理数”概念时，可充分利用课后的阅读材料揭示“无理数”产生的曲折历史，然后再由“有理数”概念引出“无理数”的概念。再如教学“弦切角”概念时，可先复习圆周角的定义，然后引用运动的观点，借助投影仪操作器材，让圆周角一边固定不动，另一边绕顶点旋转，观察这一边与圆的两个交点逐渐靠近，成为圆的切线时，发生了质的变化，形成新的概念-弦切角，引导学生提炼、概括出弦切角定义，把静止的问题变成动态的问题，使学生了解到此概念产生的过程，加深了概念的理解。策略二：着重过程-

17、不要过早下结论。教学中引导学生积极参与数学定理、性质、法则、公式等结论的探索、发现、推导过程。弄清每个结论的因果关系。教师不仅要让学生知道数学结论，还要鼓励学生寻根问底，追本溯源，知其然并且知其所以然，对结论经常多问为什么，促进其思维品质的养成。【案例3】教学“不在同一直线上的三点确定一个圆”时，若教师只在黑板上作出不共线的三点A、B、C，然后连接AB、BC分别作出他们的中垂线交于一点O，以O为圆心，OB为半径画出一个圆，直接将定理教给学生，这样的教学不但收效甚微，还会使学生反感，抑制了学生发现数学规律的愿望。其实，可以从复习旧的知识“两点确定一条直线”入手，提出问题-几点可以确定一个圆？引导

18、学生动手、动脑，完成设计的练习，参与问题的思维过程。练习：经过一点可以画多少个圆，为什么？经过两点可以画多少个圆，圆心的位置有何规律？过不在同一直线上的三点可画几个圆，圆心的位置在哪里？过同一直线上的三点能否画出一个圆？在此基础上得出“不在同一直线上的三点确定一个圆”的结论。这样，不仅可做到师生思维同步，而且可教给学生发现数学规律方法，把打开数学大门的钥匙交给学生。策略三：小结、复习-要会联系。对于小结、复习，不仅要罗列知识，而且要揭示知识之间的内在联系。有效的方法是利用对比、类比、化归、转换等，讲清来龙去脉，从整体上对内容有清晰的认识，形成知识结构图。在复习小结中还可以总结这章所涉及的数学思

19、想方法，从知识发展的过程来观察数学思想方法所起的作用。【案例4】在总结”四边形”一章内容时,可从一般的四边形开始,通过变化边和角,进行条件限制成为特殊图形,回忆复习已学的平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形等几何图形的概念，结合各种图形的关系区别、比较它们各自的性质、判定等，体现转换过程。这样使学生学到的知识具有条理性、准确性，有助于牢固地理解掌握知识。策略四：例题、习题-要会反思。对于例题、习题，不要就题论题，而要教会学生解完题后进行反思。解法是怎样想出来的？关键是哪一步？自己为什么没想出来？能找到更好的解题途径吗？这个方法能推广吗？通过解决这个题，学生应该学什么？这种反

20、思能较好地概括思维本质，从而上升到数学思想方法上来。著名数学教育家弗赖母登塔尔指出：“反思是数学活动的核心和动力。”教师要让学生养成反思的习惯。【案例5】在学习了三角形内角和定理之后，我设计了这样一个问题：小明沿着三角形的操场走一圈回到出发点，一共转了多少度？同学们七嘴八舌地议论开了，大多数同学认为答案是180度，理由是三角形的内角和是180度；也有同学觉得不对，认为是360度，但无法说清理由。我请一位同学在黑板上做了模拟试验，同学们意识到了这个问题的实质是求三角形的外角和，考虑到内外角之间的联系，于是这个问题很容易就解决了。之后,我趁热打铁，让学生继续反思：如果小明沿着四边形、五边形，或者n

21、边形的操场走一圈呢？学生通过概括、反思上述三角形问题的解题思路,形成了知识的迁移,不知不觉掌握了n边形的外角和为360度的性质。策略五：学生提炼-不要包办代替。苏格拉底说，他从不把自己看做一个教师而是看做一个帮助别人产生他们自己思想的“助产士”。学习有一条很重要的原则，就是不可代替的原则。对于数学思想方法的学习也不要硬性灌输，应将概念、结论性知识的教学设计成再发现、再创造的教学。通过探索研究活动，使学生在动脑、动手、动口的过程中领悟、体验、提炼数学思想方法，并逐步掌握、应用它。【案例6】一位数学教师在初三的一节复习课上,为了让学生更好地掌握一个考点“求一个已知点关于坐标轴的对称点的坐标”,教师

22、在黑板上写了三条求对称点坐标的结论:若 两个点关于X轴对称,则对称点的横坐标不变,纵坐标为相反数; 若 两个点关于Y轴对称,则对称点的横坐标为相反数,纵坐标不变; 若 两个点关于原点对称,则对称点的横坐标、纵坐标都为相反数。学生在做每一个相关题时，都要抬起头来看看结论再做题。但当教师将黑板上结论擦掉后，一些学生就不知所措。对这样的课，教师应当认真反思：让学生死记硬背许多结论，只能加重学生记忆负担，没有教给学生合理的思考方法，学生只能机械模仿。这节课，教师实际上只需强调两个字：画图！一切问题将迎刃而解。让学生在坐标系内画出符合条件的两个点，观察横、纵坐标的变化，即可求得对称点的坐标。这种方法体现

23、的就是数形结合的数学思想方法。五、数学思想方法教学模式教学模式一：观察、猜想探究式高斯说：“没有大胆而放肆的猜想，就谈不上科学的发现。”数学家善于敏锐地捕捉纷繁复杂的生活中的每一个初始问题，并由此向纵深探索、猜想、归纳、验证。当一个解决问题的方案成熟之时，一个新的数学问题也随之而产生。因此在数学教学中，教师应鼓励学生大胆猜想、探索。要引导学生恰当运用观察与实验来获取经验材料，进行大胆猜想，发现新事物。操作程序可设计为：观察-猜想-实验-证明-应用。此模式适用于规律课（定理、公式、性质）的教学，在教学中强调从特殊到一般的方法。【案例7】完成下列计算:1+3=?1+3+5=?1+3+5+7=?1+

24、3+5+7+9=?根据计算结果,探索规律。教学中，首先应让学生思考：从上面这些计算式中你能发现什么？让学生经历观察、比较、提出猜想的过程。教师不仅要关注学生是否找到了规律，更要关注学生是否进行了思考。从而鼓励学生猜想出1+3+5+7+9+19=102 。此后，教师还可以根据学生的实际情况，把这个问题进一步推广到一般的情形，推出1+3+5+7+9+（2N-1）=N2 ，当然应该认识到这个结论的正确性有待于进一步证明。教学模式二：比较、归纳探究式运用类比、对比帮助学生找出相关数学概念、相关数学命题之间的联系与区别，从而确切地去理解数学概念系统，澄清一些易于混淆的概念、定理、公式。此模式适用于新课、

25、复习课。在教学中强调结构思想、最优化思想、比较与分析、归纳与类比等方法。【案例8】以教学“分式的约分”为例，在教学中，教师首先要挖掘出类比思想，注意问题设计的结构具有可比性，以启发引导学生。学生类比前面已学过的知识，学习一些新知识，以达到探究式学习的目的。让学生思考： 是一个怎样的化简过程？这个化简过程的根据是什么？ 是一个怎样的化简过程？这个化简过程的根据是什么？通过分数约分的实例，唤起对分数约分概念的回忆，为类比分式的约分打下基础。教学模式三：抽象、建摸探究式在教学实际应用问题中经过逐步抽象、概括而得到数学模型。其程序是：理解题意-理清数量关系-建立数学模型-解答-应用。此模式适用于数学实

26、际应用问题教学，在教学中强调方程、不等式、函数等思想。【案例9】学校计划购置一些电脑，甲、乙两公司报价每台均为a元，甲公司的优惠条件是购买10台以上，从第11台开始按报价的70%计算，乙公司的优惠条件是每台均报价的85%计算。如果甲、乙两公司电脑的品牌、质量和售后服务完全相同，你选择哪家公司购货？首先让学生独立思考与研究，然后进行小组合作学习。在小组讨论时许多学生参与了进来，他们之间的思维不断发生碰撞，对选择向甲公司购货还是向乙公司购货进行深入分析，将问题构建成不同的数学模型，再通过数学问题来解决实际问题。教学模式四：化归、转化探究式借助旧知识、旧经验来处理面临的新问题。其程序是：对问题观察-

27、联想-回忆旧知识-问题解决。此模式适用于规律课、复习课。在教学中强调化归思想、联想和转化思想。联想多数表现为接近联想、相似联想和类比联想。如，分式性质联想到分数性质、二次函数联想到一次函数、形联想到数、数联想到形。转化是一种重要的解题策略。人们在解决数学问题时往往要尽可能地把它转化为熟悉的、简单的、已经解决或容易解决的问题。如，把减法转化成加法，把除法转化成乘法，通过消元、降次把高次方程转化成低次方程，多元方程转化成一元方程，把实际问题转化成数学问题来解决等等。【案例10】在教学“解方程 X+ =2”时 ，我在设计时作如下引导：（1） 利用根式方程的常规解法，通过平方把上述方程转化为有理方程，

28、再求解。（2） 让学生仔细观察，利用换元思想将上述方程转化为一元二次方程进行解答。（3） 联想已学过的知识（主要是二次根式的定义），将上述方程转化为 = 2X ，再由根式定义与性质得：X = 2 在教学中还应该多结合教材内容，从新知到旧知，本类和它类，纵向与横向等方面引导学生展开联想，弄清知识之间的联系，以拓宽学生的知识面，开拓学生的思维，培养创造能力。六、初步成效和反思(一)初步成效1、对知识或理论的发生、发展及其应用起到了积极作用。在本课题的实践过程中，我们始终坚持以具体知识为载体，引导学生积极参与数学定理、性质、法则、公式等结论的探索、发现、推导过程，鼓励学生寻根问底、追本溯源，通过学生的自主探索活动，使学生在动脑、动手、动口的过程中领悟、体验、提炼数学思想方法，并逐步掌握、应用它。2、有利于认知、情感和技能目标的均衡达成。通过本课题实践