高等数学下试卷及答案

1、2001级高等数学II（B卷）所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效一（每题分，共分）曲面在点（，）处的切面方程为。设函数，则。设，为连续函数，则二重积分化为在极坐标下的二次积分为。设C是由轴、轴与直线围成的区域的正向边界，则。的麦克劳林级数为，收敛区间为。已知是由所确定的隐函数，则。常微分方程的特解形式为。已知幂级数在处条件收敛，则幂级数的收敛半径为。二（分）设二阶偏导数连续，求。三（共分）计算下列各题（分）设D为由曲线围成的平面区域，计算二重积分。（分）设为圆锥面，计算第一类曲面积分。（分）设为上测，计算曲面积分。四（分）求函数在条件下的极值。五（分）将定义在上的函数展开成傅里叶正弦

2、级数。六（分）判别下列级数的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还是条件收敛。；七（分）求解常微分方程初值问题2001级高等数学II（B卷）解答一；二 三原式原式设下测，原式四由得，极值为五六，级数是绝对收敛的。是发散的。因所以是条件收敛的。七令，则方程化为，利用条件，因此，解为。2001级高等数学II试题(A卷)所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效一（每题3分，共24分）填空题1已知，则 。2函数在点处沿轴负方向的方向导数为 。3交换二次积分的次序得 。4常微分方程的通解为 。5幂级数的收敛区间为 。6已知级数，则 。7设定义在上的函数的傅里叶余弦级数的和函数为,则= ， 。8 ，其中是曲线

3、介于到一段。二（6分）已知二阶偏导数连续，求。三（共19分）计算下列各题1（6分），其中。2（7分），其中是由曲面和平面所围成的区域。3（6分），其中为从点沿抛物线到原点，再沿直线到点。四（7分）求曲线在点处的切线方程。五（7分）将函数展开成的幂级数，并指出收敛区间。六（8分）求常微分方程的通解。七（5分）判别级数的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还是条件收敛。八（4分）设为球面，是点的矢径方向，函数在球体二阶偏导数连续，且满足，证明 2001级高等数学II（A卷）解答一1. ; 2. 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. 二三1原式2原式3。原式 四由得五六特征方程，特征值，的

4、特解；的特解代入方程得，通解为七令 ，原级数收敛，又因，原级数不是绝对收敛，条件收敛八由于的方向即为球面的外法向，因此左式高等数学试题(B)：所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效一、 填空题：（每空3分共30分）1、 曲线在（0，0，1）处切线的方程为_。2、 已知,则_。3、 在点M处沿点（5，1，2）到点（9，4，14）的方向的方向导数为_。4、 幂级数的收敛半径为_。5、 把展开成麦克劳林（Maclaurin）级数为_。6、 设是周期为的周期函数，它在区间上定义为,则的傅立叶级数在处收敛于_。7、 微分方程的通解为_。8、 更换的积分次序为_。9、 L为逆时针方向的圆周:,则_。

5、10、 斯托克斯(Stokes)公式指出了下列两类积分：_ _之间关系。格林(Green)公式指出了下列两类积分：_之间关系。二、 (8分)已知，f具有二阶连续偏导数，求。 三、 (10分)求函数在区域D：上的最大值。 四、 (10分)计算，其中D由所围。五、 (10分)计算积分其中的下侧。六、 (10分)计算积分，其中是上半球面。七、 (10分)求的通解。八、 (6分)下列计算是否正确，若正确，请给出理由，若不正确，请改正错误，并给出正确计算结果。计算曲线积分，其中L为从A（-1，0）到C（0，1），再到B（1，0）的曲线，AC为直线：，CB为直线：，计算过程为：因为,，所以积分与路径无关，

6、从而=0(其中为直线段：)。九、 (6分)设连续，且，由不等式所确定，令，求。2003高等数学(下)(B)答案:一.1. 2.(3.4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 空间曲线上的第二型曲线积分与空间曲面上的第二型曲面积分，平面上第二型曲线积分和二重积分(或曲线积分和曲面积分, 曲线积分和二重积分)二.,= 三. 设,得驻点:, ,计算:, ,另,所以zmax=四. I=五. 设的上侧,则=(高斯公式), 而 =0, 所以, I=0六.=七.八. 不正确，因为 ,要求，所以这样做是错误的。设是从A到C，再到B的半椭圆周：，则=。九.= .一.1. 2.(3.4. 5. 6. 7. 8.

7、 9. 10. 空间曲线上的第二型曲线积分与空间曲面上的第二型曲面积分，平面上第二型曲线积分和二重积分(或曲线积分和曲面积分, 曲线积分和二重积分)二., 三. 设,得驻点:, ,另,计算得最大值.四. I=五. 设的上侧,则=(高斯公式), 而=0, I=0六.七.八. 不正确，因为 ,要求，所以这样做是错误的。设是从A到C，再到B的半椭圆周：，则=。九.= .所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效十、 判断题：（对的划“”，错的划“”，每题1分共14分）1、 二元函数f在P点可微，则f在P点连续。2、 二元函数f在P点的偏导数存在，则f在P点可微。3、 ，在上可积，则等式成立。4、

8、若存在，则和一定相等。5、 ，其中为两个向量。6、 方向向量的方向余弦为，在的偏导数存在，则。7、 三个向量的混合积的绝对值就是以这三个向量为邻边的平行六面体的体积。8、 两个向量的向量积就是以这两个向量为邻边的平行四边形的面积。9、 是函数的极值点，则一定是函数的驻点。10、 级数收敛，其中，则成立。11、 微分方程是二阶微分方程。12、 是以为周期的连续的奇函数，则它的傅立叶级数展开式是余弦级数。13、 级数收敛，则级数一定收敛。14、 幂级数的收敛域为。二、计算题（1）（每小题4分共8分）1，求： 2. 设是周期为的周期函数，它在区间上定义为,求的傅立叶级数的和函数。三、计算题（2）（每

9、小题4分共8分）1求。2. 求过点M(1，2，1)且平行于直线的直线方程。四（6分）已知,具有二阶连续偏导数，求五. （6分）把二重积分化为两种次序（先后、先后）的二次积分，其中由、和所围。六（8分）计算，其中为从（0，0）到（2，0）的顺时针方向的上半圆弧：。七（8分）计算，其中为曲面被平面所截下的下面部分，且它的方向向下（注：坐标系的轴正向是向上的）。八（8分） 求微分方程的通解。九（8分）求经过点的所有平面中，哪一个平面与坐标平面所围成的立体(在第一卦限）的体积为最小，并求其最小值。十（6分）设正项数列 单调减少，且级数发散，试问：级数是否收敛？并说明理由。一、1-7. 8-13. 14

10、.二、（1） 76 （2）三、（1）。（2）四、，五、六、设L1为：方向为从右向左=，I=七、=，。八、特征方程为，齐次通解为。设特解形式为，解得：。通解为九、设平面方程为，过点，故有。问题为求函数在条件下的条件极值。为简化计算，令（或）解得：。平面方程为，由实际问题知最小体积V=3。十、（反证法），。级数收敛，从而收敛所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效十一、 判断题：（对的划“”，错的划“”，每题2分共16 分）1、 二元函数f在P点的偏导数连续，则f在P点可微。2、 有界闭区域D上的连续函数在D上的二重积分一定存在。3、 的偏导数存在，是函数的极值点，则一定是函数的驻点。4、 是

11、以为周期的连续的偶函数，则它的傅立叶级数展开式是余弦级数。5、 为基本单位向量，则也是单位向量。 6、 若且，则。7、 微分方程是二阶常系数线性齐次方程。8、 微分方程的一个特解形式为。二、计算题（每小题5分共10分）1极限是否存在？若存在，求极限值，若不存在，说明理由。2求原点到直线的距离。三判别下列正项级数的敛散性（每小题5分共10分）： （1） （2） 四、求下列微分方程的通解（每小题5分共10分）：(1); (2) ;五、（10分）已知,具有二阶连续偏导数，求六. （10分）计算二重积分，其中由、和所围。七（10分）计算，其中为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：。八（10分）计算，其

12、中为曲面被平面所截下的下面部分，且它的方向向上（注：坐标系的轴正向是向上的）。九（7分）将函数展开成傅里叶级数。 十、（7分）设u(x, y, z)，v(x, y, z)在空间有界闭区域上有二阶连续偏导数，证明： 。其中取表面的外侧，为外法向量。(6分)一、1-4. 5-8. 二、1不存在。2.三、1、2全不收敛四、1.。2.五、，六、七、八、。九、,., 十、应用高斯公式证明（证明略）。所有试题的答案都要写在答题纸上一 填空（每小题4分，共28分）1. 曲线在 点的切线方程为 _。2. 旋转面是由yoz面上曲线_绕_轴旋转而成.3设函数，则。4. 求在点（3，4）处的梯度为_.5常微分方程的

13、特解形式为。6设，为连续函数，则二重积分化为在极坐标下的二次积分为。7. 幂级数 的收敛域为 _。二、计算题（每小题6分共12分）1. 设是周期为的周期函数，它在区间上定义为,求的傅立叶级数的和函数。2. 求过点M(1，2，1)且平行于直线的直线方程。三 （10分）设 是具有二阶连续偏导的函数，求。四（10分）求函数在条件下的极值。五(10分)设为上侧，计算曲面积分。六（10分）计算，其中为从（0，0）到（2，0）的顺时针方向的上半圆弧：。七（10分）判别下列级数的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还是条件收敛。1；2八（10分）求微分方程的通解答案一 填空（每小题4分，共28分）1 ； 2 ，；3

14、. 4. ； 5. 6. ； 7. 二、计算题（每小题6分共12分）（1）（2）三 （10分）解: 四（10分）解：设则由得，极值为五（10分）解：设下侧，原式六（10分）解：设L1为：方向为从右向左=，I=七（10分）解: (1)，级数是绝对收敛的。(2)因为 是发散的。又因所以是条件收敛的。八（10分）解: 特征方程为，齐次通解为。设特解形式为，解得：。通解为所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效一、填空题：(20分)1 曲线在处的法平面方徎为_。2 点()到平面的距离为_。3 设平面过点.则平面方程为_。4 已知,则=_。5 交换积分的积分次序为_。6 设：则=_ 。7 函数u=l

15、n(x2+y2+z2), 则div(grad u)= 。8 设函数f (x)是以为周期，f (x)=(-)，f (x)的Fourier级数为，则b3= 。9 设函数f (x)是以为周期的奇函数，它的Fourier级数为，则级数= 。10 下列四个命题：（1）.若级数发散，则级数也发散；（2）.若级数发散，则级数也发散；（3）.若级数收敛，则级数也收敛；（4）.若级数收敛，则级数也收敛。上述正确的命题是_。二. （8分）求函数的极值，并指出是极大值，还是极小值。三. （8分）求级数的收敛域和它的和函数。四. （8分）计算，其中是抛物线上自点（0，0）到（1，1）的一段弧。五. （8分）计算曲面积

16、分,其中是由锥面与半球面所围立体的表面外侧。六（10分）求下列方程的通解。1.; 2. 七. （8分）两个物体A、B的形状如图（一），体积相等，物体A是由抛物面（）和平面（）所围。物体B是柱体，它的母线平行于轴，底面是由所围的平面区域，求柱体B的高。ajxytnOL八. （5分）设有二阶连续导数，为光滑的简单闭曲线的外法向量（如图二），为围成的区域，有人利用切向量和外法向量的夹角的关系，以及格林公式，证明了如下结论：。若你认为是正确的，请给出证明过程；若你认为是错误的，请推理出正确的结论。九. （5分）证明不等式：。答案：一、1. 2. 1。 3. .4. 5. 6. . 7. .8. 9.

17、0. 10.(3)二、,驻点为,.由极值存在的充分条件知：为极小值点，为极大值点,和不取极值。三、, 收敛域为（-1，1），因为.两边求导得.所以，,.四、。五、由高斯公式知：.六、1.令,化简为一阶线性方程:,解得:,即.也可直接得出：,即，, , . 2特征方程：，,所以齐次方程的通解为：，设非齐次的特解形式为：.代入解得：.所以通解为：七、, .由，得.八、是不正确的（2分），正确结果应为 。设从x轴正向到曲线的切向量（和曲线同向）方向和曲线的外法线方向的转角分别为。则总是有, 而,（1分）=。（2分）注：主要要清楚夹角和转角的区别，如果用和x轴的夹角可能会得，从而得出错误结果，而在单位

18、向量这种表示中的，应是转角。此题若回答错误，但也推出该错误结果，可给2分;此题若回答正确，但推理错误或没有推理，也可给2分。九、 = =.其中, .所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效一、填空题：(18分)11 曲线在相应于点处的法平面方徎为_。12 点()到平面的距离为_。13 过点(且与平面平行的平面方程为_。14 已知,则, =_。15 交换积分的积分次序为_。16 设：则=_ 。17 设向量场, 则div= 。18 设函数f (x)是以为周期，f (x)=(-)，f (x)的Fourier级数为，则b2= 。19 设函数f (x)是以为周期的偶函数，它的Fourier级数为，则

19、级数= 。二. （7分）求函数的极值，并指出是极大值，还是极小值。三. （8分）求级数的收敛域和它的和函数。四. （7分）计算，其中是抛物线上自点（1，1）到（2，4）的一段弧。五. （8分）计算曲面积分,其中是由柱面，平面及所围立体的表面外侧。六（10分）求下列方程的通解。1.; 2. 七. （8分）一均匀物体是由抛物面及平面所围成1）求的体积; 2）求的质心。八. （7分）设, 表示不超过的最大整数，计算二重积分。九. （7分）设，证明：1）若级数绝对收敛，则级数收敛;2）若级数条件收敛，则级数发散。一、1 2。 3。 4。5 6.0 7. 8. 9. 10.二、，设，令，得驻点：，可知在

20、距离为最小。三、，,，四、=。五、令，=六、特征方程：，对应齐次通解：，特解形式为，代入解得：，所以，方程通解：。七、设圆锥面方程为：，锥顶为坐标原点，高为，由对称性知，八、=（高斯公式）九、由题意知，所以，所以绝对收敛。2005级高等数学（II）试题(工科)A卷一 选择题（每题3分，共15分）1 已知 ，且，则（ ）。 A. 2 B. C. D. 12 下列哪一个条件成立时能够推出在点处可微，且全微分？（ ）。 A在点两个偏导数； B. 在点的全增量； C在点的全增量； D在点的全增量；3设是连续函数，则（ ）。 A BC D4若级数收敛，且，则（ ）。 A收敛 B。发散 C。收敛且其和与的

21、和相等 D。不一定收敛5已知微分方程的两个不相同的特解和，则该方程的通解可以表示为（ ）。 A B。 C。 D。二 填空题（每题3分，共15分）1 点（1，1，1）到平面的距离（ ）。2 函数当时的全微分（ ）。3 设L为从点A（1，）沿曲线到点B（2，2）的弧段，则曲线积分（ ）。4 的收敛半径是（ ）。5 设，（）的傅立叶级数为，则（ ）。三（6分） 求通过点P（2，1，1），Q（1，2，3）且垂直于平面的平面。四 （8分）设，其中f具有二阶导数，求。五 (10分) 求函数的极值。六 （10分）计算二重积分，其中。七 （10分）计算三重积分，其中为柱面及平面所围成的在第一卦限内的闭区域。八

22、 （10分）计算下列曲线积分，其中L是从O（0，0）到A（6，0）的上半圆周。九（8分）计算积分其中的下侧。十 （8分）求方程满足初始条件的特解。2006高等数学试卷B一 填空题（每题3分，共30分）:1已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）。2当时，把以下的无穷小：（1） （2） （3） （4）按的低阶至高阶重新排列是（ ）（以编号表示）。3函数的间断点为（ ），它是（ ）间断点。4设可导，且满足条件，则曲线在处的切线斜率为（ ）。5设，则（ ）。6已知在内可导，且，又设，则（ ）。7曲线的斜渐近线为（ ）。8设有一个原函数，则（ ）。9（ ）。10（ ）。二计算题（每题6分，共36分）

23、:1求极限 2求极限3设，存在，求。4设函数是由方程组确定的，求。5求积分6求积分三解答题（10分）:讨论函数在内零点的个数。四应用题（15分）:1已知两曲线与在点处的切线相同，写出此切线方程，并求极限。2设有曲线，过原点作其切线，求由此曲线，切线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。五证明题（9分）:证明: 。高等数学B试题答案一填空题1. 2. (4),(1),(3),(2) 3.,第一类间断点。 4.25. 6. 7. 8.9. 10.二计算题1因为当时，。所以23两边对x求导得 （1） 再将（1）式两边对x求导，得 故 将 代入，得4 5令，则 6三解答题解：令， 在区间单调

24、减少，在区间单调增加，在点达到最小值，于是当时，方程在和各有一个根，即有两个零点。四应用题1由于两曲线在处相切，故有 于是切线方程为2解：设切点为，则过原点的切线方程为 再把点代入，解得则切线方程为故五证明：令, , , , 求和得 .2006高等数学试题A卷一 填空题 （每题3分，共30分）1的定义域为，则的定义域为（ ）。2当时与是等价无穷小量，则（ ）。3设，则（ ）。4（ ）。5函数单调增加区间是（ ）。6曲线的斜渐近线为（ ）。7是的一个原函数，。则（ ）。8设具有连续的二阶导数，则（ ）。9（ ）。10（ ）。二计算题（每题6分，共36分）1求 2求3设可微，且，试求。4设函数由下

25、述参数方程确定，求。5求积分 6 求积分三解答题（10分）试讨论方程的实根。四应用题（15分）1（8分）已知是周期为5的连续函数，它在的某邻域内满足关系式，其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程。2（7分）设曲线与轴的交点为P，过P点作该曲线的切线，求切线与该曲线及轴围城的区域绕轴旋转一周所成的旋转体体积。五证明题（9分）设在上不恒为零，且其导数连续，并且有，试证明存在，使。A卷答案一填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 29. 10. 二计算题234 5令 ， 则6三解答题解 令，则，由得当；当。所以是在的极大值点，且极大值。因为是在但唯一驻点，则极大值

26、是最大值。（1） 若时，没有零点，即方程无根。（2） 若时，有唯一零点，即方程有唯一的根。（3） 若时，在有唯一零点，即方程唯一的根；，在有唯一零点，即方程唯一的根。这时方程有两个根。四1由连续性，有即，故因此又即也即，故由函数的周期性，故所求切线方程为2五证明题（1）当时，上任一点均可取做。（2）当时，因为在上连续，所以在上连续。于是，存在，使得。又由题设有从而，。又，且，故结论成立。所有试题的答案都要写在答题纸上高等数学（II）试题（A）一 填空 （每小题3分 共15分 ）1 曲面 在点 的切平面的方程为_。2 设隐函数是由方程确定的，则 。3 设是平面 在第一卦限部分，则 。4 设周期为

27、，且 ，是的Fourier级数的和函数，则 _。5 设幂级数在处条件收敛，则幂级数的收敛半径。二 选择（每小题2分 共10分 ）1 设D是平面区域，则下面说法正确的是（ ）（A ） 若在D上可微，则的一阶偏导在D上一定连续；（B） 若在D上一阶偏导存在，则在D上一定可微；（C） 若在D上一阶偏导存在，则在D上一定连续；（D） 若在D上与均连续，则 。2 下列级数中绝对收敛的级数是 （ ）（A） ； （B）; （C） ; （D） 。3 直线过点 且与直线 垂直相交，则交点的坐标是（ ）（A） ； （B）； （C）；（D）。4 方程 表示 。 (A) 单叶双曲面； （B） 双叶双曲面 ； （C）

28、锥面 ； （D） 旋转抛物面。5 一阶微分方程 的类型是（ ）（A）全微分方程； （B） 可分离变量方程；（C）齐次方程； （D）一阶线性微分方程。三 （6分） 设是具有二阶连续导数的函数，求 。四 （7分）计算 ，其中是直线 及双曲线所围区域。五 （7分）修建一个容积为V的长方体地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积造价分别是地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计仓库的长、宽和高，可使它的造价最小。六 （7分）求微分方程 的通解。七 （7分）计算 ，其中是由曲面 及所围的空间区域。八（7分）求 ，其中L是曲线 ，取逆时针方向。九（7分）计算曲面积分 ，其中是锥面介于之间的部分，而是在处的外法

29、线向量的方向余弦。十 （7分）已知如下命题成立： 设是单调减少的正数列，级数收敛当且仅当收敛。 1）请用此命题证明 当时发散，而当时收敛；2）证明所给的命题。答案一 填空 （每小题3分 共15分 ）1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 。二 选择（每小题2分 共10分 ） D A B D C三 （6分）解 4.2四 （7分）解 。2221五 （7分）解 设地面每个单位造价为1，则墙壁和仓顶分别为 2， 3。 设长宽高分别为。则现在的要求是 在 约束下的极值。1考虑 ，.1则条件极值点满足一下方程.3由上述方程组可解得 根据实际情况可知，此时造价最小。2六 （7分）解 特征方程为 对应的齐次方程的通解为 .2不是特征根，于是可设特解为 .2代入到原方程化简可 于是 2所求的通解为 1七 （7分）解 由及，得 ， .2于是 .32 八（7分）解 原式.3设D的边界是L，根据格林公式， 原式.4九 （7分）解 原式，取外侧， 1设，取上侧，则2. 2而 1于是 原式 。.1十 （7分）1 设 ，则 ，于是由已知 的敛散性与等比数列敛散性一致。1因此当时原级数发散，而当时收敛； 12 令 ，当设是单调减少的正数列时，有 .3由比较判别法 收敛当且仅当 收敛，即 收敛当且仅当收敛。2。所有试题的答案都要写在答题纸上2007高等数学（II）试题（B）