高等数学下册试题及答案

1、高数一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a、b满足a+b=0，a=2，b=2，则ab=3z2、设z=xln(xy)，则= 2xy3、曲面x2+y2+z=9在点(1,2,4)处的切平面方程为4、设f(x)是周期为2的周期函数，它在-,)上的表达式为f(x)=x，则f(x)的傅里叶级数 在x=3处收敛于 ，在x=处收敛于 5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则(x+y)ds= L以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）2222

2、x+3y+z=91、求曲线2在点M0(1,-1,2)处的切线及法平面方程 22z=3x+y2、求由曲面z=2x+2y及z=6-x-y所围成的立体体积3、判定级数2222(-1)nlnn=1n+1是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ nxz2z4、设z=f(xy,)+siny，其中f具有二阶连续偏导数，求 ,yxxy5、计算曲面积分dS,其中是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0<h<a)截出的顶部 z三、（本题满分9分） 抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值（本题满分10分）计算曲线积分L(exsiny-m

3、)dx+(excosy-mx)dy，22其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x+y=ax(a>0)第 1 页 共 2 页高数四、（本题满分10分） xn求幂级数n的收敛域及和函数n=13n五、（本题满分10分）计算曲面积分I=2xdydz+2ydzdx+3(z332-1)dxdy，其中为曲面z=1-x2-y2(z0)的上侧六、（本题满分6分）设f(x)为连续函数，f(0)=a，F(t)=222z=z+f(x+y+z)dv，其中是由曲面tt与z=所围成的闭区域，求 lim+t0F(t) t3高等数学(下册)期末考试试题参考解答与评分标准填空题【每小题4分，共20分

4、】 1、-4； 2、-一、试解下列各题【每小题7分，共35分】 1；3、2x+4y+z=14； 4、3，0； 52ydzdy3y+z=-2xdy5xdz7xdxdx1、解：方程两边对x求导，得， 从而，.【4】 =-dx4ydx4zydy-zdz=-3xdxdx571该曲线在(1,-1,2)处的切向量为T=(1,)=(8,10,7).【5】 488故所求的切线方程为x-1y+1z-2.【6】 =8107法平面方程为 8(x-1)+10(y+1)+7(z-2)=0 即 8x+10y+7z=12.【7】z=2x2+2y22222、解：，该立体在面上的投影区域为 xOyx+y=2D:x+y2.【2】

5、xy22z=6-x-y第 2 页 共 2 页高数故所求的体积为V=dv=d20d6-222dz=20(6-32)d=6.【7】11n、解：由limnun=limnln(1+)=limln(1+)=1>0，知级数un发散【3】nnnnnn=1又|un111【7】 |=ln(1+)>ln(1+)=|un+1|,lim|un|=limln(1+)=0.故所给级数收敛且条件收敛nnnn+1n、解：z11=(f1'y+f2')+0=yf1'+f2'， 【3】 xyy1x2zx11x''-2f2'-3f22''.【7】&#

6、39;'x+f12''(-2)-2f2'+f21''x+f22''(-2)=f1'+xyf11 =f1'+yf11yyxyyyyy、解：的方程为z=在xOy面上的投影区域为Dxy=(x,y)|x2+y2a2-h2.【】故2dSadxdy=ad22200za-x-yDxyd122=2a-ln(a-)22a-20a=2aln.【7】h三、【9分】解：设M(x,y,z)为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d=令L(x,y,z)=x2【1】+y2+z2+(z-x2-y2)+(x+y+z-1)，Lx=2x-2x+=0L=

7、2y-2y+=0yLz=2z+=0，解得x=y=则由z=222z=x+yx+y+z=1M1(-1+-1-1-1,2M2(【7】 2222又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得故dmax=|OM2|=dmin=|OM1|= 【9】四、【10分】 解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得I2=xx2【5】 (esiny-m)dx+(ecosy-mx)dy=-md=-ma8DL+第 3 页 共 2 页高数而I1=(esiny-m)dx+(ecosy-mx)dy=-mdx=-ma【8】 0xxaL(exsiny-m)dx+(excosy-m

8、x)dy=I2-I1=ma-8ma2. 【10】an+1n3n1=lim=R=3，收敛区间为 (-3,3)【2】 五、【10分】解：=limnann+13n+13n-1)(1x=3x=-3又当时，级数成为，发散；当时，级数成为，收敛【4】 nnn=1n=1n故该幂级数的收敛域为-3,3)【5】 xn令s(x)=n（-3x<3），则n=1n3xn-11xn-1111, (|x|<3) 【8】 s'(x)=n=()=3n=1331-x/33-xn=13于是s(x)=x0s'(x)dx=xdx（-3x<3）.【10】 =-ln(3-x)0=ln3-ln(3-x)，03-xx22六、【10分】解：取1为z=0(x+y1)的下侧，记与1所围成的空间闭区域为，则由高斯公式，有I2=+1 2x3dydz+2y3dzdx+3(z2-1)dxdy=6(x2+y2+z)dv. 【5】 而I1=6dd0021-120(2+z)dz=2.【7】 =2x3dydz+2y3dzdx+3(z2-1)dxdy=3(z2-1)dxdy=311x2+y21dxdy=3. 【9】I=I2-I1=2-3=-. 【10】七、【6分】解：F(t)=202r2dr. 【2】 dsindrcos+fr()040ttt3=24si