高等数学训练之多元函数微分学

1、第三讲 多元函数微分学§1 概念及定理1 二元函数极限xx0yy0limf(x,y)=A>0，一个>0，当0<<时，恒有f(x,y)-A<。注意： 动点Q(x,y)定点P(x0,y0)的方向，方式，路径是随意的； 往往是通过选择两条不同路径求出的极限不相等limf(x,y)不存在。 xx0yy03x3+2xy+y3例1：求lim； x0x+yy03x3+2x2+x3=0； 解：I=limx02xyxI=lim3x3+2x(x2-x)+(x2-x)x+x2-x3x0yx2-x=limx02-2x+o(xx2)=-2； 2极限不存在。2 函数的连续性定义1：

2、设z=f(x,y)在P(x0,y0)的邻域内有定义，分别给x,y以增量 x, y，相应地il z0=得到函数的全增量 z，若mx0y0，则称函数z=f(x,y)在P(x0,y0)点处连续。定义2：设函数z=f(x,y)在P(x0,y0)点处满足条件： 在P(x0,y0)的邻域内有定义； limf(x,y)存在； xx0yy0 limf(x,y)=f(x0,y0)； xx0yy0则称z=f(x,y)在P(x0,y0)点处连续。3 偏导数fx(x0,y0)=lim'x0f(x0+ x,y0)-f(x,0y x)0 =limxx0f(x,y0)-f(x0,y0) x-x0fy'(x0

3、,y0)=lim'' y0f(x0,y0+ y)-f(x,0y y)0=limf(x,y0)-f(x,y0)0 yy0y-y0 设fx(x,y),fy(x,y)仍然对x,y可求偏导，得：2z2z'''' =fx,y, =f()(x,y)； 222xy2xy2z2z'''' =fxy(x,y), =fyx(x,y) 二阶混合偏导 xyyx一般讲，fxy(x,y)fyx(x,y) ''''4 全微分 设函数z=f(x,y)在P(x,y)的邻域内有定义，分别给x,y以增量 x, y，相应地

4、得函数的全增量 z，若 z可写成：则称函数z=f(x,y) z=A x+B y+o()，在P(x,y)可微。其中，=o()是当 x0, y0时的高阶无穷小，A,B 与 x, y无关，A x+B y为z=f(x,y)的全微分，记为dz或df(x,y)，即：dz=A x+B y。 当z=f(x,y)可微时，A=zzzz。于是：dz=,B=dx+dy。 xyxy例2：设u=xyyzzx，求du。解：lnu=ylnx+zlny+xlnz。取微分得： 1yzlnu=lnxdy+d+xlnyuxyd+ylnxdx； dzzlnu=u lnz+yzxydx+ lnx+xzxdy+ lny+dz yz+d y

5、ln+xzd z。z =xyz ln+例3：设有方程xyz+yzd+xln+ xy=P(1,0,-1)处的全微分dz。解：dz|P=zz|Pdx+|Pdy， xy方程两边对x求偏导，得：yz+xyz'x'y+z'z'=0； 将P(1,0,-1)代入，得：zx=1； 方程两边对y求偏导，得：xz+xyz'y=0； 将P(1,0,-1)代入，得：z'y=；故：dz|P=dx。重要定理：Th1：设函数z=f(x,y)在P(x,y)的邻域内可微，则f(x,y)在P(x,y)点处的两个偏导数zzzz=fx'(x,y)和=fy'(x,y)存在

6、，并且有dz=dx+dy。 xyxyzz=fx'(x,y)=fy'(x,y)xyTh2：设函数z=f(x,y)在P(x,y)的邻域内两个偏导数存在并且连续。则z=f(x,y)在P(x,y)处可微。''''Th3：设z=f(x,y)的二阶偏导数连续，fxy(x,y)=fyx(x,y)，即对x,y求偏导的次序无关。注意：z=f(x,y)的连续，可导（指的是两个偏导数fx(x,y)，fy(x,y)存在），可微''三者之间的关系： 可微可导，可微连续； 连续，不能可导；连续，不能可微； 可导，不能可微；可导，不能可连续；§2 多

7、元函数的微分法一多元简单显函数的微分法例4：设u=x，求yzuuu, , 。 xyz解：zu=yzxy-1； xzuyzlnx=e=eyyy()lnx(-z1zyln)x=-z1yzylnx；x zuyzlnx=e=ezz()zylnxylznyln=xy yzlnylnx。xz二多元显函数的微分法 z=f(u,v), u=(x,y), v=(x,y)，f,均可微，则z=f(x,y),(x,y)对x,y的偏导数存在，并且有：zzuzvzzuzv，。 =+=+xuxvxyuyvy z=f(u,v), u=(t), v=(t)，f,均可微，则z=f并且有：(t),(t)对t可导dzzduzdv。

8、=+dtudtvdt 设z=f(x,u,v), u=(x,y), v=(x,y)，f,均可微，则复合函数：z=f(x,(x,y),(x,y)对x,y的偏导数存在，并且有：zuvzuv=fx'+fu'+fv', =fx'0+fu'+fv'。 xxxyyy注意如下事项： 用图示法表示出函数的复合关系：(1)(2)(3) 偏导数zz（或）的结构 xyzz（或）的项数=中个变量个数，每项是两个因子的乘积，第一个因子xy偏导数是函数对中间变量的偏导；第二个因子是中间变量对指定自变量的偏导数。 zz（或）仍然是以x,y为自变量，以u,v为中间变量的函数，再求

9、偏导数要将xy前面的连锁法则再作一遍。yz=f(x+y,sinxy)， 对于抽象的复合函数一定要设中间变量。例如：令u=x+，v=sinxy。如果求的是高阶偏导数，中间变量通常用1,2,3 数字表示更简单。 例5：设f(x,y,z)是k次齐次函数，即f(tx,ty,tz)=tf(x,y,z)，计算xkfff+y+z xyz解：令u=tx,v=ty,w=tz，则f(tx,ty,tz)=tkf(x,y,z) f(u,v,w)=tkf(x,y,z)， 两边对t求偏导，得：fffx+y+z=kt(k-1)f(x,y,z)； uvw两边同乘以t，得：ufff+v+w=ktkf(x,y,z)=kf(u,v

10、,w)； uvw故：xfff+y+z=kf(x,y,z)。 xyz例6：设z=(x+y,x-y) xy,zzy，均可微，求,。 ,xyx解： z=(x+y,x-y) xy,y； xz''=+=(1'+2+ y)1+xxx'y2-2； xz'1''=+=(1'-2+ y)1+2。 yyyx例7：设z=f(x+y,cosxy). x=coszz ，求。 ,y=sin解：令u=x+y,v=cosxy,z=f(u,v)；uuvv=1, =1; =-ysinxy, =-xsinxy； xyxyzzuxzuyzvxzvy =+uxuyvxvy

11、s =cozz+si-yuusxiyns-xzvzxsyin；si nvzzuxzuy=+uxuyzvxzvy vxvysxiynzn-xvxsyinzco s；v =-sinzz+co+yuu2y2z例8：设z=f(x+y,xe). f具有二阶连续的偏导，求。 xy2解：z=f1'2x+f2'ey； xy2z''''y=(f1'2x+f2'ey)=2x(fe+ye2'f+112y+f12x)xyy''' =4xyf1'1+2eyx2+yf1+2xe(e''212f+y

12、9;'y22f) xe()y2''yf+22ef'2三隐函数微分法Fx'(x,y)dy 设F(x,y)=0，； =-'dxFyx,y z=z(x,y)，由方程F(x,y,z)=0确定Fy'(x,y,z)Fx'(x,y,z)zz=-',=-'xFzx,y,zyFzx,y,z dyF(x,y,z)=0=？（意味着， 只能确定两个因变量，一个自变量，若求dxG(x,y,z)=0x为自变量，y,z均为x的函数）两边对x求偏导，得：'dzdzdy'dy'''F1+F+F=0F+F=-F

13、xxyzyzdxdxdxdx dz''G'1+G'dy+G'dz=0Gdy+G=-Gxxyzyzdxdxdxdx由克莱姆法则：''dy=？ dx例9：设F(x-z,y-z)=0，求dz。解：u=x-z, v=y-z, F(u,v)=0，求微分得：Fu'dx+Fv'dy； Fdu+Fdv=0，即：F(dx-dz)+F(dy-dz)=0dz=Fu'+Fv''u'v'u'v2222例10：设x+y+z=xyfz。计算x()zz+y。 xy解：两边对x求偏导数：2x+2zzz=yf(

14、z2)+xyf'(t)2z xxzz2x2+2z x=yf(t)+2xyzf'(t) xxxxyf(t)-2x2xyf(t)-2y2zz，y， x=''x2z1-xyf(t)y2z1-xyf(t)xzzz+y= xy1-xyf'tzzzz,y+=0。计算x+y。 xyyxzz, v=y+, F(u,v)=0， yx例11：设F x+ 解： 设u=x+两边对x求偏导，得：Fu' 1+1'z1''zx+Fv -2+zx=0， yxx两边同乘以x2y，得：' x2yFu'+xFu xz'-yzFv+yFx

15、'zvx =0 xzyzFv'-x2yFu'， x=''xyFv+xFu同理可得：zxzFv'-y2xFu' y=yyFv'+xFu'xzz+y=z-xy。 xydy。 dx例12：设y=f(x,t),t由方程F(x,ty,t)=0确定为x,y的二元函数，求解：y=f(x,t) ，令ty=uF(x,ty,t)=0y=f(x,t) ， F(x,u,t)=0两边对x求导，得：dy''dtdy'dt'=f1+f-f=f xttxdxdxdxdx dtdydtdydtFx'1+Fu'

16、 y+t+Ft'=0tFu'Fx'+(yFu'+Ft')=-Fx'dxdxdxdxdxdy=dx1tFu'fx'-Fx'-ft'yFu'+Ft'-ftyFu'+Ft''=fx'(yFu'+Ft')-ft'Fx'yF+Ft+tftF'u'''u§3 多元函数的极值定义1：设z=fxy(,)在P(x0,y0)的邻域内有定义，Q(x,y)为该邻域内异于P(x0,y0)的任一点，若恒有f(x,y)>

17、;f(x0,y0)（或<f(x0,y0)），则f(x0,y0)为f(x,y)的极小值（或极大值）。'fx(x,y)=0定义2：方程组'的解，称为函数f(x,y)的驻点。fx,y=0)y(Th1：（取极值的必要条件）设f(x0,y0)为f(x,y)的极值，且z=f(x,y)在P(x0,y0)处'fx(x,y)=0的两个偏导数f(x,y),f(x,y)存在，则'。fy(x,y)=0'x'yTh2：（取极值的充分条件）设z=f(x,y)在P(x0,y0)的邻域内有二阶连续的导数，且fx'(x0,y0)=0,fy'(x0,y0)=0

18、，''令：A=fx2(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fy2(x0,y0)''''A>0 (此时必有C>0)f(x0,y0)为极小值 若B-AC<0，则；A<0 此时必有C<0fx,y为极大值()()0022 B-AC>0，则f(x0,y0)不是极值； B-AC=0 ，用配方法判别。 一无条件极值：'fx(x,y)=0令z=f(x,y)， 求出驻点及使'无解的点；fy(x,y)=0'''''' 求出二阶导数fx2,fy2,fxy在中点处

19、的值；2用Th3判别。 二条件极值：设目标函数u=f(x,y,z)的约束条件为(x,y,z)=0。 极值的求法： 化为无条件极值； 利用拉氏乘数法。 拉氏乘数法： 作辅助函数：令F(x,y,z)=f(x,y,z)+(x,y,z)；''fx'+xfx'=-x=0''''fy+y=0fy=-y 解方程：' ' 得出驻点(x0,y0,z0)； ''fz+z=0fz=-z(x,y,z)=0(x,y,z)=0 f(x0,y0,z0)就是所求的极值或最值。最值的求法：求函数z=f(x,y)在闭区域D上的最值。

20、先求z=f(x,y)在D内可能的极值点，求出对应的函数值； 再求z=f(x,y)在D的边界上的可能取值点，求出对应的函数值； 进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值。例13：求z=f(x,y)=xy2 (4-x-y)在由x+y=16与x轴，y轴所围区域D上的最值。 解：先求f(x,y)在D内可能的取值：'22fx=y(4-x-y)-xy=0 解方程组'y=2x x=1,y=2驻点为(1,2)。 2fy=2xy(4-x-y)-xy=0f(1,2)=122(4-1-2)=4；再求f(x,y)在D的边界上的可能取值：在x轴上，y=0, 0x6, f=0；在y轴上，x=0, 0y6,

21、 f=0；在x+y=6上，令x=6-y，代入函数中，f(y)=(6-y)y2(4-6+y-y)=-2y(6-y)；2f'(y)=-22y6-y-y()=0 y=4,x=2；f(2,4)=242(4-2-4)=-64；比较后，得：maxf(x,y)=4, minf(x,y)=-64。 DD2例14：求抛物线y=x上的点到直线y=x-4的最短距离。解：y=x-4x-y-4=0；d=目标；y0=x02 约束条件；2 令F(x0,y0)=(x0-y0-4)+y0-x02； ()fx'0=2(x0-y0-4)-2x0=0 1111解方程组fy'=-2(x0-y0-4)+=0 x0=y0=驻点为 ,；024