弧微分与曲率ppt课件

1、第三章第三章 微分中值定理与导数的微分中值定理与导数的应用应用 高等数学高等数学第六节第六节 弧微分与曲率弧微分与曲率怎样描述曲线局部弯曲程度？怎样描述曲线局部弯曲程度？1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1 ) 我们直觉认识到：直线不弯曲，曲线不同部分有不同的弯曲程度；一 弧微分NTA0 xMxxx .),()(内内具具有有连连续续导导数数在在区区间间设设函函数数baxfxyo.),(:00作作为为度度量量弧弧长长的的基基点点在在曲曲线线上上取取点点yxA),(yxM对

2、对于于曲曲线线上上任任意意一一点点规定：规定：;)1(增增大大的的方方向向曲曲线线的的正正向向为为 x,)2(sAM .,取取负负号号相相反反时时取取正正号号一一致致时时的的方方向向与与曲曲线线正正向向当当ssAM)(xss 易看出：弧长 是x的单调增函数.)(xss 下面求下面求 的导数与微分的导数与微分,),(上上的的另另一一点点为为曲曲线线设设yyxxN MNs NMTA0 xxxx xyo22 xMNxs22 xMNMNMN 2222)()(xyxMNMN 222)(1xyMNMN 222)(1xyMNMNxsMNx ,0时时当当.12dxyds 故故,)(为为单单调调增增函函数数xs

3、s .12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式NMTA0 xxxx xyo1lim2 MNMNMNyxyx 0lim弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x)上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量为Ds.因为当Dx0时 Ds MN 又Dx与Ds同号 所以 由此得弧微分公式: 202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxx21 y dxyds21 202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxx202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxx或者 22)(d)(ddy

4、xs曲率是描述曲线局部性质弯曲程度的量曲率是描述曲线局部性质弯曲程度的量MM 1S 2S NN )弯曲程度越大转角越大弯曲程度越大转角越大转角相同弧段短的弯曲大转角相同弧段短的弯曲大1 1、曲率的定义、曲率的定义1M3M)2 2M2S 1S 1 )二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式问题: 怎样刻画曲线的弯曲程度？提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.2、曲率及其计算公式、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,s对应切线,定义弧段 上的平均曲率ssK点 M 处的曲率sKs0limsdd注注: 直线上任意点处的曲率为直线上任意点处的曲率为

5、0 !转角为例例1. 求半径为求半径为R 的圆上任意点处的曲率的圆上任意点处的曲率 .解解: 如下图如下图 ,RssKs0limR1可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .sRMM有曲率近似计算公式,1时当 yytan)22(设y arctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率计算公式为sKdd23)1(2yyK yK 又曲率曲率K 的计算公式的计算公式)(xfy 二阶可导,设曲线弧则由,),(),(二阶可导二阶可导设设 tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy

6、.)()()()()(322tttttdxyd 注:参数方程下曲率的计算23)1(2yyK 例例2 计算等边双曲线计算等边双曲线xy1在在点点(1, 1)处的曲率处的曲率.曲线在点(1 1)处的曲率为因此y|x11 y|x12解解 由xy1 得 21xy 232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221解 21xy 32xy 232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221 23)1(2yyK 例3 抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？ 解 由yax2bxc 得 y2 a xb y2a 代入曲率公式 得 显然 当2axb0

7、时曲率最大 因而 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a| 232)2(1 |2|baxaK 曲率最大时 xab2 对应的点为抛物线的顶点 23)1(2yyK 例例4. 求椭圆求椭圆tbytaxsincos)20(t在t=0处的曲率.解解:故曲率为 ba23)cossin(2222tbta;sinta;costbtacostbsin)(t)(t)(t )(t 2322)()()()()()(ttttttK 在t=0处,即在点(a,0)的曲率为2baK 考虑: 上面的椭圆在何处曲率最大?三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径TyxoR),(yxMC设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线

8、KRDM1把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.1,1 kk即即注注: 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲). 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).例例6. 求抛物线求抛物线 上任一点处的曲率

9、和曲率半径上任一点处的曲率和曲率半径.2xy 解：解：.2,2 yxymaxmin1(0,0),2,.2K在点(|),x自原点逐渐上升 增大,)41(22/32xK2xy 随着曲线.2)41(12/32xK.逐渐增大逐渐减小，KxyO1O2O2yxA,41)0()0(2min2020yx故处又在, 2, 0,)0 , 0( yy法线： x = 0 .切线：y = 0 ,000(,),0,xyx 而圆心在法线上 故.41)21(22 yx点处的曲率圆方程：在于是)0 , 0(,2xy ).21(2100yy舍求求 的最小曲率半径时的曲率圆的方程的最小曲率半径时的曲率圆的方程.2yx则设曲率圆圆心

10、),(00yx 例例7 设工件表面的截线为抛物线设工件表面的截线为抛物线y0.4x2. 现在要现在要用用砂轮磨削其内表面砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？问用直径多大的砂轮才比较合适？ 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 抛物线顶点处的曲率半径为 r=K-11.25 因而, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径不得超过2.50单位长 y0.8x y0.8 y|x00 y|x00.8 把它们代入曲率公式 得232)1 (|yyK 08 例例9 9xyoQP.,.70,/400,)(40002压力压力飞行员对座椅的飞行员对座椅的到原点时到原点时求俯冲求俯冲千克千克

11、飞行员体重飞行员体重秒秒米米处速度为处速度为点点在原在原俯冲飞行俯冲飞行单位为米单位为米飞机沿抛物线飞机沿抛物线 vOxy解解如图如图,受力分析受力分析,PQF 视飞行员在点视飞行员在点o作匀速圆周运动作匀速圆周运动,.2 mvF O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率为得曲率为.200010 xxk曲率半径为曲率半径为.2000 米米 2000400702 F),(4 .571)(5600千千克克牛牛 ),(4 .571)(70千千克克力力千千克克力力 Q).(5 .641千克力千克力 即即:飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅

12、的压力为641.5千克力千克力. 运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学研究曲线和曲面的性质的数学分支分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧).四、小结四、小结内容小结内容小结1. 弧长微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs2. 曲率公式sKdd23)1 (2yy 3. 曲率圆曲率半径KR1yy 23)1 (2232)(1|yyk 2322)cos9sin4(6tt 232)cos54(6t 要使要使 最大，最大，k232)c

13、os54(t 必有必有 最小，最小，23,2 t此时此时 最大，最大，k 附附1 椭圆椭圆 上哪上哪 些点处曲率最大？些点处曲率最大？,cos2tx tysin3 解解,()1.RR火车转弯时,为使火车能平稳地转过弯去必须将外轨垫高.铁轨由直道转入圆弧弯道时设半径为,外轨的弯曲有一个跳跃,会导致接头处的曲率突然改变,容易发生事故. 为了行驶平稳,往往在直道和弯道之间接入一段缓冲段,使曲率连续地由零过渡到附附2. 2. 铁道的弯道分析铁道的弯道分析.1)1(, 06103RARlRlOOAOAlOAxxxRly的的曲曲率率近近似似为为时时，在在终终端端很很小小并并且且当当为为零零的的曲曲率率在在始始端端的的长长度度，验验证证缓缓冲冲段段为为，其其中中缓缓冲冲段段作作为为，通通常常用用三三次次抛抛物物线线 xyoR),(00yxA)0 ,(0 xClBxyoR),(00yxA)0 ,(0 xC证明证明: : 如图如图0 x 表示直线轨道，,.OAAB是缓冲段是圆弧轨道在缓冲段上在缓冲段上,212xR