对数与对数函数及经典题

1、对数与对数函数撰稿：江用科审稿：严春梅责编：张杨一、目标认知 学习目标1. 掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数；2. 掌握对数函数的概念、图象和性质.重点对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用；理解对数函数的定义，掌握 对数函数的图象和性质 难点正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.二、知识要点梳理知识点一、对数及其运算我们在学习过程遇到 2x=4的问题时，可凭经验得到 x=2的解，而一旦出现 2x=3时，我们就无法用已学 过的知识来解决，从而引入出一种新的运算一一对数运算（一）对数概念：1.如果

2、（，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2. 对数恒等式：1律N"3. 对数1具有下列性质:（1）0和负数没有对数，即；（2）1的对数为0，即-丄"；底的对数等于1,即 - I（二）常用对数与自然对数通常将以 10为底的对数叫做常用对数,上:、八.以e为底的对数叫做自然对数,（三）对数式与指数式的关系.它们的关系可由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化 由下图表示.指数式对数式指数对数¥真数:1 11log.N-b1底数由此可见a, b, N三个字母在不同的式子中名称可能发生

3、变化.（四）积、商、幕的对数已知-丄二一1： .-工 -/ - : I推广：人斗 Jj +.<' |.J.1 .M logd = logflA/-logfl27 （五）换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0,1, M >0的前提下有令 logaM=b ,则有 ab=M , （ab）n=Mn,即：帳,即一丄,log&M=log Ml即：一(c > O,c H 1),令 log aM=b ,则有ab=M ,则有Ioq . A/logM = (eO,wl) ，即1一当然，细心一些的同学会发现 到一个重要的结论：（1）可由推出，但在解决某些

4、冋题（1）又有它的灵活性.而且由还可以得即亠一二，即L-rlog tt t = (a a 1 上 > 0,右 H 1)知识点二、对数函数1. 函数y=logax（a>0,1）叫做对数函数.2. 在同一坐标系内，当 a> 1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当Ovav 1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.（见图1）(1) 对数函数y=logax(a>0,1)的定义域为(0, +)，值域为R< 0(x > 1)店=0(K = 1)> o(o<x<n对数函数y=logax(a>0, a 1)的图像过点(1, 0)> 0(

5、x > 1)log 4 x' = 0(x = 1)当0 c 田 < 1 吋，log当a> 1时,<0(0<x<l)三、规律方法指导容易产生的错误(1) 对数式logaN=b中各字母的取值范围(a>0且a 1, N>0, b R)容易记错.(2) 关于对数的运算法则，要注意以下两点：一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立如：log2(-3)(-5)=log 2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但 log2(-3)与 log2(-5)是不存在的

6、.二是不能将和、差、积、商、幕的对数与对数的和、差、积、商、幕混淆起来，即下面的等式是错误的:log a(M ± N)=log aM ± logaN , log a(M N)=log aM logaN ,M _loga -5 .(3) 解决对数函数y=log ax (a > 0且a* 1)的单调性问题时，忽视对底数a的讨论.关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错F面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考以1为分界点，当a, N同侧时，logaN >0 ;当a, N异侧时，logaN v 0.经典例题透析类型

7、一、指数式与对数式互化及其应用1.将下列指数式与对数式互化:1筍9二-2(1宀-；：；(3)思路点拨：运用对数的定义进行互化1； (4)： - 二-2=16解：广二-2=9'1 ；log3l = -l魄 116 二-2(5)二；丄总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题 的重要手段举一反三：【变式1】求下列各式中x的值： lg100=x 上;：J：思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幕的运算性质求出x.x = (64p = (43) ;=4( = 4= 1 解：111 i 10x=100=10 2，于是 x=2 ；(4) 由厂一二一

8、一匚一1二2厂_卜丿二一一1.类型二、利用对数恒等式化简求值总结升华：对数恒等式，生'二"中要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为真数.举一反三：【变式1】求J：-:的值(a, b, c R+,且不等于1, N>0)思路点拨：将幕指数中的乘积关系转化为幕的幕，再进行运算解:氓N二护即严肿二严二并类型三、积、商、幕的对数3已知lg2=a, lg3=b，用a、b表示下列各式.(1) lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：原式=lg32=2lg3=2b原式=lg26=6lg2=6a原式=lg2+lg3=a+b原式

9、=lg22+lg3=2a+b(5) 原式=1-lg2=1-a(6) 原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值一一一：-L-L, 10 1(2)lg2 lg50+(lg5) 2 (3)lg25+Ig2 lg50+(lg2)解：J=2 log, 5a +31嶋 26-8x0= 4+18- 0= 22.原式=lg2(1+lg5)+(lg5) 2=lg2+lg2lg5+(lg5) 2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1原式=2lg5+lg2(1 +lg5)+(lg2) 22=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)=1+lg5+lg2(lg5+l

10、g2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c,求c的值.解：由3a=c得:logtf3fl = L fiPalog3-1,:. logtf3 = -log> 5,，由- + -= 2 得 log.3+log. 5 = 2同理可得?.：一 log5 二 2,.'.圧= 15,c > 0r'. c = V15*打 b+s 门 a -c.2 2 2呃(1 + )+log2(l + ) = 1【变式3】设a、b、c为正数，且满足 a2+b2=c2.求证：一:二.fa + b+c a +b -c,呃()ab十、丄 Ha+b-c .a+b证明：rfy (a+bf

11、-c2¥ + 2血+/2ah= log32ab+c2 2= loga2 = l.a+b 1_22te =【变式4】已知：a +b =7ab, a>0, b> 0.求证：二 _.证明：T a +b =7ab,/ a +2ab+b =9ab,即(a+b) =9ab,/ lg(a+b) =lg(9ab),/ a>0, b> 0, 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb / 2lg(a+b)-lg3=lga+lgbf a+b1.、八lg二二 Cgo+lgb)即 二 _.类型四、换底公式的运用(>険&4. (1)已知 logxy=a ,用 a表示'

12、;已知 log ax=m ,logbx =n ,logcx=p, 求 log abcx.1 _解：原式=（2）思路点拨:方法一：logxy 1 + bg/ 1+a log v Z7=-=_= ? log/ 卜咤"If x y将条件和结论中的底化为同底.m. npa =x， b =x， c =x2111Ilogff Alog = log , . I 111 删4碑+粋 + + m n p方法二:举一反三:【变式1】求值:解: (1)bg obclog abc logj u 4-log J 4-log c mnnp+mp ._丨；（2）W=F左；（3）山匚；lg9 Ig32_21g3：

13、I： 51g2_1031g31(3) 法-25913i心 K15= 93帘法二：.-：'.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于o不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5. 求值(1) log89 log2732log 64 32 -log3- -logJ log J(2)log 2 Qog 2 蒐 + bg i - +log 4 36) (4) (log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52)KnXnX9M 2 5 10解:log，33

14、log ； 2 - -(1)原式=“_:.原式= 打” /1113?3原式=log2(5 + log3_1- + log2260 = log2(5-log2- + log26) = log28 = 3(4)原式=(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52)113=(31og2 5+log2 5+-log2 5)沁 2) = 31ogj 21og2 5 = 13举一反三：严【变式1】求值：另解：设- =m (m > 0). /-1 =(2丄)顾 2 = 22=Igwa? Ig2=lgm ,严 2=m，即(护=2【变式2】已知:log

15、3 2 =解：6.求下列函数的定义域:(1厂二;一 _< r Ilog23=a,Iog37=b，求：Iog4256=?I,占+匚 处+ 3炮门6二也，+吨昇g汀+弧学二订二厂亦G IJ log3 42 log37+log36 炖Q + 1 + 1 込 2 心+】+：类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用思路点拨：由对数函数的定义知：x2> 0, 4-x >0，解出不等式就可求出定义域 解: (1)因为x2> 0, 即 xm 0,所以

16、函数=呃的定义域为仅|" 0；因为4-x > 0,即x V 4,所以函数丁 一 4宀；二.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域V?-iLgx-i) -1(1) y= I 匚(2) y=ln(ax-k 2x)(a>0 且1, k R).X >10 < x-1<13玉丰一 所以L 233-)-(-,2).jv-1>0t log !(工-1) > 02logjU-1) 1解：因为L忌,所以函数的定义域为(i,因为 ax-k 2x>0,所以()x>k.1 当kw 0时，定义域为R;2 当 k > 0 时，loga(i) 若a>

17、;2,则函数定义域为(j k, + g);(ii) 若0v av 2,且a 1，则函数定义域为(-g, j k);(iii) 若a=2,则当0 V kv 1时，函数定义域为R;当k > 1时，此时不能构成函数，否则定义域为0.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为-1 , 1,求y=f(log 2X)的定义域. 1思路点拨：由-1 W x w 1,可得y=f(x)的定义域为1 , 2,再由1 w log2Xw 2得y=f(log 2x)的定义域为'匚，4.类型七、函数图象问题7 .作出下列函数的图象：(1) y=lgx , y=lg(-x) , y=-lgx ； y=lg|x|

18、； y=-1+lgx. 解：(1)如图(1);(2)如图(2);(3)如图(3).图图图类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：比较大小；解不等式；判断单调性；求单调区间；求值域和最值 要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优 先的观念8比较下列各组数中的两个值大小：(1) log 23.4，log28.5(2) log 0.31.8, logo.32.7(3) loga5.1, Ioga5.9(a>0 且 1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成(1)解法1：画出对数函数 y=log2X的图象，横坐标为3

19、.4的点在横坐标为 8.5的点的下方，所以，Iog23.4 v Iog28.5；解法2：由函数y=log 2x在R+上是单调增函数，且3.4 v 8.5，所以Iog23.4v log28.5 ；解法 3:直接用计算器计算得：Iog23.4 1.8, Iog28.5 3.1，所以 log23.4 v log28.5；与第(1)小题类似，logo.3x在R+上是单调减函数，且1.8v 2.7,所以logo.31.8>logo.32.7;(2) 注：底数是常数，但要分类讨论 a的范围，再由函数单调性判断大小.解法 1:当 a> 1 时，y=logax 在(0,)上是增函数，且 5.1 v

20、 5.9，所以，Ioga5.1v Ioga5.9当 0v av 1 时，y=log ax 在(0，+ )上是减函数，且 5.1 v5.9，所以，Ioga5.1 > Ioga5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令 b1=log a5.1，则- J ，令 b2=loga5.9，贝一 几当a> 1时，y=ax在R上是增函数，且 5.1 v 5.9所以，b1v 4，即2 -当0 v av 1时，y=ax在R上是减函数，且 5.1 v 5.9所以，b1> 6，即 i?.举一反三：【变式1】若logm3.5>Iogn3.5(m， n>0， 且m 1，

21、 n丰1)，试比较 m，n的大小.解：(1)当m> 1，n> 1时， 3.5> 1，由对数函数性质：当底数和真数都大于1时，对同一真数,底数大的对数值小，n> m> 1.(2) 当 m> 1，0vnv 1 时，：Togm3.5> 0，Iogn3.5v 0， 0v nv 1 vm 也是符合题意的解.(3) 当0v mv 1，0v nv 1时，t 3.5> 1，由对数函数性质，此时底数大的对数值小， 故 0v m v nv 1.综上所述，m，n的大小关系有三种：1 v mv n或0v nv 1 v m或0v mv nv 1.证明函数:上是增函数.思路

22、点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数 大小的方法.证明：设-'，且 X1< X2则_一T 0 <:.彳+ 1 <彳 +1又Ty=log2x在J,上是增函数.1惕(#+1)<1冷(才+»即 f(x” v f(X2)函数 f(x)=log 2(x2+ 1)在' tJ 上是增函数举一反三:【变式1】已知f(log ax)=瞰 2 1), y -'- (a> 0且1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设 t=logax(x R+, t R).当 a> 1 时，t=logax 为增函数

23、，若 ti< t?,则 0vxi<X2,- 1)"(诒 一 1)二 0(可一花)(可忑 +1) f(t1)-f(t2)=丁 L；帚"- 0vX1<X2,a> 1, f(t1)v f(t2),. f(t)在 R 上为增函数，当0 v av 1时，同理可得f(t)在R上为增函数.不论a> 1或0v av 1, f(x)在R上总是增函数10.求函数炖Iy= - (-x2+2x+3)的值域和单调区间炖12 2 解：设 t=-x +2x+3，贝y t=-(x-1) +4. / y= -t 为减函数，且 0v t< 4,log 4y>_=-2，

24、即函数的值域为-2 , + g .炖I再由：函数 y= _(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3 >0,即-1 vxv3.log it=-x2+2x+3在.-1, 1)上递增而在1, 3)上递减，而y= - t为减函数.logi函数y= 一(-x2+2x+3)的减区间为(-1 , 1)，增区间为1 , 3 .类型九、函数的奇偶性11.判断下列函数的奇偶性(1) -丨Hl '.(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行上亠0可得j <1解：由-二所以函数的定义域为：(-1, 1)关于原点对称1 -L T一片1 V又-I-J/W=ig所以

25、函数一. 是奇函数;总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形(2) 解:由 J1+F壮>0可得乳*所以函数的定义域为 R关于原点对称又/ (-X)= ln( Jl + X + x) = In(Jl + J + X - x)Jl+ H - X=In =-ln(A + -片)=-/W总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握即f(-x)=-f(x)；所以函数取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍

26、一切正数的条件是A>0/ (x) - ln(Jl + / r)是奇函教.类型十、对数函数性质的综合应用12 .已知函数 f(x)=lg(ax 2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； 若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围. 思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R,即关于x的不等式ax2+2x+1 >0的解集为R,这是不等式中的常规问题.2f(x)取遍一切实数，即要求u=ax +2x+1f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求解：(1)f(x)的定义域为R,即：关于x的不等式ax2+2x+1 > 0的解集为R, 当a=0时，此不等式变为 2x+1 >0,其解集不是 R;a >0*当0时，有-<0 0 a> 1. a的取值范围为a> 1.di > 0f(x)的值域为R,即u=ax2+2x+1能取遍一切正数0 a=0或L右一 一牝"° 0。三a< 1, a的取值范围为0w a< 1.13 .已知函数h(x)=2 x(x R),它的反函数记作g(x), A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a, a+4, a+8