3.2空间向量解决立体几何三角问题ppt课件

1、 空间向量解决立体几何夹角问题空间向量解决立体几何夹角问题向量的有关知识：两向量数量积的定义：两向量数量积的定义：ab=|a|b|cosa,b两向量夹角公式：两向量夹角公式：cos a,b =b ba ab ba a直线的方向向量：与直线平行的非零向量直线的方向向量：与直线平行的非零向量平面的法向量：与平面垂直的向量平面的法向量：与平面垂直的向量空间空间“夹角夹角问题问题1.异面直线所成角异面直线所成角设直线设直线, l m的方向向量分别为的方向向量分别为, a b lamlamb 若两直线若两直线 所成的角为所成的角为 , 那那么么, l m(0)2cosa ba b coscos, a b

2、 例例1090 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、 ，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点解：以点C C为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如下图，设如下图，设 那么：那么： Cxyz11CC (1,0,0),(0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：所以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AFBDAFBD A1AB1BC1C1D1F11304.

3、105342所以 与 所成角的余弦值为1BD1AF3010练习：在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM 1(0,8, 4),AD 10AMAD 1.ADAM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M二面角的平面角二面角的平面角方向向量法方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的将二面角转化为二面角的两个面的方向向量在二面角的面内且垂直于二面角的棱方向向量在二面角的面内且垂直于二面角的棱的

4、夹角。如图，设二面角的夹角。如图，设二面角 的大小为的大小为其中其中AB lCDlCDABl,CDABCDABCDAB,coscosDCLBA注意法向量的方注意法向量的方向：同进同出，向：同进同出，二面角等于法向二面角等于法向量夹角的补角；量夹角的补角；一进一出，二面一进一出，二面角等于法向量夹角等于法向量夹角角Lnm 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ，则二面角 的大小 mn，lnm,nm, 若二面角若二面角 的大小为的大小为 , 那么那么l (0)cos.u vu v 法向量法法向量法二面角的平面角二面角的平面角例例2 正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的的中点，当

5、中点，当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值。的余弦值。111CBAABC 11BCABCBCD1CADBC1B1A1)0,21,23(aaA)0 ,0(aB)0 ,41,43(aaD), 0 , 0(1bC),0(1baB 解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,那么那么 C(0,0,0)故),21,23(1baaAB), 0(1baBC11,ABBC2211102AB BCab 22ba则可设 =1， ，则B(0,1,0) a22b)0 ,41,43(D)22, 0 , 0(1CyxzCADBC1B1A1FE作作 于于E, 于于F，那么那么

6、 即为二面角即为二面角 的大小的大小1BCCE 1BCDF FDEC,CBCD1在在 中，中， 即即E分有向线段分有向线段 的比为的比为BCCRt121222211abBCCCEBECBC12112(0,)33E12(0,)33EC 由于 且 ，所以 ACBDABCCC面1DCBD1在 中，同理可求 BDCRt1)42,21,0(F)42,41,43(FDcos = FDEC ,22463341FDECFDEC即二面角 的余弦值为 CBCD122yxzCADBC1B1A1FE解法二：同法一，以解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面yoz中

7、1CC B设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 BDC1),(zyxm 同法一，可求同法一，可求 B(0,1,0)0 ,41,43(D)22, 0 , 0(1C) 0 ,43,43(DB)22,41,43(1DC可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 BCC1nyxzCADBC1B1A1由由 得得mDBmDC,113120,442CD mxyz 04343yxmDB解得解得 63,2xyz所以，可取所以，可取 )6, 3, 3(m二面角二面角 的大小等于的大小等于 CBCD1nm, cos = nm,22233nmnm即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 CBCD122 方向朝

8、面外， 方向朝面内，属于“一进一出的情况，二面角等于法向量夹角nm212)0,20(21ABn221212. 线面角线面角设设n为平面为平面 的法向量，直线的法向量，直线AB与平面与平面 所所成的角为成的角为 ，向量，向量 与与n所成的角为所成的角为 ，那么那么1AB2n而利用而利用 可求可求 ，从而再求出从而再求出 2.1nABnAB2cos2. 线面角线面角 ua ula 设直线设直线l的方向向量为的方向向量为 ，平面，平面 的法向量为的法向量为 ，且，且直线直线 与平面与平面 所成的角为所成的角为 ( ),那么那么a u l02 sina ua u 总结归纳总结归纳用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1建立立体图形与空间向量的联系，用空间向建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；问题转化为向量问题；（2通过向量运算，研究点、直线、平面之间的通过向量运算，研