离散小波变换和框架ppt课件

1、离散小波变换与框架离散小波变换 框架框架算子 对偶框架离散小波变换 许多应用中，特别是在信号处理中，数据用有限数目的值表示，所以重要的是考虑连续小波变换的离散情形。 固定两个正参数 。选取 其中m,n取遍Z,而 是固定的。记 的离散小波变换为00,bammanbbaa000, 0, 100 baZnmnbtaaatmmaanbtmnmmm,)()()(002020,000)(2RLf dtttffnmfWnmnm)()(,),)(,dtnbtatfam)()(00021框 架 框架是Duffin与Schaeffer(1952)在非调和Fourier级数的研究中引入的。 框架与基底一样仍然是表示

2、可分Hilbert空间元素的工具，不同的是框架中不要求元素的线性无关性。 定义 在Hilbert空间H中的一个序列 称为是一个框架，如果存在0A,B，使对于所有 ，有 并称数A,B是框架界。如A=B则称是紧框架。JjjHf 222|,|fBffAJjj函数用紧框架表示 在紧框架中，对于所有 ，有 用内积恒等式 推出 或至少在较弱的意义下Hf 22|,|fAfJjjiigfigfgfgfgf4|4|,2222jjjgfgfA,gfjjj,jjjfAf,1框架的例子 取 对于任一H 中的 ，有 由此得出， 是一个紧框架，由于 线性相关，所以不是一个基。留意，在这个例子 中，框架给出了(在二维空间中

3、三个向量的)”多 余比”。,2RH),21,23(),1 , 0(21ee) 21 , 23(3e),(21vvv 2221123222112322312|,|vvvvvevjj223222123|vvv,321eee321,eee1e2e3eo紧框架相关结论 假设 是Hilbert空间H的一个规范正交基。那么 是H的一个紧框架,且A=B=2而 是H的一个紧框架,且框架界为1，但它不是一个正交基。 定理 假设 是一个紧框架，而框架界为1，并且如果 对于所有 成立，那么 构成H的一个正交基。 证明 因对所有 推出f=0,所以, 张成H,下面验正正交，取 ，有 因 ，这就推出 对所有 成立1jje

4、,2211eeee,33322133322eeeeeeJjj1|jJj j0,jfjfJjjjjjJjjjjj,2222|,|,|1|j0,jjjj 框架算子 定义定义(框架算子框架算子) 是是H中一个框架，那中一个框架，那么框架算子么框架算子F是由是由H到到 的线性算子，的线性算子，Ff 的分量定义为的分量定义为 由框架定义得到由框架定义得到 ，即框架算子是有，即框架算子是有界的。界的。F的伴随算子的伴随算子 ，是这样计，是这样计算的算的:由于由于 所以，至少在较弱的意义下所以，至少在较弱的意义下 这时的伴随算子这时的伴随算子 也是有界线性算子。也是有界线性算子。Jjj|:|)(222Jjj

5、JjjcccJlJjfFfjj,)(22|fBFfHJlF)(:2JjjjfcFfcfcF,fcfcjJjjjJjj,jJjjccFF框架算子(续) 由F 定义推出 借助于F，框架条件能够再写为 (A) 其中Id 是不变算子。 记 ，则T 是HH的有界线性算子，特别是式(A)隐含T 是可逆的。由T 的定义，对任何 算子T 是HH的框架算子。FfFfFffJjj,|,|22fFfF,BIdFFAIdFFTHf JjjjfTf,框架中等价陈述 是H中一序列,下述陈述等价(0A,B0 并且并且 对于某个对于某个和某个常数和某个常数C成立，那么存在成立，那么存在 使使 对于任一对于任一 构成构成 的一

6、个框架。的一个框架。 并且，对于并且，对于 ，框架界为，框架界为0a0| )( |inf20|10mmaammaa20|1| )( |sup0mmmRCsaas)1 (00()| )( |)( |sup)()1 (|)|1 (sC0b)(2RLnm,), 0 (0 bbbb0mabA0|10inf2mabB0|10sup20,22202100)()(| )( |kkbbmkka0,22202100)()(| )(|kkbbmkka例子 假设 上述定理条件满足。 Mexic帽小波 是Gauss函数 二阶导数形成的，规范化使|=1,那么 下面给出框架界: N=1 =0.25 A=13.091 B=14.183 比=1.083 =0.75 =4.364 =4.728 =1.083 =1.50 =0.325 =4.221 =12.986 N=2 =0.25 =27.273 =27.278 =1.0002 =1.00 =6.768 =6.870 =1.0151, 0,|)|1 (| )( |C)exp()1 ()(2212ttt22te2241322)1()(tett20a0b小波框架的对偶 研究小波 的对偶， 其中 。并且对于T的逆像指数收敛一样快地收敛。由