材料力学答案

1、第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能2-1 试画图示各杆的轴力图。题2-1图解：各杆的轴力图如图2-1所示。图2-12-2试画图示各杆的轴力图，并指岀轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q°题2-2图(a) 解：由图2-2a(1)可知，轴力图如图 2-2a(2)所示，图 2-2a(b) 解：由图2-2b(2)可知，轴力图如图 2-2b(2)所示，图 2-2b2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm 2，载荷F=50kN。试求图示斜截面 m- m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。题2-3图解：该拉杆横截面上的正应力为斜截面m-m的

2、方位角 a -50，故有杆内的最大正应力与最大切应力分别为2-5某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画岀了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量E、比例极限二p、屈服极限二s、强度极限二b与伸长率，并判断该材料属于何种类型(塑性或脆性材料)°题2-5解：由题图可以近似确定所求各量。勺：220MPa ,cs : 240MPa每：440MPa ,3： 29.7%该材料属于塑性材料。2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径 d =10mm，杆长I=200mm，杆端承受轴向拉力F = 20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。题2-6图3解：c=4 20

3、 乌 豊=2.55 108Pa = 255MPaA n 0.0102m2查上述C- £曲线，知此时的轴向应变为轴向变形为拉力卸去后，有占.00364 ,厂0.00026故残留轴向变形为2-9图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F =32kN，板宽 b =100mm，板厚=15mm，孔径d =20mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。题2-9图解：根据查应力集中因数曲线，得根据(JmaxF(b-d) S得2-10 图示板件，承受轴向载荷 F作用。已知载荷F=36kN，板宽 bi=90mm， b2=60mm，板厚j. =10mm，孔径d =10mm，圆角半径R =1

4、2mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。题2-10图解：1.在圆孔处根据查圆孔应力集中因数曲线，得故有2在圆角处根据查圆角应力集中因数曲线，得故有3.结论恥乂 =117MPa （在圆孔边缘处）2-14 图示桁架，承受铅垂载荷 F作用。设各杆的横截面面积均为 A，许用应力均为1，试确定载荷F的许用值F。题2-14图解：先后以节点 C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为 根据强度条件，要求由此得2-15 图示桁架，承受载荷 F作用，已知杆的许用应力为 。若在节点B和C的位置保持不变的 条件下，试确定使结构重量最轻的值（即确定节点 A的最佳位置）。解：1.求各杆轴力设杆AB和BC的轴力

5、分别为FN1和Fn2，由节点B的平衡条件求得2. 求重量最轻的值由强度条件得结构的总体积为由得由此得使结构体积最小或重量最轻的a值为2-16 图示桁架，承受载荷 F作用，已知杆的许用应力为。若节点A和C间的指定距离为 丨，为使结构重量最轻，试确定二的最佳值。题2-16图解：1.求各杆轴力由于结构及受载左右对称，故有2.求二的最佳值由强度条件可得结构总体积为由得由此得二的最佳值为2-17 图示杆件，承受轴向载荷 F作用。已知许用应力耳=120MPa，许用切应力习=90MPa，许用 挤压应力:bs = 240MPa，试从强度方面考虑，建立杆径d、墩头直径D及其高度h间的合理比值。题2-17图解：根

6、据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为Ft =号匸（a）42 2F厂血 口卜玉（b）4F s = nlh （c）理想的情况下，在上述条件下，由式（&）与（c）以及式（*与（b），分别得于是得由此得2-18 图示摇臂，承受载荷F1与F2作用。已知载荷Ft=50kN，F2=35.4kN，许用切应力 .=100MPa，许用挤压应力Gs=240MPa。试确定轴销 B的直径d。题2-18图解：1.求轴销处的支反力由平衡方程7 Fx -0与7 Fy =0，分别得由此得轴销处的总支反力为2.确定轴销的直径由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪）由轴销的挤压强度条件 得结论：取轴销直径 d _

7、0.015m=15mm。2-19 图示木榫接头，承受轴向载荷F = 50 kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。题2-19图解：剪应力与挤压应力分别为2-20 图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力勺=160MPa，许用切应力习=120 MPa，许用挤压应力:bs = 340 MPa，载荷F = 230 kN。试校核接头的强度。题2-20图解：最大拉应力为最大挤压与剪切应力则分别为F = 45kN作用。已知木杆的kbs=10MPa，许用切应力2-21 图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷截面宽度 b =250mm，沿木纹方向的许用拉应力二=6MPa，许用挤压应力 =1M

8、Pa。试确定钢板的尺寸:.与丨以及木杆的高度 h题2-21图解：由拉伸强度条件 得h 2$b a45 1030.250 6 106m =0.030m(a)由挤压强度条件 得F2b屉345F032 0.250 10 106m = 0.009m = 9mm(b)由剪切强度条件得取沖0.009m代入式（a），得结论：取$ 9mm， l -90 mm， h 亠48mm2-22 图示接头，承受轴向载荷 F作用。已知铆钉直径 d=20mm，许用应力 =160MPa，许用切应 力.=120MPa，许用挤压应力；bs=340MPa。板件与铆钉的材料相同。试计算接头的许用载荷。题2-22图解：1.考虑板件的拉伸

9、强度 由图2-22所示之轴力图可知,2.考虑铆钉的剪切强度3 考虑铆钉的挤压强度结论：比较以上四个 F值，得2- 23 图a所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受轴向载荷F作用。已知载荷 F=6kN，带宽b=40mm，带厚=2mm，铆钉直径d= 8mm，孔的边距a=20mm，钢带材料的许用 切应力=100MPa，许用挤压应力:bs=300MPa，许用拉应力=160MPa。试校核钢带的强度。题2-23图解：1 .钢带受力分析分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。铆钉孔所受挤压力 Fb

10、等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同，钢带的受力如图b所示，挤压力则为孔表面的最大挤压应力为在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b）,切应力为钢带的轴力图如图 c所示。由图b与c可以看岀，截面1-1削弱最严重，而截面 2-2的轴力最大，因此， 应对此二截面进行拉伸强度校核。截面1-1与2-2的正应力分别为第三章轴向拉压变形3- 2 一外径 D= 60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长丨=400mm，两端承受轴向拉力F =200kN作用。若弹性模量 E = 80GPa，泊松比J =0.30。试计算该杆外径的改变量D及体积改变量 V。解：1.计算D由于故有

11、2. 计算V变形后该杆的体积为故有34 图示螺栓，拧紧时产生厶l=0.10mm的轴向变形。已知：d1 = 8.0mm， d2 = 6.8mm， d3 = 7.0mm ；11=6.0mm， b=29mm， l3=8mm ； E = 210GPa，二=500MPa。试求预紧力 F，并校核螺栓的强度。题3-4图解：1.求预紧力F各段轴力数值上均等于F，因此，由此得2.校核螺栓的强度此值虽然超过c，但超过的百分数仅为2.6 %，在5 %以内，故仍符合强度要求。3-5 图示桁架，在节点 A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为 5= 4.0X 10-4与&2= 2.0 X 1

12、0-4。已知杆1与杆2的横截面面积 A1= A2=200mm2，弹性模量E1= E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角二之值。题3-5图解：1.求各杆轴力2.确定F及B之值由节点 A的平衡方程 v Fx =0和v Fy =0得化简后，成为Fni - FN2 =2Fsin 9及(b).3 （ Fni 亠 F n2 ） = 2Fcos 9联立求解方程（a）与（b），得由此得3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷 F作用。已知板的厚度为 ：，长度为丨，左、右端的宽度分别为bi与b2，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。题3-6图解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为 形所需之力)为 k

13、，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移由图可知，若自左向右取坐标 代入式（a），于是得X，则该截面的宽度为位移3-7 图示杆件，长为l，横截面面积为 A，材料密度为 ，弹性模量为E，试求自重下杆端截面题3-7图解：自截面B向上取坐标y , y处的轴力为该处微段dy的轴向变形为于是得截面B的位移为3-8图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷f，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为 f，且f = ky 2,式中，k为常数。已知地桩的横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量。解：1.轴力分析摩擦力的合力为根据地桩的轴向平衡，由此得截面y处的轴力为2.地桩

14、缩短量计算截面y处微段dy的缩短量为积分得将式（a）代入上式，于是得题3-8图(a)3-9 图示刚性横梁 AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变题3-9图解：载荷F作用后，刚性梁 AB倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为 Fn ,其总伸长为 内。图3-9以刚性梁为研究对象，由平衡方程v Ma =0得由此得由图3-9可以看岀，可见，内(b)根据k的定义，有于是得3-10 图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点 A的水平与铅垂位移。题3-10图(a) 解：禾U用截面法，求得各杆的轴力分别为于是得各杆的变形分别为如图3 10(1)所示，根据变形

15、Ji与4确定节点B的新位置B',然后，过该点作长为 1+2的垂线，并过其 下端点作水平直线，与过 A点的铅垂线相交于 A'，此即结构变形后节点 A的新位置。于是可以看出，节点 A的水平与铅垂位移分别为图 3-10(b) 解：显然，杆1与杆2的轴力分别为于是由图3 10(2)可以看岀，节点 A的水平与铅垂位移分别为3-11 图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷 F作用。杆1与杆2的弹性模量均为 E，横截面面积 分别为A1=320mm2与A2 =2 580mm 2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，为使节点 B的铅垂位移最 小，r应取何值(即确定节点 A的最佳位置)。题3-1

16、1图解：1.求各杆轴力由图3-11a得图 3-112. 求变形和位移由图3-11b得及3. 求B的最佳值由 d4y /d B = 0 ,得由此得将A与A2的已知数据代入并化简，得解此三次方程，舍去增根，得由此得B的最佳值为3-12 图示桁架，承受载荷 F作用。设各杆的长度为 丨，横截面面积均为 A，材料的应力应变关系为 =B :，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。题3-12图解：两杆的轴力均为轴向变形则均为于是得节点C的铅垂位移为3-13 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点 C承受 集中载荷F作用。已知载荷 F = 20kN，各杆

17、的横截面面积均为 A=100mm2，弹性模量E = 200GPa，梁长l = 1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。题3-13图解：1.求各杆轴力由a Fx =0，得由7 Fy =0，得2 求各杆变形3求中点C的位移由图3-13易知，图 3-133-14 图a所示桁架，承受载荷 F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节点B与C间的相对位移B/C。题3-14图解：1.内力与变形分析禾U用截面法，求得各杆的轴力分别为于是得各杆得变形分别为2.位移分析如图b所示，过d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点 C的铅垂线相交于e与h，然后， 在de与gh延长线取线段?3与勺2,并在其端点

18、 m与n分别作垂线，得交点 C'即为节点C的新位置。可以看出，3-15 如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。题3-15图(a)解：各杆编号示如图 3-15a，各杆轴力依次为 该桁架的应变能为图 3-15依据能量守恒定律，最后得(b)解：各杆编号示如图b列表计算如下：1200345于是，依据能量守恒定律，可得3-16 图示桁架，承受载荷 F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求节点 B与C间的相对位移B/c。题3-16图解：依据题意，列表计算如下：12345由表中结果可得 依据得3-17 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用

19、。已知板的厚度为 ？，长度为丨，左、右端的宽度分别为d与b2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。题3-17图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为2 2v _dx = 0 Fn dx(a)呂 02EA(x)°2E0b(x)由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为将上式代入式(a),并考虑到FN =F ,于是得设板的轴向变形为，则根据能量守恒定律可知，或由此得3-19 图示各杆，承受集中载荷 F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均为 EA，试求支反力与最大轴力题3-19图(a) 解：杆的受力如图 3-19a(1)所示，平衡方程为 一个平衡方程，两个未知支反力，故为

20、一度静不定。图 3-19aAC，CD与DB段的轴力分别为由于杆的总长不变，故补充方程为得由此得杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为(b) 解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为 一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。图 3-19bAC与CB段的轴力分别为由于杆的总长不变，故补充方程为得由此得杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为3-20 图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力习=160MPa,许用压应力:c=110MPa，试确定各杆的横截面面积。题3-20图解：容易看岀，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短

21、，且轴向变形相同，故Fn2为拉力，Fn1为压力，且大小相同，即以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程由上述二方程，解得根据强度条件，取3-21 图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴力。题3-21图(a)解：此为一度静不定桁架。设Fn,ab以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆AB为研究对象，由送Fy= 0,得fn,bc fn,ab = F(a)后取节点A为研究对象，由Fx =0和7 Fy =0依次得到FN ,ad = fn,ag(b)及02Fn ,ad COS45 = Fn ,ab(c)在节点A处有变形协调关系(节点 A铅垂向下)虫BC -虫AB2虫

22、ADcos45(d)物理关系为将式(e)代入式(d)Ai 一 FnbcI 盲，Fn，abI内京，"ADFn ,AD ' 2lEA(e)，化简后得联解方程(a).(c)和(d)，得tf(拉),(b)解：此为一度静不定问题。Fn,bcFn,ab宁尸(压)，Fn,ad=Fn,ag导(拉)考虑小轮A的平衡，由V Fy=O，得由此得在F作用下，小轮 A沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下,42 ： 0，故有Fni的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。3-22 图示桁架，杆 1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成,许用应力分别为=40MPa，E3=200GPa。若载荷 F=160

23、kN， A1 =二2=60MPa，二3=120MPa，弹性模量分别为 Ei=160GPa，E2=100GPa，A2= 2A3，试确定各杆的横截面面积。题3-22图解：此为一度静不定结构。节点C处的受力图和变形图分别示如图3-22a和bo图 3-22由图a可得平衡方程、Fx=0, Fn1=-Fn2(a)1' Fy =0，； Fn2 Fn3 = F(b)2由图b得变形协调方程为Al2Al1cta n30-Al3(c)sin 30根据胡克定律，有将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为联解方程(a)，(b)和(c '，并代入数据，得FN1 =22.6kN (压)，FN2 =26.1

24、kN (拉)，FN3 =146.9kN (拉)根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：根据题意要求，最后取3-23 图a所示支架，由刚体 ABC并经由铰链 A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在 C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为1=100 mm, A=100 mm2，E=200GPa。设由千分表测得 C点的铅垂位移；mm，试确定载荷F与各杆轴力。题3-23图解：1.求解静不定在载荷F作用下，刚体 ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图 b所示。显然，本问题具有一度静不定。由平衡方程7 M A =0，得F N1由变形图中可以

25、看岀，变形协调条件为(b)二2训2根据胡克定律,FN1 1A11EA将上述关系式代入式（b），得补充方程为联立求解平衡方程（Al2F nz1EA(c)a）与上述补充方程，得F -4F5F与各杆轴力C'CC :AC)(图 b)，F N2=2F_ 5(d)2.由位移：y确定载荷 变形后，C点位移至 又由于 由此得将式（0与（d）的第一式代入上式，于是得 并从而得且直线AC与AB具有相同的角位移 ：，因此，C点的总位移为3-24 图示钢杆，横截面面积A=2500mm2，弹性模量 E=210GPa，轴向载荷F=200kN。试在下列两种情况下确定杆端的支反力。（a）间隙：=0.6 mm ；（b）

26、间隙：=0.3 mm。题3-24图解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为当间隙=0.6 mm时，由于二：，仅在杆C端存在支反力，其值则为当间隙=0.3 mm时，由于、下：，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。图 3-24杆的平衡方程为补充方程为由此得而C端的支反力则为3-25 图示两端固定的等截面杆 AB，杆长为丨。在非均匀加热的条件下，距 A端x处的温度增量为2 2T TbX /I ，式中的Tb为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与：X。试求杆件横截面上的应力题3-25图解：1.求温度增高引起的杆件伸长此为一度静不定问题。假如将B端约束

27、解除掉，则在X处的杆微段dx就会因温升而有一个微伸长全杆伸长为2 求约束反力设固定端的约束反力为F，杆件因F作用而引起的缩短量为由变形协调条件可得3 求杆件横截面上的应力3-26 图示桁架，杆 BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为？。如使杆端B与节点G强制地连接在起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EAo题3-26图解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号15。由强制装配容易判断，杆13受拉，杆4和5受压。装配后节点 G和C的受力图分别示如图 3-26a和b。图 3-26根据平衡条件，由图a可得FN1 = FN2 = FN3由图b可得FN4 = Fn5，Fn3 = 2F

28、n4 cos3° =、' 3Fn4变形协调关系为（参看原题图）口 cos60色垒Al3cos30(b)(c)依据胡克定律，有Ah =汕EA(i =15)(d)将式（d）代入式（c），得补充方程A如EA2Fw、3I FnI3EA EA(e)联立求解补充方程（e）、平衡方程（a）与（b），最后得 即F N,BC =Fn,GD =Fn,GE(9-2、3)EA A一 23l(拉)(压)F _F 0 3-2)EA a n,cd n,ce -23l3-27 图a所示钢螺栓，其外套一长度为 l的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为Ab与At，弹性模量分别为Eb与瓦，螺栓的螺距为 p。现将

29、螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形 忽略不计。题3-27图解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈，即旋进：=p/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。设螺栓所受拉力为 FNb，伸长为1b，套管所受压力为 FNt，缩短为It，则由图b与c可知，平衡方程为FNb - FNt = 0而变形协调方程则为利用胡克定律，得补充方程为FNblFNt l _ .(b)AbEbAtEt最后，联立求解平衡方程(a)与补充方程(b)，得螺栓与套管所受之力即预紧力为 式中，3-28 图示组合杆，由直径为 30m

30、m的钢杆套以外径为 50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两 个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40C，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为 Es = 200GPa 与 Ec=100GPa，线膨胀系数分别为 : is =12.5 X 10-6 °C -1 与''lc=l6 X 10®C-1。题3-28图解：设温度升高T时钢杆和铜管自由伸长量分别为鼻和 礼，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为或写成这里，伸长量 Als和缩短量 Alc均设为正值。引入物理关系，得将静力平衡条件 FNs = FNc = f代入上式

31、，得注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为由此得3-29 图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试在下列两种情况下，画变形图，建立补充方程。(1) 若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为；(2) 若杆1的温度升高T,材料的热膨胀系数为；。题3-29图(1)解：如图3-29(1)a所示，当杆2未与刚性杆BD连接时，下端点位于 D，即DD"八。当杆2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至 D，同时，杆1的下端点则铅垂位移至 C。过C 作直 线C'垂直于杆1的轴线，显然 丞二Al1，即代表杆1的弹性变形，同时， DD”二Al2，即代表杆2的弹 性变形。与上述变

32、形相应，杆 1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。图 3-29(1)可以看出，即变形协调条件为 而补充方程则为 或解：如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆BD连接时，由于其温度升高，下端点位于C，即，i 21幻。当杆1与刚性杆BD连接后，下端点 C铅垂位移至C ，而杆2的下端点D则铅垂位移至D 。过C 作直线C'e垂直于直线CC ,显然，eC”= Al,即代表杆1的弹性变形，同时， DD = Al2 ,代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。图 3-29(2)可以看出，故变形协调条件为而补充方程则为或

33、3- 30 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A, E与坊，试确定该桁架的许用载荷F。为了提高许用载荷之值，现将杆 3的设计长度l变为| A。试问当：为何值时许用载荷 最大，其值Fmax为何。题3-30图解：此为一度静不定问题。节点C处的受力及变形示如图3-30a和bo图 3-30由图a得平衡方程为Fn1 = Fn2，2F N1 cos30 F N3 = F由图b得变形协调条件为h = Al3cos30(b)依据胡克定律,有Ah 二巫(i =1,2,3)(c)EA将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为4,F N3F N1(b')3将方程(b')与

34、方程 联解，得由此得为了提高F值，可将杆3做长：，由图b得变形协调条件为式中，剧3与月1均为受载后的伸长，依题意，有了 后，应使三根杆同时达到 司，即由此得此时，各杆的强度均充分发挥岀来，故有第四章扭转4- 5 一受扭薄壁圆管，外径D = 42mm，内径 d = 40mm，扭力偶矩 M = 500N ?m，切变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为于是，该圆管横截面上的扭转切应力为依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为该圆管表面纵线的倾斜角为4-7 试证明，在线弹性范围内，且当Ro/10时，薄壁圆管的扭转切

35、应力公式的最大误差不超过4.53%。解：薄壁圆管的扭转切应力公式为 设&/ 83，按上述公式计算的扭转切应力为T2口2 R 8 2 n32 8 按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为极惯性矩为由此得T“”Ro 冷)=0謠步2)(2宀叭(b)/d 1/m(dx)(b)(c)(d)(e)比较式与式(b)，得当：;=$ =10 时，6可见，当Ro/ 8 10时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算T勺最大误差不超过 4.53%。4-8 图a所示受扭圆截面轴，材料的T-7曲线如图b所示，并可用I =CY1/m表示，式中的 C与m为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分

36、布图题4-8图解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到dp1 dx根据题设，轴横截面上距圆心为p处的切应力为T= C(P孚)1/mdx由静力学可知，dA二C(5)1/m p(m1)/mdA订A p 'dx'A取径向宽度为dp的环形微面积作为 dA，即dA =2 np p将式(d)代入式(c)，得 由此得(3m 1)T2 nCm(d)(3m 1)/m2将式(e)代入式(b)，并注意到T=M ，最后得扭转切应力公式为 横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。图4-84-9 在图a所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC和DEF与径向纵截面 ADFC切岀单元体

37、 ABCDEF（图b）。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。题4-9图解：单元体 ABCDEF各截面上的应力分布图如图 4-9a所示。图4-9根据图a,不难算岀截面 AOO1D上分布内力的合力为同理，得截面 OCFOj上分布内力的合力为方向示如图c。设Fxi与Fx2作用线到X轴线的距离为 ，容易求岀根据图b，可算岀单元体右端面上水平分布内力的合力为同理，左端面上的合力为方向亦示如图 c。设Fz2作用线到水平直径 DF的距离为ey （见图b），由得同理，Fz,作用线到水平直径 AC的距离也同此值。根据图b，还可算岀半个右端面 DO, E上竖向分布内力的合力为设Fy3作用线到竖向

38、半径 O,E的距离为ez2 （见图b），由得同理，可算岀另半个右端面 O,FE以及左端面 AOB、OCB上的竖向分布内力的合力为方向均示如图c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为ez。2由图c可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。上述讨论中，所有的 T在数值上均等于M。4-11 如图所示，圆轴 AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体，并在截面 A承受扭力偶矩 M作用。圆轴的直径d = 56m m，许用切应力.訂=80MPa，套管的外径 D = 80mm，壁厚

39、:二6mm，许用切应力 2=40MPa。试求扭力偶矩 M的许用值。题4-11图解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于M。1. 由圆轴AB求M的许用值由此得M的许用值为2由套管CD求M的许用值此管不是薄壁圆管。由此得M的许用值为可见，扭力偶矩 M的许用值为4-13 图示阶梯形轴，由 AB与BC两段等截面圆轴组成，并承受集度为 m的均匀分布的扭力偶矩作 用。为使轴的重量最轻，试确定 AB与BC段的长度与12以及直径di与d2。已知轴总长为丨，许用切应力为题4-13图解：1.轴的强度条件在截面A处的扭矩最大，其值为由该截面的扭转强度条件得3,6ml",nBC段上的最大扭矩在截面B处，其值为由

40、该截面的扭转强度条件得2 最轻重量设计轴的总体积为根据极值条件得由此得丨2 =(3)3/2丨： 0.46515从而得l1 =l -l2 二1 (3)3/2| ： 0.5351516mJ/3 .1/3,3j/2 16mld2 =()l2 =()3门0.775d1n5, n(b)(c)(d)该轴取式(a) (d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。4-14 一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷F = 1kN作用。设弹簧的平均直径 D = 40mm，弹簧丝的直径d = 7mm，许用切应力.=480MPa，试校核弹簧的强度。 解：由于故需考虑曲率的影响，此时，结论：max :：，该弹簧满足强

41、度要求。4-20 图示圆锥形薄壁轴 AB，两端承受扭力偶矩 M作用。设壁厚为？，横截面A与B的平均直径分 别为dA与dB，轴长为l，切变模量为 G。试证明截面 A和B间的扭转角为题4-20图证明：自左端 A向右取坐标X，轴在X处的平均半径为式中，截面X的极惯性矩为依据得截面A和B间的扭转角为4-21 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。题4-21图(a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。设A与B端的支反力偶矩分别为 M a和M b，它们的转向与扭力偶矩 M相反。由于左右对称，故知由a Mx =0可得即(b) 解：此为静不定轴，可解除右端约束，代

42、之以支反力偶矩M B，示如图4-21b图 4-21b变形协调条件为'B =0利用叠加法，得申 _ Ma _M (2a) + Mb(3a)GI p GI p GI p将式(b)代入式(a)，可得进而求得1ma= M (转向与Mb相反)3(c) 解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到M A和M B的转向与m相反。(b)(d) 解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩MB，从变形趋势不难判断，M B的转向与m相反。变形协调条件为；：B =0(c)利用叠加法，得到(x从左端向右取)；B,m'；：B,Mm(a -x),dx -MB(2a)ma2M BaGIG

43、I2GIGI(d)将式(d)代入式(c)，可得 进而求得M A的转向亦与m相反。4-22 图示轴，承受扭力偶矩Mi=400N?m与M2=600N?m作用。已知许用切应力 =40MPa，单位长度的许用扭转角扪=0.25( °/ m，切变模量 G = 80GPa。试确定轴径。题4-22图解：1.内力分析此为静不定轴，设B端支反力偶矩为 Mb，该轴的相当系统示如图4-22a图 4-22利用叠加法，得将其代入变形协调条件订=°，得该轴的扭矩图示如图 4-22b。2. 由扭转强度条件求 d由扭矩图易见，将其代入扭转强度条件，由此得3. 由扭转刚度条件求 d将最大扭矩值代入得结论：最后

44、确定该轴的直径 d _57.7mm。4-23 图示两端固定阶梯形圆轴AB，承受扭力偶矩 M作用。已知许用切应力为 勺，为使轴的重量最轻，试确定轴径 di与d2。题4-23图解：1.求解静不定设A与B端的支反力偶矩分别为 Ma与Mb，则轴的平衡方程为'Mx=0, Ma，Mb-M=O(a)AC与CB段的扭矩分别为T=MA， T2-Mb代入式(a)，得Ti -T2 - M =0(b)设AC与CB段的扭转角分别为:AC与cb，则变形协调条件为* AC CB = 0(C)利用扭转角与扭矩间的物理关系，分别有_ T1a: _ 2T2a'AC，' CB -GI p1GI p2代入式(

45、c)，得补充方程为2 虫 T2 =0(d)W2丿最后，联立求解平衡方程(b)与补充方程(d)，得42d；Md； 2d：d；Md2 2d：(e)2.最轻重量设计从强度方面考虑，要使轴的重量最轻，应使 作用时，最大扭转切应力均等于许用切应力，即要求 由此得AC与CB段的最大扭转切应力的数值相等，且当扭力偶矩8M将式(e)代入上式，得 并从而得T2根据圆轴扭转强度条件，于是得轴的直径为4-24 图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷F作用。已知载荷 F=750N，轴1和轴2的直径分别为di=i2mm和d2=15mm，轴长均为l=500mm，摇臂长度 a =300mm，切变模量 G = 80GPa，试求

46、轴端的扭转 角。题4-24图解：这是一度静不定问题。变形协调条件为A A 或1=2(a)这里，：和：分别为刚性摇臂 1和2在接触点处的竖向位移。设二摇臂间的接触力为 F2，则轴1和2承受的扭矩分别为J 二F(F?a，T2 二F?a(b)物理关系为GIP1:-T2l2 _Glp2(c)将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得 由此得4-26 如图所示，圆轴 AB与套管CD借刚性突缘E焊接成一体，并在突缘 E承受扭力偶矩 M作用。圆轴的直径 d=38mm，许用切应力“ =80MPa，切变模量 Gt=80GPa;套管的外径 D = 76mm，壁厚= 6mm,许用切应力2= 40MPa，切变模量

47、G2 = 40GPa。试求扭力偶矩 M的许用值。题4-26图解：1.解静不定此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为T2 = M厂2(b)物理关系为: -T1l11T2l22 (c)Gl RG2IP2将式(c)代入式(b)，并注意到G1 I p1l2G2 I p2ll“D4(2T24L28厂 T2=0.1676T233 764(1 0.84214)(d)将方程与（d）联解，得2由圆轴的强度条件定M的许用值由此得扭力偶据的许用值为3.由套管的强度条件定M的许用值由此得扭力偶据的许用值为结论：扭力偶矩的许用值为4-27 图示组合轴，由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体，并承受扭力偶

48、矩M=100N -m作用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为:s=80MPa与:c=20MPa，切变模量分别为Gs=80GPa与Gc=40GPa，试校核组合轴强度。题4-27图解：1.求解静不定如图b所示，在钢轴与刚性平板交接处（即横截面B），假想地将组合轴切开，并设钢轴与铜管的扭矩分别为Ts与Tc，则由平衡方程 工M x =0可知，Ts 二两个未知扭力矩，一个平衡方程，故为一度静不定问题。在横截面B处，钢轴与铜管的角位移相同，即(b)(c)(d)S 二 c设轴段AB的长度为丨，则将上述关系式代入式（b），并注意到 Gs/Gc=2，得补充方程为Ts _（M -2Tc） I psI pc联

49、立求解平衡方程（a）与补充方程（c），于是得IpsMTspcps2 强度校核将相关数据代入式（d），得对于钢轴，对于铜管，4-28 将截面尺寸分别为 ©100mm x 90mm与0 90mm x 80mm的两钢管相套合，并在内管两端施加 扭力偶矩M°=2kN m后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力偶矩M0后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。解：1.求解静不定此为静不定问题。在内管两端施加M0后，产生的扭转角为Mol Gl pi去掉Mo后，有静力学关系Ti =Te几何关系为0物理关系为.二卫,爲二旦Gl piGl pe将式(d)和式代入式(c)，得或写成由此得Te=(M

50、o -Ti)=1.395(Mo -T) I pi联立求解方程(e)与(b)，得2.计算最大扭转切应力内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为(b)(c)(d)(e)4-29 图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在直径为100mm的圆周上，突缘的厚度为 =10mm，轴所承受的扭力偶矩为M = 5.0kN m,螺栓的许用切应力=100MPa，许用挤压应力bs=300MPa。试确定螺栓的直径d。题4-29图解：1.求每个螺栓所受的剪力 由得2.由螺栓的剪切强度条件求由此得3.由螺栓的挤压强度条件求 由此得结论：最后确定螺栓的直径d -14.57mm。栓则均匀排列在直径为

51、上的切应力。D2的圆周上。设扭力偶矩为M，各螺栓的材料相同、直径均为d，试计算螺栓剪切面题4-30图4-30 图示二轴，用突缘与螺栓相连接，其中六个螺栓均匀排列在直径为D1的圆周上，另外四个螺解：突缘刚度远大于螺栓刚度，因而可将突缘视为刚体。于是可以认为：螺栓i剪切面上的平均切应变 ：i与该截面的形心至旋转中心O的距离ri成正比，即式中，k为比例常数。利用剪切胡克定律，得螺栓i剪切面上的切应力为而剪力则为最后，根据平衡方程得于是得外圈与内圈螺栓剪切面上得切应力分别为4-31 图a所示托架，承受铅垂载荷F=9kN作用。铆钉材料均相同，许用切应力门=140MPa，直径均为d=10mm。试校核铆钉的

52、剪切强度。题4-31图解：由于铆钉均匀排列，而且直径相同，所以，铆钉群剪切面的形心C，位于铆钉2与铆钉3间的中点处（图b）。将载荷平移至形心 C，得集中力F与矩为Fl的附加力偶。在通过形心C的集中力F作用下，各铆钉剪切面上的切应力相等，其值均为在附加力偶作用下，铆钉1与4剪切面上的切应力最大，其值均为Ip由图中可以看岀，33n = r4 = 60 10 m， b = r3 = 20 10 m所以，代入式（a），得将上述两种切应力叠加，即得铆钉1与4的总切应力即最大切应力为4-34 图示半椭圆形闭口薄壁杆，a=200mm， b=160mm， §1 =3mm， 62 = 4mm， T=6 kN m，试求最大扭转切应力。题4-34图解：截面中心线所围面积为由此得于是得最大扭转切应力为4-35 一 -长度为丨的薄壁管，两端承受矩为 M的扭力偶作用