高数第一讲函数及函数的极限ppt课件

1、引引 言言一、什么是高等数学一、什么是高等数学 ?初等数学 研究对象为常量, 以静止观点研究问题.高等数学 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生. 恩格斯恩格斯笛卡儿 目录 上页 下页 返回 完毕 1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分(上册)(下册)3. 向量代数与空间解析几何4. 无穷级数5. 常微分方程主要内容主要内容多元微积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、如何学习高

2、等数学二、如何学习高等数学 ?1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.2. 学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学习 , 天才在于积累天才在于积累 .学而优则用学而优则用 , 学而优则创学而优则创 .由薄到厚由薄到厚 , 由厚到薄由厚到薄 .马克思马克思 恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然 ,就必须熟悉数学.一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步 .第一节 目录 上页 下页 返回 完毕 华罗庚华罗庚给出了几何问题的统一笛卡儿笛卡儿 (15961650)法国哲学家, 数学家, 物理学家, 他 是解析几何奠基人之一 . 1637年他发表的论文分析了几何学

3、与 代数学的优缺点, 进而提出了 “ 另外 一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”, 从而提出了解析几何学的主要思想和方法, 恩格斯把它称为数学中的转折点.把几何问题化成代数问题 ,作图法,华罗庚华罗庚(19101985)我国在国际上享有盛誉的数学家.他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献 ,发表专著与学术论文近 300 篇.偏微分方多复变函数论,矩阵几何学, 典型群,他对青年学生的成长非常关心, 他提出治学之道是 “ 宽, 专, 漫 ”, 即基础要宽, 专业要专, 要使自己的专业知识漫到其它领域. 1984年来中国矿业大学视察时给给师生题词:

4、“ 学而优则用, 学而优则创 ”.第一讲分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数及函数的极限 第一讲 一、邻域一、邻域第一节机动 目录 上页 下页 返回 完毕 函数二、函数二、函数三、复合函数三、复合函数四、初等函数四、初等函数一、邻域一、邻域 (其中其中 为大于为大于 0 的常的常数数)的一切的一切 x，称为点，称为点 x0 的的d 邻域，记作邻域，记作 U( x0 , d ). 0 xx满足不等式满足不等式它的几何意义是：以它的几何意义是：以 x0 为中心，为中心，d 为半径的为半径的开区间开区间 (x0 - d , x0 + d) ，即，即 x0

5、- d x x0 + d ，如图如图 (a)所示所示 .对于不等式对于不等式 0 | x - x0 | 0,1当 x = 0,0当 x 0,1xyo11取整函数xy 当Znnxn,1,nxyo134212机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第一讲 二二 、函数的极限、函数的极限 一、数列的极限一、数列的极限第二节第二节机动 目录 上页 下页 返回 完毕 极限的概念极限的概念r一一 、数列的极限、数列的极限引例引例. 设有半径为 r 的圆 ,nA逼近圆面积 S .n如下图 , 可知nAnnnrcossin2),5,4,3(n当 n 无限增大时, nA无限逼近 S (刘徽割圆术) , 用其内接正

6、n 边形的面积刘徽 目录 上页 下页 返回 完毕 定义定义: :按自然数顺序排列的一串数称为数列,记作)(nfxn或.nxnx称为通项(一般项) .若数列nx及常数 a 有下列关系 : n 无限增大时,它的一般项记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :aaa)(axnnlim或)(naxn1Nx2Nxnx则称该数列nx的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定义定义: :如果数列的项数如果数列的项数无限趋近于某个确定的常数 a ,例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2n

7、nnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散机动 目录 上页 下页 返回 完毕 常见的数列极限：常见的数列极限：.limCCn)001lim（nn机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )1(q0lim1nnq 1.并非任何数列都有极限值3. 数列无限趋近于极限值的方式是多种多样的 axnnx2. a但不一定取到极限值4.若不存在的原因是: 当时,无限增大.nnx的极限为无穷大,记为nx为方便此时也称.limnnx说明说明:1. 夹逼准则夹逼准则 (准则准则1) azynnnnlimlim)2(),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim 机动 目录 上页

8、 下页 返回 完毕 极限存在准则极限存在准则夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .2. 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( 准则准则2 )Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 证明略 )ab机动 目录 上页 下页 返回 完毕 11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx

9、!21!31!1n又比较可知机动 目录 上页 下页 返回 完毕 刘徽刘徽(约约225 295年年)我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的对中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细割之弥细 , 所失弥小所失弥小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确的重要极限思想 . 的方法 :一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限二、函数的极限二、函数的极限 x)4(0)

10、1(xx 0)2(xx0)3(xxx)5(x)6(, )(xfy 对自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :机动 目录 上页 下页 返回 完毕 引例引例: 考察考察x011xx无限减小，即xy1注注:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .10接近的图像在水平方向无限与直线xyyoxyxy1)(x记为一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限时,函数的变化趋势.有右图可知：时，xx（记为）XXAAoxy)(xfy A,x定义定义1. 设函数设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,假设Axfx)(lim)(

11、)(xAxf当或几何解释几何解释:直线 y = A 为曲线)(xfy 的水平渐近线时的极限, 记作x机动 目录 上页 下页 返回 完毕 则称常数 A 为函数当自变量的绝对值无限增大时,即则相应的函数值无限趋近于常数 A, 当)(xfx1x11oyx两种特殊情况两种特殊情况 :直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .几何意义几何意义 :xxgxxf11)(,1)(例如，都有水平渐近线;0y都有水平渐近线. 1yxxxgxf21)(,21)(又如，oxyx21x21机动 目录 上页 下页 返回 完毕 Axfx)(lim当当 x 无限变大时无限变大时, f ( x ) 趋向于趋向

12、于 A Axfx)(lim当当 -x 无限变大时无限变大时, f ( x ) 趋向于趋向于 A例如例如;02lim ;01lim xxxx;011lim1lim2 xxxxxx. arctanlim,2arctanlim,2arctanlim不不存存在在所所以以xxxxxx Axfx)(limAxfxfxx)(lim)(lim定理定理: :二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限)(0 xx x1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义112xxy机动 目录 上页 下页 返回 完毕 引例引例: : 考察考察时时,函数函数的变化趋势的变化趋势.显然，当显然，当 x1

13、时时,函函数数1112xxxy趋向于趋向于4.定义定义2 . 设函数设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,数 A,则称常数 A 为函数)(xf当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当记作几何解释几何解释:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 极限存在函数局部有界这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 如果当 x 无限接近于 x0 时,相应的函数值无限逼近于 常2. 左极限与右极限左极限与右极限左极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0右极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0定理定理 ：Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(l

14、im00( P38 题8 )机动 目录 上页 下页 返回 完毕 当当 x 从从x0左侧无限趋近于左侧无限趋近于x0时时, f ( x ) 趋向于趋向于 A 当当 x 从从x0的右侧无限趋近于的右侧无限趋近于x0时时, f ( x ) 趋向于趋向于 A 例例5. 设函数设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理利用定理 3 .因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕

15、第一讲 二、二、 无穷大无穷大 三三 、无穷小与无穷大的关系、无穷小与无穷大的关系 一、一、 无穷小无穷小 第三节机动 目录 上页 下页 返回 完毕 无穷小与无穷大四、无穷小的比较四、无穷小的比较当一、一、 无穷小无穷小定义定义1 . 假设假设0 xx 时 , 函数,0)(xf则称函数)(xf0 xx 例如 :,0)1(lim1xx函数 1x当1x时为无穷小;,01limxx函数 x1x时为无穷小;,011limxx函数 x11当x)x(或为时的无穷小 .时为无穷小.)x(或机动 目录 上页 下页 返回 完毕 说明说明: 除除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小以外任何很小的常数都不是无穷小

16、! 0 xx 时时 , 函数函数,0)(xf(或 )x则称函数则称函数)(xf为为0 xx 定义定义1. 假设假设(或 )x那么那么时的无穷小时的无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 称某个变量是无穷小量时称某个变量是无穷小量时,必须指明自变量必须指明自变量的变化过程的变化过程.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理 1. 有限个无穷小有限个无穷小(当当 x x0 或或 x 时时)的代数和仍然是无穷小量的代数和仍然是无穷小量 .定理定理 3. 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.定理定理 2. 有限个无穷小有限个无穷小(当当 x x0 或或 x

17、时时)之积为无穷小量之积为无穷小量 .无穷小的性质无穷小的性质推论推论 常数与无穷小量之积为无穷小量常数与无穷小量之积为无穷小量 .oyx例例1. 求求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxxxxysin说明说明 : y = 0 是是xxysin的渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、二、 无穷大无穷大定义定义2 .若函数若函数 y = f ( x ) 的绝对值的绝对值 | f ( x )| 在在 x 的某种的某种趋向下无限增大，趋向下无限增大， 则称函数则称函数)(xf当当0 xx 时为无穷大,.)(lim0 xfxx)(lim

18、)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(x)(lim(xfx记作机动 目录 上页 下页 返回 完毕 若在若在 x 的某种趋向下，的某种趋向下，f ( x ) 恒正地无限变大恒正地无限变大,或者或者恒负，但绝对值无限变大，则记为恒负，但绝对值无限变大，则记为注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如例如, 函数函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当n2但0)(2nf所以x时 ,)(xf不是无穷大 !oxyxxycos机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3. 称某个变量是无穷大量时,也必须指明自变量

19、的变化过程.例例 . 因为因为11lim1xx所以11xy假设 ,)(lim0 xfxx则直线0 xx 为曲线)(xfy 的铅直渐近线 .渐近线1说明说明:xyo机动 目录 上页 下页 返回 完毕 函数 11x是当1x时的无穷大量;.111限接近的图像在垂直方向上无与直线xyx定义定义:三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系假设)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小 ;假设)(xf为无穷小, 且,0)(xf那么)(1xf为无穷大.那么(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理4. 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,说明说明:机动 目录 上页

20、 下页 返回 完毕 20sinlimxxx,xxx3lim20,0 xxx3sinlim0,31,0时xxxxsin,32都是无穷小,引例引例 .但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 四、无穷小的比较四、无穷小的比较,0limCkb定义定义.,0limb假设则称 是比 高阶的无穷小,)(bo,limb假设假设假设, 1limb假设bb,0limCb或b,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶的无穷小;则称 是 的同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶无穷小;则称 是 的等价无穷小,记作机动 目录 上页 下页 返回 完毕 0 x时,xarc

21、sinx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 x sin x， x tan x，arctan x x.11nxxn1xcos1,221xex - 1 x， ln(1 + x) x.常见的等价无穷小公式常见的等价无穷小公式定理定理1 . 设设,bb且blim存在 , 那么blimb lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (等价无穷小替换原理)231x221x例例1. 求求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当 x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32机动 目录 上页 下页 返回 完毕

22、.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx21机动 目录 上页 下页 返回 完毕 32210limxxxx例例2. 求求解解: 原式 第一讲 一、一、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二、二、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 第四节机动 目录 上页 下页 返回 完毕 极限运算法则一、一、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 1 . 假假设设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 说明说明: 定理定理 1 可推广到有限个函数相

23、加、减、积的情可推广到有限个函数相加、减、积的情形形 定理定理 2 . 假假设设,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )例例1. 设设 n 次多项式次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx证证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPn机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (详见详见P44)B2bB1)(1xg)(0 xx定理定理

24、3 . 假设假设,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理4. 假设假设,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBA提示提示: 因为数列是一种特殊的函数因为数列是一种特殊的函数 ,故定理 4可得 x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx例例2. 设有分式函数设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多项式 ,0)(0 xQ试证: . )()(lim00 xRxRx

25、x证证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明: 假设假设,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则 .例例3.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 假设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. 求求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例5 . 求求.125934lim22xxxxx解解: x时,分子.22111125934lim

26、xxxxx分子分母同除以,2x那么54分母“ 抓大头抓大头”原式机动 目录 上页 下页 返回 完毕 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 mn 当mn 当二、二、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理5. 设设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim机动 目录 上页 下页 返回 完毕 说明说明: 1. 若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得

27、)(lim0 xfxxAufu)(lim2. 由此定理知复合函数的最外一层运算与极限运算可交换次序例例6. 求求解解: 令令.93lim23xxx932xxu知ux3lim61 原式 =uu61lim6166机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例87. 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 那么, 1lim1ux令11112uuxx1u 原式原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 分母不为 0 )000)2xx 时, 对型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量机动 目录 上页 下页 返回 完毕