弹性力学-04平面问题的极坐标解答ppt课件

1、要点：要点：（1极坐标中平面问题的基本方程：极坐标中平面问题的基本方程： 平衡微分方程、几何方程、物理平衡微分方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件方程、相容方程、边界条件（2极坐标中平面问题的求解方法及应极坐标中平面问题的求解方法及应用用应用：应用： 圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。平面体等的应力与变形分析。4-1 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程4-2 4-2 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程4-3 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程4-4 4-

2、4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式4-5 4-5 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移4-6 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力4-7 4-7 压力隧洞压力隧洞4-8 4-8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中4-9 4-9 半平面体在边界上受法向集中力半平面体在边界上受法向集中力4-10 4-10 半平面体在边界上受法向分布力半平面体在边界上受法向分布力 4-1 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程1. 极坐标中的微元体极坐标中的微元体xyOdrdrPABCrrrfrfddrr)( rddrrrrdrrrrddrrd体力：体力：,rff应力：

3、应力：PA 面rr,PB 面r,BC 面drrrrdrrrrdrrAC 面应力符号规定：应力符号规定：正应力正应力 拉为正，压为负；拉为正，压为负；剪应力剪应力 r、的正面上，与坐标方向一致时的正面上，与坐标方向一致时为正；为正；r、的负面上，与坐标方向相反时为正。xyOdrdrPABCrrrfrfddrr)( rddrrrrdrrrrdrrd2. 平衡微分方程平衡微分方程考虑微元体平衡取厚度为考虑微元体平衡取厚度为1）：）：, 0rFrdr()()rrdr rdr drsin2ddrsin2dddr0rf rddrrd drrdrdrrrrddrdrddrrr22ddr2ddrd 2ddr0

4、rf rd dr将上式化开：将上式化开：（高阶小量，舍去）（高阶小量，舍去）cos2rddr()cos2rrdddrrdrrd drrrdrdrdrdrdrd0rf rd drxyOdrdrPABCrrrfrfddrr)( rddrrrrdrrrrdrrd1rrrrrr0rf两边同除以两边同除以 ：rdrd, 0Fdrdrdrdrddrrdrrrr)( 2rrdddr2rddr0f rdrd两边同除以两边同除以 ，并略去高阶小量：，并略去高阶小量：rdrd10rrrfrrrxyOdrdrPABCrrrfrfddrr)( rddrrrrdrrrrdrrd, 0M2rddrr2drrdr2)(dr

5、ddrrdrrrr22drddr022drdddr2rddrdrrrddrrdrddrr2drrdr22rddr22ddrrrrddrrr23304drdr 剪应力互等定理剪应力互等定理rrrddrrdrddrr2drrdr22rddr22ddrrrrddrrr23304drdr两边同除以两边同除以rdrd224rrdd21222rrrrdrdrdrrrr r当当 dr, dq 0 时，有时，有于是，极坐标下的平衡微分方程为：于是，极坐标下的平衡微分方程为：rr1rrrr0rf210rrfrrr（41）方程方程41中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定问题，中包含三个未知量，而只有二个

6、方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。需考虑变形协调条件才能求解。xyOdrdrPABCrrrfrfddrr)( rddrrrrdrrrrdrrd4-2 4-2 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程1. 几何方程几何方程dxyOrPPABdrruAB1drruurrdurr)( duurr(1) 只有径向位移，无环向位移。只有径向位移，无环向位移。径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：PAPAAPPAPPAAdrudrruurrrrur1r（a）径向线段径向线段PA的转角：的转角：01（b）线段线段PB的相对伸长：的相对伸长：PBPBBPrdrddurr

7、)(rur（c）1环向线段环向线段PB的转角：的转角：PBPPBBrduduurrr)(rur111tan（d）dxyOrPBPABdrAru1drruurrdurr)( duurr径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：rur1r（a）径向线段径向线段PA的转角：的转角：01（b）环向线段环向线段PB的相对伸长：的相对伸长：（c）rur1环向线段环向线段PB的转角：的转角：rur11（d）剪应变为：剪应变为：111rrur1（e）dyxOrPBdrAP A B uduudrruu(2) 只有环向位移，无径向位移。只有环向位移，无径向位移。径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：PAP

8、AAP 0drdrdr2r（f）径向线段径向线段PA的转角：的转角：2drudrruu2（g）环向线段环向线段PB的相对伸长：的相对伸长：PBPBBP PBPPBB rduduuur12环向线段环向线段PB的转角：的转角：ru（h）2ru2（i）剪应变为：剪应变为：222rruru（j）径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：02r（f）径向线段径向线段PA的转角：的转角：ru2（g）环向线段环向线段PB的相对伸长：的相对伸长：（h）ur12环向线段环向线段PB的转角：的转角：ru2（i）剪应变为：剪应变为：222rruru（j）dyxOrPBdrAP A B uduudrruu22(3)

9、 总应变总应变21rrr0rurrur21urrur121rrrruruurr1整理得：整理得：rurrurrur1ruruurrr1（42）2. 物理方程物理方程平面应力情形：平面应力情形：)(1rrE)(1rErrrEG)1 (21平面应变情形：平面应变情形：)1(12rrErrrEG)1 (21)1(12rE（43）（44）由于极坐标与直角坐标均为正交坐标，故物理方程具有同样形式：由于极坐标与直角坐标均为正交坐标，故物理方程具有同样形式：位移边界条件：位移边界条件： ,rsruuuus应力边界条件：应力边界条件：rrrsslmfrssmlfuur,为边界上已知的位移分量。为边界上已知的位

10、移分量。,rff为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。3.边界条件边界条件特别地，对特别地，对r =常数的边界，应力边界条件简化为：常数的边界，应力边界条件简化为：对对q =常数的边界，应力边界条件简化为：常数的边界，应力边界条件简化为：rnrp常数rtrp常数np常数rtp常数cos(, )lN rcos(, )mN0arr0arr0brr0brr00badr00bradrMrdrba0rrlr000r00r 0qlr/20ru /20u 000r000rr00180r18000rrrra0cossin0rrr ar aad0sincos0rrr ar aad00rr aa adM

11、0 xF0yF0OM取半径为取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：的半圆分析，由其平衡得：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：平衡微分方程：（41）rr1rrrr0rf210rrfrrr几何方程：几何方程：rurrurrur1ruruurrr1（42）物理方程：物理方程：)(1rrE)(1rErrrEG)1 (21（43）(平面应力情形平面应力情形)边界条件：边界条件：位移边界条件：位移边界条件： ,rsruuuus应力边界条件：应力边界条件：rrrsslmfrssmlf(1) 用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量22cossin2

12、sincosrxyxy22sincos2sincosxyxy22()sincos(cossin)ryxxy（48）rOyxr r rxxyyyxxxyyyx4-4 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式(2) 用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量22cossin2sincosxrr22sincos2sincosyrr22()sincos(cossin)xyrr（49）rOyxrr rr rrxxyyyx4-3 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程1. 直角坐标下应力分量与变形协调方程相容方程）直角坐标下应力分量与变形协调方程相容方程）无体力情形下：

13、无体力情形下：22xy 22yx 2xyx y 应力分量式：应力分量式：应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程4444422420 xxyy （1极坐标下应力分量极坐标下应力分量 与应力函数与应力函数 的关系；的关系；,rr ( , )r（2极坐标下应力函数极坐标下应力函数 表示的相容方程的形式。表示的相容方程的形式。( , )r本节要点：本节要点：xyOrPxy（1极坐标与直角坐标间的关系：极坐标与直角坐标间的关系：222yxrxyarctancosrx sinry cosrxxrsinryyrrryxsin2rrxycos2（2应力分量的坐标变换：应力分量的坐标变换：rxrxx si

14、ncosrrsincosrrryryy cossinrrcossinrr( , )r xy2. 极坐标下的应力分量与变形协调方程相容方程）极坐标下的应力分量与变形协调方程相容方程）22sinsincoscosxrrrr 222222211cossinrrrr 22112sincosrrr 22coscossinsinyrrrr 222222211sincosrrrr 22112sincosrrr (a)(b)xxyyyx2sincoscossinx yrrrr 2222211sincosrrrr 222211(cossin)rrr (c)再由应力分量的坐标变换式：再由应力分量的坐标变换式：xy

15、22cossin2sincosxrr22sincos2sincosyrr22()sincos(cossin)xyrrxy22r 22211rrrr 2211rrrr 1rr 比较以上两组表达式后，立即可得：比较以上两组表达式后，立即可得：22r 22211rrrr 1rrr （45）可以证明：式可以证明：式45满足体力为零时的平衡微分方程满足体力为零时的平衡微分方程41）。）。（3相容方程的坐标变换：相容方程的坐标变换：极坐标下应力分量极坐标下应力分量 与应力函数与应力函数 的关系：的关系：,rr ( , )r22222yx 直角坐标下直角坐标下Laplace 算子算子在极坐标下在极坐标下La

16、place 算子的形式？算子的形式？22222222211cossinxrrrr 22112sincosrrr 22222222211sincosyrrrr 22112sincosrrr (a)(b)将式将式(a)与与(b)相加，得相加，得2222xy 2222211rrrr 2222xy 2222211rrrr2 （3相容方程的坐标变换：相容方程的坐标变换：得到极坐标下的得到极坐标下的 Laplace 微分算子：微分算子：22222211rrrr极坐标下的相容方程为：极坐标下的相容方程为：22222222222211110rrrrrrrr 222422222110rrrr （46）方程方程4

17、6为体力为零情形的相容方程。为体力为零情形的相容方程。弹性力学平面问题的极坐标求解归结为弹性力学平面问题的极坐标求解归结为:小结：小结：（1） 由问题的条件求出满足式由问题的条件求出满足式46的应力函数的应力函数( , )r2224222110rrrr （46）（2） 由式由式45求出相应的应力分量求出相应的应力分量rr,22r 22211rrrr 1rrr （45）（3） 使上述应力分量使上述应力分量rr,满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件： ,rsruuuus应力边界条件：应力边界条件：rrrsslmfrssmlf对多连体，有时须考虑位移单值条件。对多连体，

18、有时须考虑位移单值条件。（4）轴对称应力问题：轴对称应力问题：( ) r qO0,;22r 22211rrrr 1rrr (45)222222110rrrr （46）由式由式45和和46得应力分量和相容方程为：得应力分量和相容方程为：22ddr1rdr dr0r（410）应力分量：应力分量：相容方程：相容方程：22210dddrr dr 1 dd1 dd0ddddrrrrr rrr 四阶变系数的常微分方程四阶变系数的常微分方程4-5 4-5 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移22lnlnArBrrCrD （411） 轴对称应力问题的应力函数，其中轴对称应力问题的应力函数，其中: A、

19、B、C、D 为待定常数。为待定常数。1、应力分量、应力分量22ddr1rdr dr0r将方程将方程4-11代入应力分量表达式代入应力分量表达式CrBrAr2)ln21 (2CrBrA2)ln23(20rr（412）轴对称应力的表达式轴对称应力的表达式1 dd1 dd0ddddrrrrr rrr 对上式积分四次，得对上式积分四次，得:2. 位移分量位移分量),(uur对于平面应力问题，有物理方程对于平面应力问题，有物理方程)(1rrE21(1)(1 3 )2(1)ln2(1)ABBrCErrur)(1rECrBBrAE)1 (2ln)1 (2)3()1 (12ruurr11ruuurrr（a）积

20、分式积分式a中第一式，有中第一式，有2(1)rrE0故应力轴对称时，形变也是轴对称的。故应力轴对称时，形变也是轴对称的。1(1)(1 3 )2(1)(ln1)rAuBrBrrEr)()1 (2fCr （b） 为待定函数为待定函数)(f将式将式b代入式代入式a中第二式，得中第二式，得ruCrBBrAEru)1 (2ln)1 (2)3()1 (2)(4fEBr将上式积分，得将上式积分，得:)()(41rfdfEBru（c） 为待定函数为待定函数)(1rf将式将式b）（）（c代入式代入式a中第三式，得中第三式，得01ruruurrr0)()(1)()(111rrfdfrdrrdfddfr或写成：或写

21、成：11( )( )( )( )df rdffdf rrddr要使该式成立，两边要使该式成立，两边须为同一常数。须为同一常数。（4-13）Fdrrdfrrf)()(11Fdfddf)()(（d）（e）式中式中F 为常数。由式为常数。由式d有：有：FHrrf)(1（f）对式对式e两边求导两边求导0)()(22fdfd其解为：其解为：sincos)(KIf（g）( )( )sincosdffdFFIKd（h）将式将式f） （g） （h代入式代入式b） （c），最后得），最后得BrrBrrAEur)31 () 1(ln)1 (2)1 (1)()1 (2fCr （b）)()(41rfdfEBru（c）

22、cossin4KIHrEBrusincos)1 (2KICrBrrBrrAEur)31 () 1(ln)1 (2)1 (1其中其中 H 为常数。为常数。应力轴对称问题小结：应力轴对称问题小结：22lnlnArBrrCrD （411）（1）应力函数应力函数（2）应力分量应力分量CrBrAr2)ln21 (2CrBrA2)ln23(20rr（412）（3）位移分量平面应力）位移分量平面应力）cossin4KIHrEBru（4-13）sincos)1 (2KICrBrrBrrAEur)31 () 1(ln)1 (2)1 (1式中：式中：A、B、C 由应力边界条件、位移单值条件确定，由应力边界条件、位

23、移单值条件确定，H、I、K 由位移边界由位移边界 条件确定条件确定( H、I、K 项为刚体位移项为刚体位移 )。 若物体的几何形状、受力、位移约束都是轴对称的，则称为轴对称若物体的几何形状、受力、位移约束都是轴对称的，则称为轴对称问题。这时，物体内的应力、位移都是轴对称的。问题。这时，物体内的应力、位移都是轴对称的。（3）位移分量平面应力）位移分量平面应力）cossin4KIHrEBru（4-13）sincos)1 (2KICrBrrBrrAEur)31 () 1(ln)1 (2)1 (1由式由式4-13可以看出：可以看出：应力轴对称时位移不一定是轴对称的。应力轴对称时位移不一定是轴对称的。

24、仅当仅当0KIHB这时由式这时由式4-13知轴对称位移为：知轴对称位移为：0uCrrAEur)1 (2)1 (14-13a）轴对称位移的特征为：轴对称位移的特征为：( )rruu r0u时，位移才轴对称。时，位移才轴对称。4-6 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力1. 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力知：知：baqqba,求：应力分布。求：应力分布。轴对称应力分量的表达式：轴对称应力分量的表达式：CrBrAr2)ln21 (2CrBrA2)ln23(20rr（412）边界条件：边界条件：0arr0brr（a）将式将式4-12代入，有：代入，有：aqCaBaA2)ln21

25、(2bqCbBbA2)ln21 (2（b）aarrqbbrrqaqCaBaA2)ln21 (2bqCbBbA2)ln21 (2（b）式中有三个未知常数，二个方程不能确定。式中有三个未知常数，二个方程不能确定。对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。sincos)1 (2KICrBrrBrrAEur)31 () 1(ln)1 (2)1 (1cossin4KIHrEBru位移多值项位移多值项要使位移单值，须有：要使位移单值，须有：B = 0 ，代入式，代入式b），解得），解得),(2222abqqabbaA2222)(2abbqaqCba将其代回应力分量式将

26、其代回应力分量式4-12），有：），有：barqbaraqabrb222222221111baqbaraqabrb222222221111（4-14）（1假设：假设：0, 0abqqarqabrb112222aqabrb112222)0(（压应力）（压应力）)0(（拉应力）（拉应力）r讨论：讨论：r特别地，假设特别地，假设b 具有圆形孔道的无限大弹性体。具有圆形孔道的无限大弹性体。arqabrb112222aqabrb112222arqra22aqra22rr应力状态：应力状态：r（2假设：假设：0, 0abqqbrqbara222211bqbara222211)0()0(（压应力）（压应力）

27、（压应力）（压应力）,E,E问题：问题：厚壁圆筒埋在无限大弹性体内厚壁圆筒埋在无限大弹性体内 ，受内压，受内压 q 作用，求圆筒的应力。作用，求圆筒的应力。1. 分析：分析：与以前相比较，相当于两个轴对称问题：与以前相比较，相当于两个轴对称问题：(a) 受内压 q、外压 p 作用的厚壁圆筒；(b) 仅受内压 p 作用的无限大弹性体。确定压力确定压力 p 的条件为，在接触面的条件为，在接触面 r=b 上有：上有：径向位移连续：径向位移连续：brrbrruu径向应力连续：径向应力连续：brrbrr,E,E2. 求解求解4-7 4-7 压力隧洞压力隧洞注意：本例为平面应变问题。注意：本例为平面应变问

28、题。,E,E,E,E2. 求解求解(1) 圆筒的应力与边界条件圆筒的应力与边界条件CrAr22CrA22应力：应力：（a）边界条件：边界条件：qarrpbrr(2) 无限大弹性体的应力与边界条件无限大弹性体的应力与边界条件应力：应力：CrAr22CrA22（b）边界条件：边界条件：pbrr0rr将式将式a）、（）、（b代入相应的边界代入相应的边界条件，得到如下方程：条件，得到如下方程：,E,EqCaA22pCbA22pCbA2202C4个方程不能解个方程不能解5个未知量，个未知量，再考虑位移连续条件：再考虑位移连续条件：brrbrruusincos)1 (2KICrBrrBrrAEur)31

29、() 1(ln)1 (2)1 (1sincosKICrrAEur)11 (2)11 (12rCrAEur)11 (2)11 (12sincosKI上式也可整理为：上式也可整理为：(c)(d)sincos)21 (21KIrACrEursincos)21 (21KIrArCEur利用：利用：brrbrruusincos)21 (21KIbACbEsincos)21 (21KIbAbCE(e)要使对任意的要使对任意的 成立，须有成立，须有bACbE)21 (21bAbCE)21 (21IIKK(f)对式对式f整理，有整理，有00)21 (222bAbACn(g)式式g中：中：)1 ()1 (EEn

30、将式将式g与式与式c）（）（d联立求解联立求解qCaA22pCbA22pCbA2202C(c)(d)1 ()21 (1)1 ()21 (12222nabnnrbnqr)1 ()21 (1)1 ()21 (12222nabnnrbnq)1 ()21 (1)1 (22222nabnrbnqr（4-16）当当 n a)，圆孔半径，圆孔半径为为 a，在无限远处受有均匀拉应力，在无限远处受有均匀拉应力 q 作用。作用。求：孔边附近的应力。求：孔边附近的应力。孔边的应力集中是局部现象。孔边的应力集中是局部现象。（2问题的求解问题的求解 问题分析问题分析坐标系：坐标系：就外边界直线），宜用直角坐标；就外边界

31、直线），宜用直角坐标；就内边界圆孔），宜用极坐标。就内边界圆孔），宜用极坐标。),(rA 取一半径取一半径 r =b (ba作圆周，其上作圆周，其上任一点任一点 A 处的应力为：处的应力为：OxybAqxArrrA22cossin2sincosrxyxy2coscos222qqq22()sincos(cossin)ryxxysincossin22qq 原问题转化为：原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。rrbrr新问题的边界条件可表示为：新问题的边界条件可表示为：xyba内边界内边界0arr0arr外边界外边界2cos22qqbrr2sin2qbrr

32、（a）问题问题12qbrr0brr2cos2qbrr2sin2qbrr（b）（c）2qrba2cos2qr2sin2qrba问题问题2将外边界条件将外边界条件a分解为两部分：分解为两部分：问题问题12qrba 问题问题1的解：的解：内边界内边界0arr0arr外边界外边界2qbrr0brr（b） 该问题为轴对称问题，其解为该问题为轴对称问题，其解为2112222qbarar2112222qbara0r 当当 ba 时，有时，有2122qrar2122qra0r（d） 问题问题2的解：的解：rrba问题问题2（非轴对称问题）（非轴对称问题）内边界内边界0arr0arr外边界外边界2cos2qbr

33、r2sin2qbrr(c)2sin2qr2cos2qr 由边界条件由边界条件c），可假设：），可假设： 为为 r 的某一函数的某一函数乘以乘以 ； 为为r 的某一函数乘以的某一函数乘以 。 r2cosr2sin 又由极坐标下的应力分量表达式：又由极坐标下的应力分量表达式：22211rrrr 1rrr 可假设应力函数形式为：可假设应力函数形式为：( )cos2f r 将其代入相容方程：将其代入相容方程：222222110rrrr 43243223( )2( )9( )9( )cos20d f rd f rd f rdf rdrrdrrdrrdr0)(9)(9)(2)(32223344drrdfr

34、drrfdrdrrfdrdrrfd令：令：( )f rr得特征方程：得特征方程：01644234特征根为：特征根为：, 41, 22, 0324方程的解为：方程的解为：2241)(rDCBrArrf( )cos2f r 4221cos2ArBrCDr 4221cos2ArBrCDr rrba问题问题22sin2qr2cos2qr 相应的应力分量：相应的应力分量：22211rrrr 2cos)642(42rDrCB22r 2cos)6212(42rDBAr1rrr 2sin)6226(422rDrCBAr 对上述应力分量应用边界条件对上述应力分量应用边界条件c） ： （e）内边界内边界0arr0

35、arr外边界外边界2cos2qbrrsin2rr bq 264242qbDbCB26226422qbDbCBAb064242aDaCB06226422aDaCBAa令令 a / b 0，求解，求解A、B、C、D，得，得rrba问题问题22sin2qr2cos2qr, 0A,4qB2,2qaC 44qaD代入应力分量式代入应力分量式e）, 有有2cos31244raq2222(1)(1 3)cos22rqaarr2222(1)(1 3)sin22rrqaarr （f）将问题将问题1的解的解d和问题和问题2的解的解f相加相加, 得全解：得全解：2cos312124422raqraq222222(1

36、)(1)(1 3)cos222rqaqaarrr2222(1)(1 3)sin22rrqaarr （4-17）讨论：讨论： （1）沿孔边，沿孔边，r = a ，环向正应力：，环向正应力：(1 2cos2 )r aq （4-18）3q2qq0q906045300（2）沿沿 y 轴，轴， =90，环向正应力：，环向正应力：24249013(1)22aaqrr1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aar),(rAb 基尔斯基尔斯G. Kirsch解解（3）沿沿 x 轴，轴， =0，环向正应力：，环向正应力：22220(1 3)2q aarr, ar ; q,3ar 0（4）若矩形薄板或长柱受双

37、向拉应力若矩形薄板或长柱受双向拉应力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2（4）若矩形薄板或长柱受双向拉应力若矩形薄板或长柱受双向拉应力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2叠加后的应力：叠加后的应力：2cos3121244212221raqqraqq2221212222111 3cos222rqqqqaaarrr22122211 3sin22rrqqaarr （4-19）注意：以上公式只对无限域中的圆孔才是精确的。但在实用上，只要弹性体注意：以上公式只对无限域中的圆孔才是精确的。但在实用上，只要弹性体边界距离孔洞足够远三倍孔径以上），则

38、上述公式仍足够精确。边界距离孔洞足够远三倍孔径以上），则上述公式仍足够精确。qqqqqqqq 45（5）任意形状薄板或长柱受面力作用，在距边界较远处有一小孔。任意形状薄板或长柱受面力作用，在距边界较远处有一小孔。工程中近似计算孔边应力的方法：工程中近似计算孔边应力的方法：先求出无孔时相应于圆孔中心处的应力分量先求出无孔时相应于圆孔中心处的应力分量 sx 、sy 、txy ；再由应力分量再由应力分量 sx 、sy 、txy 求出相应的主应力求出相应的主应力 s 、s 和主方向和主方向a；最后将圆孔附近部分当作沿两个主方向受均布拉力最后将圆孔附近部分当作沿两个主方向受均布拉力 q1 = s 及及

39、q2 = s ，从而由前述的叠加法求得孔边应力。从而由前述的叠加法求得孔边应力。圆孔的孔边应力集中问题求解思路小结圆孔的孔边应力集中问题求解思路小结:原问题的转换：原问题的转换：问题问题12qrba2cos2qr2sin2qrba问题问题2轴对称问题轴对称问题非轴对称问题非轴对称问题( )cos2f r 2cos1224rDCBrAr4-9 4-9 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力xyO22MP1. 楔顶受有集中力楔顶受有集中力P作用作用 楔形体顶角为楔形体顶角为，下端为无限长单位厚度），顶，下端为无限长单位厚度），顶端受有集中力端受有集中力 P ，与中心线的夹角为，与中心线的夹角

40、为，求：，求： rr（1应力函数的确定应力函数的确定量纲分析法：量纲分析法：, , , ,rP 2:/量纲 力 长度:/量纲 力 长度rP由应力函数与应力分量间的微分关系，由应力函数与应力分量间的微分关系，22211rrrr 22r 1rrr 可推断：可推断：( )rf （a）将其代入相容方程：将其代入相容方程：222222110rrrr rr rr 得：得：xyO22P423421( )( )2( )0d fd ffrdd0)()(2)(2244fdfddfd 四阶常系数齐次的常微分方程四阶常系数齐次的常微分方程其通解为：其通解为：)sincos(sincos)(DCBAf其中其中A，B，C

41、，D为积分常数。为积分常数。 将其代入前面的应力函数表达式：将其代入前面的应力函数表达式：( )rf cossin(cossin )ArBrrCDxy(cossin )rCD （4-20）（对应于无应力状态）（对应于无应力状态）（2应力分量的确定应力分量的确定xyO22P22211rrrr 22r 1rrrr (cossin )rCD )sincos(2CDr00边界条件：边界条件：,020rr,020,r（1） 自然满足自然满足（2）楔顶的边界条件：楔顶的边界条件：abrrr任取一圆弧任取一圆弧 ，其上的应力应与楔顶的力，其上的应力应与楔顶的力 P 平衡。平衡。ab:0 xF22cossin

42、dcos0rrrP:0yF22sincosdsin0rrrP （b）将式将式b代入，有：代入，有：xyO22Pabrrr222(cossin )cos dcos0DCP 222(cossin )sin dsin0DCP 积分得：积分得：0cos)(sinPD0sin)(sinPC可解得：可解得：sinsinPCsincosPD代入式代入式b得：得：00rr2coscossinsinsinsinrPr （4-21） 密切尔（密切尔（ J. H. Michell ）解答）解答0:OM222d0rr 自然满足自然满足 此外，还有此外，还有三种特殊情况：三种特殊情况：P0 xyO22abrrr（1）,

43、 000rr2cossinrPr ,29000rr2sinsinrPr xyO22abrrr（2）两种情况下的应力分布：两种情况下的应力分布：应力对称分布应力对称分布应力反对称分布应力反对称分布rrP（3） , 000rr2cosrPr PxyOr无限大半平面体在边界无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用法线方向受集中力作用xyO22M2. 楔顶受有集中力偶楔顶受有集中力偶 M 作用作用（1应力函数的确定应力函数的确定, ,rM2:/量纲 力 长度:量纲 力2rM由应力函数与应力分量间的微分关系，由应力函数与应力分量间的微分关系， 可推断：可推断：( ) 将其代入相容方程：将其代入相容方程：

44、222222110rrrr （c） rr rr xyO22M424421( )( )40ddrdd4242( )( )40ddddcos2sin2ABCD （4-22）（2应力分量的确定应力分量的确定考虑到：考虑到： 反对称载荷下，对对称结构有：反对称载荷下，对对称结构有：r为为奇函数；奇函数；而而 则为则为偶函数。偶函数。r由应力函数由应力函数 与与 关系可知，关系可知，rr应为应为奇函数。即奇函数。即0 DAsin2BC 22211rrrr 22r 1rrr 将其代入应力分量表达式，得到将其代入应力分量表达式，得到xyO22M22211rrrr 22r 1rrr 22sin4rB022co

45、s2rCB （d）边界条件：边界条件：02r, 02（1） 自然满足自然满足0cos22rCBcos2BC22sin4rBr02)cos2(cos2rBr （e）xyO22Mabr（2）代入应力分量表达式代入应力分量表达式d）, 得：得：rr:0OM0)(22Mrrdr2)cos2(cos2rBr0)cos2(cos222MdB0)cos22(sin22MB)cos(sin2MB2)cos(sin2sin2rMr02)cos(sin)cos2(cosrMr （4-23） 英格立斯英格立斯C. E. Inglis解答解答说明：说明：另外两个楔顶的平衡条件自然满足。另外两个楔顶的平衡条件自然满足。

46、楔顶的边界条件：楔顶的边界条件：特殊情况：特殊情况：xyOrM2)cos(sin2sin2rMr02)cos(sin)cos2(cosrMr22sin2rMr02) 12(cosrMr 前面有关楔形体的分析结果，在楔前面有关楔形体的分析结果，在楔顶处应力均趋于无穷，这是由于集中力顶处应力均趋于无穷，这是由于集中力 P 和集中力偶和集中力偶 M 的原因，事实上集中的原因，事实上集中力和集中力偶是不存在的，而是分布在力和集中力偶是不存在的，而是分布在一小区域上的面力；另一方面，分布在一小区域上的面力；另一方面，分布在小区域的面力超过材料的比例极限，则小区域的面力超过材料的比例极限，则弹性力学的基本

47、方程不再适用。弹性力学的基本方程不再适用。 前面有关楔形体的分析结果的适用前面有关楔形体的分析结果的适用性：离楔顶稍远的区域。性：离楔顶稍远的区域。3. 楔形体一侧面上受有均布面力楔形体一侧面上受有均布面力 作用作用（1应力函数的确定应力函数的确定rr,rq2:/量纲 力 长度2:/量纲 力 长度rrq由应力函数与应力分量间的微分关系，由应力函数与应力分量间的微分关系， 可推断：可推断：2( )r f 将其代入相容方程：将其代入相容方程：222222110rrrr （f）得到：得到：0)(4)(122442dfddfdr0)(4)(2244dfddfd0)(4)(2244dfddfd该方程的解

48、为：该方程的解为：DCBAf2sin2cos)(2( )r f )2sin2cos(2DCBAr （4-24）（2应力分量的确定应力分量的确定22211rrrr 22r 1rrr DCBAr222sin22cos2DCBA222sin22cos2CBAr2cos22sin2 （g）边界条件：边界条件：00r,0q0r, 0由此可确定由此可确定4个待定常数。个待定常数。qDA)(20)(2CB0)2sin2cos(2DCBA02cos22sin2CBA可求得：可求得：)(tan4tanqA)(tan4qB)(tan2qC)(tan2tanqqD将常数代入应力分量表达式，有将常数代入应力分量表达式

49、，有qqr)(tan2)2sin2()2cos1 (tanqq)(tan2)2sin2()2cos1 (tanqrr)(tan22sintan)2cos1 ( （4-25）q特殊情况：特殊情况：qqr2)2sin2(qq2)2sin2(qrr2)2cos1 ( xyOr若用直角坐标表示，利用坐标变换式：若用直角坐标表示，利用坐标变换式：2sin2cos22rrrx2sin2cos22rrry2cos2sin2rrxy222yxrxyarctan22arctanyxxyqxyqqx22arctanyxxyqxyqqy222yxyqyxxyqxyOrqxyOra22)()(arctanyaxyax

50、qaxyqqx22)()(arctanyaxyaxqaxyqqy222)(yaxyqyxxyqxyOraaqxyOraqxyOra楔形体尖劈问题应力函数的构造小结：楔形体尖劈问题应力函数的构造小结：xyO22PxyO22M( )rf ( ) 2( )r f 3( )r f 3( )r f 4( )r f 2( )r f 2( )r f 3( )r f ( )rf ( ) 2( )r f 22cossin2sincosxrr22sincos2sincosyrr22()sincos(cossin)xyrr4-10 4-10 半平面体在边界上受法向集中力半平面体在边界上受法向集中力00rr2cosr

51、Pr PxyOr1. 应力分量应力分量由楔形体受集中力的情形，可以得到由楔形体受集中力的情形，可以得到),0:(令 （4-26） 极坐标表示的应力分量极坐标表示的应力分量利用极坐标与直角坐标的应力转换式利用极坐标与直角坐标的应力转换式4-7），可求得），可求得222yxrxyarctanrPx3cos222sincosyPr rPxy2cossin2 （4-27）或将其改为直角坐标表示，有或将其改为直角坐标表示，有PxyOr2223)(2yxxPx2222)(2yxxyPy2222)(2yxyxPxy （4-28）2. 位移分量位移分量 直角坐标表示的应力分量直角坐标表示的应力分量假定为平面应

52、力情形。假定为平面应力情形。其极坐标形式的物理方程为其极坐标形式的物理方程为)(1rrE)(1rE2(1)rrE将式将式4-26代入代入2cosrPEr 2cosPEr0r （4-29）00rr2cosrPr 2cosrPEr 2cosPEr0r由几何方程由几何方程2cosruPrEr 12cosruuPrrEr01ruruurr(a)(b)(c)积分式积分式a得，得，12cosln( )rPurfE (d)将式将式d代入式代入式b），有），有2cosruPuE积分上式，得积分上式，得12cos (ln )( )PrfE 122sin (ln )( )( )PurfdfrE (e)12cosl

53、n( )rPurfE (d)212sin (ln )( )PurfdfrE (e)01ruruurr(c)11d ( )2(1)sin( )dfPfdE22d ( )( )dfrfrrr1d ( )12sinlndfPrrE2d ( )21sindfrPErr1212sin (ln )( )d( )0PrffrrE 要使上式成立，须有：要使上式成立，须有：将式将式d）(e) 代入式代入式c） 得，得，12cosln( )rPurfE (d)122sin (ln )( )( )PurfdfrE (e)2(1)coslnsincossinrPPurIKEE cos)1 (sin)1 (lnsin2

54、EPEPrEPu11d ( )2(1)sin( )ddfPfJE22d ( )( )dfrfrrJr可解得：可解得：1(1)( )sincossinPfIKE 2( )frHrJ代入位移分量式代入位移分量式d）（）（e），有），有cossinKIHrPxyOr式中，常数式中，常数H、I、K 由位移边界条件确定。由位移边界条件确定。(f)（J 为常数）为常数）PxyOr常数常数 I 须由铅垂方向须由铅垂方向x方向位移约束条件确定。方向位移约束条件确定。00u2(1)coslnsincossinrPPurIKEE cos)1 (sin)1 (lnsin2EPEPrEPucossinKIHr(f)由

55、式由式f得：得：0 KH2(1)coslnsincosrPPurIEE sincos)1 (sin)1 (lnsin2IEPEPrEPu(g)由问题的对称性，有：由问题的对称性，有：3. 边界沉陷计算边界沉陷计算PxyOrMM点的下沉量：22MuuIEPrEP)1 (ln2 由于常数由于常数 I 无法确定，无法确定， 所以只能求得的相对沉陷量。所以只能求得的相对沉陷量。为此，在边界上取为此，在边界上取一基准点一基准点B，如下图。，如下图。BsM点相对于基准点B的沉陷为MBMBIEPrEP)1 (ln2IEPsEP)1 (ln22lnMBPsEr简化后得：简化后得：MB（4-30）称符拉芒称符拉

56、芒A. Flamant公式。公式。对平面应变情形：对平面应变情形：22 (1)lnMBPsEr4-11 4-11 半平面体在边界上受分布压力半平面体在边界上受分布压力ddPqOdMPxyOr1. 应力分量应力分量2223)(2yxxPx2222)(2yxxyPy2222)(2yxyxPxy 设半平面体在边界设半平面体在边界 AB 一段上受有分布一段上受有分布压力，其集度为压力，其集度为q(x) 。现在要求半平面体内。现在要求半平面体内任一点任一点 M(x,y) 处的应力。处的应力。32222 dd()xqxxy 22222 d()d()yqx yxy 22222 d()d()xyqxyxy 将

57、此式在将此式在 AB 区间上积分，得区间上积分，得 对于上述问题，可利用上节对于上述问题，可利用上节“半平面体半平面体在边界上受法向集中力的应力公式，通过在边界上受法向集中力的应力公式，通过叠加法求解。叠加法求解。由由dP q(x) dx 在点在点 M 引起的应力为引起的应力为32222dd()axxbqxxy 22222()dd()ayybqx yxy 22222()dd()axyxybqxyxy （4-31）式中，需将分布力集度式中，需将分布力集度 q 表示成表示成 的函数，再进行积分。的函数，再进行积分。2. 边界点的相对沉陷边界点的相对沉陷讨论均匀分布的单位压力的情形。讨论均匀分布的单位压力的情形。dP1ddPrc计算计算K 点相对于基点点相对于基点 B 的沉陷量：的沉陷量：2ddlnKBPsEr2lndsrEcr(a)qddP OdMq 为常数见为常数见P77。14ln1212ln222cxcxcxcxFkidP2ddlnKBPsEr2lndsrEcr(a)对对 r 积分，即可求得积分，即可求得K点的相对沉陷量。点的相对沉