4.3协方差与相关系数ppt课件

1、高校理科通识教育平台数学课程概率论与数理统计讲授讲授孙学峰孙学峰协方差和相关系数协方差和相关系数4.3 4.3 协方差和相关系数协方差和相关系数 1. 定义定义 若若EX-E(X)Y-E(Y)存在，则称其为随机变量存在，则称其为随机变量X与与Y的协方差。记为的协方差。记为cov(X, Y)或或Cov(X, Y), 即即Cov(X,Y) = EX-E(X)Y-E(Y)协方差协方差cov(, )()( )ijijijX YxE XyE Y pcov(, )()( ) ( , )X YxE XyE Yf x y dxdy 2.协方差的计算协方差的计算 4.3.1 协方差协方差离散型随机向量离散型随机

2、向量其中其中 PX=xi ,Y=yj=pij i, j=1, 2, 3, .连续型随机向量连续型随机向量 3. 协方差计算公式协方差计算公式Cov(X,Y)=E(XY )E(X)E(Y)（1假设假设 X与与Y独立独立,则则Cov(X, Y)=0注注（2D(XY) = D(X) + D(Y)2Cov(X, Y) 4. 协方差的性质协方差的性质（1Cov(X, Y) = Cov(Y, X) （2Cov(aX, bY) = abCov(X, Y), a,b 为常数为常数 （3Cov(X1+X2, Y) = Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)（4当当X与与Y相互独立时，有相互独立时，有Cov(

3、X, Y) = 0 例例1 设二维随机变量的联合分布律为设二维随机变量的联合分布律为 X01PqpY01Pqp 解解 由由(X,Y)的联合分布律，可得的联合分布律，可得X与与Y的边缘分布律为的边缘分布律为均为均为0-1分布，于是有分布，于是有(),(),E XpD Xpq( ),( ).E YpD Ypqcov(, )()() ( )X YE XYE X E Y0 00 1 0 1 0 0 1 1qppp 2,pppq其中其中p+q=1，求，求 的的 协方差协方差YX ,p010q010 XY1cos()0,-0( ,)2220 xyxyf x y，其它202220-21()cos()d d

4、- ()20.18762162D Xxxyx yE X ( )0.1876,D Y 020-21()cos()d d1-0.5708,22E XYxyxyx y cov(, )()-() ( )X YE XYE X E Ycov( , )X Y求求 解解 由于由于同理可得同理可得 020-21()cos()d d0.7854,24E Xxxyx y ( )0.7854,E Y 20.5708(0.7854)0.0461 例例2 设二维设二维X，Y随机变量的密度函数为随机变量的密度函数为 由协方差的性质(2)知, 协方差取值的大小要受到量纲的影响, 为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准

5、化后再求协方差*,XE XXD X *YE YYD Y*(,)Cov XY XE X YE YED XD Y*()E X Y*()()EXE XYE Y ( )EXE XYE YD XD Y(, )( )Cov X YD XD Y 1. 定义定义 对于随机变量对于随机变量X和和Y, 若若D(X), D (Y), 则则称称)()(),(YDXDYXCovXY为随机变量为随机变量X和和Y的相关系数标准协方差）的相关系数标准协方差） 。当当XY = 0时时 , 称称X与与Y不相关。不相关。 （1）|XY| 1； （2）|XY| = 1当且仅当当且仅当 PY=aX+b=1 , 其中其中a, b为常数。

6、为常数。相关系数相关系数XY刻划了随机变量刻划了随机变量X和和Y的线性相关程度。的线性相关程度。 4.3.1 相关系数标准协方差）相关系数标准协方差） .性质性质 证明证明 （1）*()()()2cov(,)D XYD XD YXY*1 1 2cov(,)X Y 2(1)0,XY即即10,XY| 1.XY (2) 由方差性质得0 1P YaXbP YaXb 成立的充分必要条件为成立的充分必要条件为22()() ()D YaXbE YaXbE YaXb2() 0E YaXb而而2() E YaXb2( )()( ( )()E YE Ya XE XE YaE Xb2222( )() ( )()E

7、YE Ya E XE XE E YaE Xb2( )()2 ( ) ( )()aE YE YXE XE YE YE YaE Xb2()( )()aE XE XE YaE Xb22( )() ( )()2 cov(, )D Ya D XE YaE XbaX Y222cov( , )cov( , )( )( )1 () ( )( ) ,( )( )( )X YX YD X aD YE YaE XbD XD XD Y2() E YaXb22cov(, )cov(, )()( )1 () ()()( )X YX YD XaD YD XD XD Y的充要条件是的充要条件是2cov(,)10,()( )X

8、 YD XD Y即即210,XY从而从而| 1.XYcov(, ),( )(),()X YabE YaE XD X且2 ( )()0E YaE Xb221( )e2xf x3()()0E XE X于是由于是由:32cov(, )()() ( )()() ()0X YE XYE X E YE XE X E X得得cov(, )0()( )XYX YD XD Y这说明这说明X与与Y是不相关的是不相关的, 2YX显然，显然，X与与Y是不相互独立的是不相互独立的 例例3 若若XN(0, 1), Y=X2, 问问X与与Y是否不相关？是否不相关？ 解解 因为因为XN(0, 1), 密度函数密度函数为偶函数

9、为偶函数,所以所以但2222212121212)()(2)()1(21221121),(yyxxeyxf,21)(21212)(1xXexf,21)(22222)(2yYeyf 解解 X，Y的联合密度的联合密度f(x,y)及边缘密度及边缘密度 fX(x), fY(y) 如下：如下： dxdyyxfyxYXCov),()(),(21212121)()(),(YDXDYXCovxy 从而说明二维正态分布随机变量X、Y相互独立 =0，即X、Y相互独立与不相关是等价的。 例例4 设设(X, Y)服从二维正态分布，求服从二维正态分布，求X, Y的相关系数。的相关系数。1.1.将一枚不均匀硬币投掷将一枚不

10、均匀硬币投掷n n次，以和分别表示出现正面和次，以和分别表示出现正面和反面的次数，则和的相关系数为反面的次数，则和的相关系数为 （）；（）； （；（； （）（） ； (D) (D) 1 1 。2.2.设随机变量和独立同分布，记设随机变量和独立同分布，记U=X+Y, V=X-Y,U=X+Y, V=X-Y,则和则和 （不独立；（不独立； （独立；（独立； （相关系数为；（相关系数为； （D D相关系数不为。相关系数不为。 3.3.设是随机变量，设是随机变量，=aX+b (a=aX+b (a), ), 证明证明 ：0101aaXY. .设随机变量的概率密度为设随机变量的概率密度为求与求与|X|的协方

11、差，问和的协方差，问和|X|是否不相关，是否相互独立是否不相关，是否相互独立xexf21)()(x练练 习习 题题选例选例1求XY解解 E(X) = 2 , E(Y) = 2；E(X2) = 9/2 , E(Y2) = 9/2；D(X) =1/2, D(Y) = 1/2。E(XY) = Cov(X, Y) = 23/6 4 = - 1/6 ;31212161)()(),(YDXDYXCovXY Y 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0X1/41/21/4623ijjijipyx 选例选例2 设随机变量设随机变量X的方差的方差D(X)且且 Y

12、=aX+b (a), 求求X和和Y的相关系数的相关系数XY解解2( )()(),D YD aXba D X(, )()( )Cov X YEXE XYE Y()()EXE XaXbE aXb2()aE XE X().aD X)()(),(YDXDYXCovXY2()()()aD XD Xa D X|aa1,0.10aa其它, 01,1),(22yxyxf()( , )E Xxf x y dxdy 012112dxxx(, )()() ( )Cov X YE XYE X E Y22111110 xxxdxydy证明证明 (1) 由于由于同样同样 E(Y) = 0于是于是XY= 0，所以，所以 X与与Y不相关。不相关。2211111xxxdxdy( , )xyf x y dxdy ()E XY 选例选例3 知知X,Y的概率密度如下，试证的概率密度如下，试证X与与Y既不相既不相关，也不相互独立。关，也