版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、论直流电位场拟解析近似中的电位与电荷反射函数的物理意义 :; ; ; ; 引言自从数值分析成为解决地球物理场正、反演问题的主要手段以来,已经有多种数值分析方法被用于解决直流电位场的数值模拟问题,例如有限差分法、有限单元法、边界单元法、伪谱法以及积分方程法等等。尽管这些方法的基本原理有所不同,但是最后都要归结成为线性代数方程组的数值求解问题。如果所要研究的问题具有小尺度和单体的特点,
2、则相应的代数方程组具有比较小的阶数。反之,如果所要研究的问题具有很大的尺度或具有多个异常体,则最终所形成的代数方程组会具有很高的阶数,导致大型或超大型线性方程组的求解问题。虽然目前可以从近代计算数学和并行计算的角度来处理大型或超大型代数方程组的数值求解问题,但是其有关问题依然存在,依然摆脱不了由于代数方程组太大所造成的内存不够和计算时间过长等问题。 为了避开上述问题,最好的途径是考虑一种不用求解代数方程组的方法,例如由等人在解决电磁场数值模拟问题中所提出的拟解析近似法。在实质上,拟解析近似是一种解积分方程的近似方法,具有与阶近似相当的精度。形成这种精度的原因
3、在于假设异常电场()的各分量与背景电场()的各分量在异常体内的每一个点上呈线性组合(线性变换)关系,即()()·()。因此,在拟解析近似中异常体内的总电场()具有()()()()·()的形式。式中,是恒等算子,是异常体中任意一点的位置矢量,()称为电场反射张量。在近似中,()恒为零张量,即在异常体内有()()。 在将关系式 ()()·()代入到()所满足的积分方程后,可以得到个关于()的积分方程。进一步,利用函数的奇异性将()提到有关积分的外边,即可以得到一个关于()的近似解。按照等人的定义,
4、这个近似解称为拟解析近似解。如果将拟解析近似解作为一个叠代过程的初始猜测解,则可以得到拟解析级数近似。 与上文提到的有限差分法等数值分析方法相比,拟解析近似法的主要优点在于不形成代数方程组。事实上,在拟解析近似法中,若要得到数值结果,只要完成相应的数值积分即可。鉴于这一特点,笔者在年把拟解析近似的基本思想用于解决直流电场积分方程的近似求解问题,推导出了相应的拟解析近似公式。数值计算结果表明,对于直流电场的数值模拟而言,拟解析近似可以给出满足实际需要的结果。 拟解析近似的基本思想同样也可以用来处理在直流电位场理论中出现的积分
5、方程的近似求解问题。由于直流电位场是标量场,所以在直流电位场拟解析近似中与()相对应的是一个标量函数,其定义是电位或电荷在异常体内部或其表面上的异常部分与其相应正常部分的比值。参照电场反射张量的定义,将这个标量函数称为电位或电荷反射函数。鉴于直流电位场理论中有种积分方程,即针对电位的体积分方程、面积分方程和针对面电荷密度的面积分方程,从而在直流电位场的积分方程中可以引入种电位反射函数和种电荷反射函数,即体电位反射函数()()()、面电位反射函数()和面电荷反射函数()()()。在这些定义中,下标“”和“”分别代表所涉及的量是定义在异常体内部或在其边界上; &
6、#160; ()是场源在电导率为()的背景介质中所产生的场,()是由电导率的异常部分()所产生的场。总电位场()和总电导率()分别为 其 正 常 和 异 常 部 分 的 叠 加,即()()()和()()()。类似地,()代表与()有关的面电荷密度,而()代表与()有关的面电荷密度。 在电磁场或直流电场的拟解析近似中,电场反射张量只是一个辅助函数,不具有明显的物理意义; 与此相反,在上文中引入的面电荷反射函数却具有明显的物理意义。具体地说,在一般条件下面电荷反射函数是异常体表面上自由面电荷密度的函数。
7、 在简单条件下(均匀或点电源背景场、均匀导电柱体或球体),这种函数关系转化成为比例关系。这个结 吉 林 大 学 学 报(地 球 科 学 版)第卷论对于简单条件下的面电位反射函数也成立。然而,在一般条件下难以将面电位反射函数与异常体表面上的自由面电荷密度联系到一起。 本文的目的是给出上述结论的证明。为此,在下文中首先根据直流电位场的积分方程建立电位(荷)反射函数所满足的积分方程及其相应的拟解析近似,然后再利用几个已知的电位场分析解讨论电位或电荷反射函数的分析解,并建立其中的几个分析解与面电荷密度之间的关系。最后利用点电源场中
8、的导电球体分析解来讨论面电位和面电荷反射函数的拟解析近似的精确程度。 基本公式假设异常电导率函数()的梯度只在由光滑曲面所包围的空间内有非零值,则在地下空间内的任意一点有()()(,)()·()()。 ( )式中:是 地 下 空 间 中 任 意 一 点 的 位 置 矢 量; (,)是函数,其源点的位置矢量为;
9、; 是关于的算子。在 水 平 地 表 的 假 设 下,函数的具体形式为(,)()()。 式中: 是关于地表的镜象点。类似地,有()()()。 式中: 是源点的矢径关于地表的镜象点; 是在源点处的电导率。如果电源位于地表,有(,),()。 将观察点放置于异常体的内部,并将分解公式()()()和 定
10、 义 公 式()()()代入到公式(),得到()()()()()()()。 ()式中:()是异常电位场()的近似; ()(,)()×()·()(); ()()(,)()×()·()()。 ()方程()是关于()的积分微分方程。为了求其拟解析近似,假设()是一个缓慢变化的函数,即()。此时,可以将()提到公式()右端积分号的外面。由此得出()近似为零,而体电位反射函数()可以近似地表示为()()()()。 ()这是体电位反射函数的拟解析近似。如果以这个近似为初始解,则可以求出()的拟
11、解析级数解。 如果异 常体的电 导率为常数,则方程 ()变为,()()(,)×()·()()。 ()式中:为上任意一流动点的位置矢量; ()为在点处的单位外法线矢量;负号的出现是由于外法线方向和梯度方向相反所致。 参照文献 和,令()()()()()·()()()为归一化电荷密度,则有()()()(,)()。 ()式中:();为在点处沿的外法线方向的导数;而()()(,)()是异常面电
12、荷的近似。 将定义式 ()()()代入到方程()中得到()()()()()。 ( )式中,()()()(,)。 ( )方程()是面电荷反射函数所满足的积分方程。在拟解析近似下,有()()()()()。 ()第期 孙建国:论直流电位场拟解析近似中的电位与电荷反射函数的物理意义如果将这个公式作为迭代初值代入到公式()中,则可以得到()的拟解析级数解。
13、 如果 (),则()满足方程。此时,直接利用定理得到()()(,)()。 ()式中,为流动点处的外法线方向。 在将分解公式 ()()()代入到()后可得到()()()()()。 ()式中:()()(,); ()()()(,)。 ( )如果将面电位反射函数()从()式中右端的积分中提出,得到()()()()()。 ()如果将这个公式作为初始解代入到公式()中,则可以得到()的拟解析级数解。
14、60; 分析解上节中给出了电位与电荷反射函数()、()和()所满足的积分方程及其拟解析近似解,本节推导这些函数的分析解。显然,在一般条件下这些函数的分析解是求不出来的。然而,在一些特定的条件下却可以求出()和()的分析解。为了说明这一点,在下文中假设异常体分别为位于导电全空间中的均匀导电柱体或球体,而背景电场分别为均匀电场或者是由点电流源所产生的电场。作为讨论的出发点,采用一些在文献中已知的电位场分析解。通过对这些分析解进行简单的变换,即可以求出()和()在特定条件下的解析表达式。
15、位于均匀横电场中的椭圆柱体和圆柱体考虑长轴和短轴分别为和的水平椭圆柱体。在直角坐标系(,)中,水平椭圆柱体的轴线与轴重合,其横截面位于平面内,椭圆柱截面的长轴位于轴上;坐标系的原点位于水平椭圆柱体的轴线上。假设均匀电场(其幅值为)沿方向(垂直于椭圆柱体的轴线),即()。 式中, 是方向上的单位矢量。根据电磁场论,若取坐标原点为直流电位场的零点,则有()。 为了方便起见,将上述直角坐标的平面转换成为椭圆坐标系(,)。其中,且从轴开始起算。此外,椭圆柱的横截面外边缘与坐标面重合。根据文献(页
16、),在这个坐标系中有()()。 ()式中:; ()槡。由此得出()。 ()进一步,利用文献中的方程()得到()()。 ()如果椭圆柱的长轴和短轴相等,即,则椭圆柱体退化 成 为 半 径 为的 圆 柱 体,椭 圆 坐 标 系(,)退化成为极坐标系(,)。此时,()。从而,(), ()()()。 ()位于均匀电场中的椭球体和球体如果异常体是均匀导电的椭球体,其半轴分别为,和。在()的假设下,()。根据文献中的方程(),在以椭球中心为原点的椭球坐标系中,椭球体表面的异常电位场()的表达式为()()()()。 ()式中,称为几何
17、因子,其定义公式为()()()()。 ( )利用公式(),有()()()。 ()现在考虑()的表达式。利用文献中的公式(),得到异常体外部的电位为 吉 林 大 学 学 报(地 球 科 学 版)第卷论直流电位场拟解析近似中的电位与电荷反射函数的物理意义孙 建 国,吉林大学地球探测科学与技术学院,长春国土资源部应用地球物理综合解释理论开放实验室波动理论与成像技术实验室,长春 摘要:为了避开由大型代数方程组数值求解所带来的问题,将电场反射张量的基本概念和拟解析近似的基本思想引入到
18、了直流电位场的数值模拟中,定义了体电位反射函数、面电荷反射函数和面电位反射函数等个辅助函数,并给出了其在一般条件下的拟解析近似解和在简单条件下(均匀或点电流源背景场、均匀导电柱体或球体)的分析解。简单的对比分析证明:面电荷反射函数是异常体表面上自由面电荷密度的函数;在简单条件下,这种函数关系转化成为比例关系;类似的结论对于简单条件下的面电位反射函数也成立;然而,在一般条件下难以建立面电位反射函数和自由面电荷密度之间的明确关系。 关键词:地球物理勘探 电法;直流电位场;拟解
19、析近似;反射函数;物理意义 中图分类号: 文献标志码:文章编号:()收稿日期:基金项目:国家自然科学基金项目();国家“”计划项目()作者简介:孙建国(),男,教授,博士生导师,主要从事地下波动理论与成像技术、地震资料处理方法等方面的教学和研究工作,:。 ,:,()()()。 ()式中,()(); ()()×()()()()。 ( )这里,是方程()的最大
20、实根。在椭球体的表面,()。 对公式( )的两侧取梯度,并将其代入到归一化面电荷定义式中,得到()()()()()()()··。 ( )如果,椭球体退化成为半径为的球体,椭球坐标退化成为球坐标(,)。此时,根据文献中的有关公式,。从而,()。 ()此外,利用文献 (页)中的有 关公 式:(),()()。从而,()()()。 ( )将这个表达式代入到归一化面电荷的
21、定义()中得到()()。 ()位于点电源场中的导电球体对于一个位于全空间点电源场中的导电球体,有()()()。 ()式中:()(); 为源点到观察点之间的距离; 为源点到球心的距离; 为球的半径; 为球心到源点的矢径与球心到观察点的矢径之间的夹角;
22、60; ()是阶勒让德函数; 为供电电流强度(图)。 利用在全空间中点电流源的电位场公式()全空间的电导率是;球体的电导率是;全空间中的一次电位场()由一个点电流源产生。 图 位于均匀导电全空间中的导电球体,可以对公式()进行改写。在球体的表面上,改写后的公式为()()()()。 ()由此得出()()。 ()为了便于计算,利用在时的展开式(), ()得到()()()()()。 ()将公式()代入到归一化
23、面电荷的定义公式()中得到()()()()()()。 ( )当时,背景电位场接近于均匀场,公式()和()近似地等于均匀场中的导电球体所具有的面电位和 面 电 荷 反 射 函 数,即(),()。 与自由面电荷密度之间的关系根据电磁理论,自由面电荷密度()的定义公式为第期 孙建国:论直流电位场拟解析近似中的电位与电荷反射函数的物理意义()()()。 ()式中:为介质的介电常数;上标和分别代表异常体表面的内部和外部;下标为法线方向上的分量。在的条件下,自由
24、面电荷密度等于异常体表面上电场法线分量变化的倍,即()()()。 为了能和面电荷及面电位反射函数进行对比,参照文献把()写成是电流密度法线分量的函数,即()×()·()()。 ()由于在异常体表面的两边是连续的,所以既可以利用异常体内的电位场进行计算,也可以利用异常体外的电位场进行计算。在公式()中,考虑到与公式()的对比采用了异常体外的电位进行电流密度法线分量的计算。另外,鉴于电流是从背景介质流入到异常体中这一事实,参照文献计算出的与()的方向相反。 公式( )可以
25、写成下列形式:()()()。 ()从而,()()()。 ()式中:。 ()如果,则。 公式( )给出 了()和 自 由 面 电 荷 密 度()的一般关系。由于()是已知函数,所以面电荷反射函数是自由面电荷密度的函数。对于在上节中讨论过的简单形体和均匀背景场,这个函数可以简化成为相对简单的形式。为了证明这个结论,在下文中假设异常体是置于导电全空间中的导电柱体或球体。另外,假设异常体的介电常数与背景介质的介电常数相等,即。其他条件和所采用的坐标系与上文中的假设相同。
26、 均匀横电场中的椭圆柱体和圆柱体据文献中的公式(),在均匀外电流场的激发下,水平椭圆柱表面上的自由电荷密度为()()。 ()式中:()(); ()。将公式()与公式()进行对比,得到()()()。 ()进一步,利用关系式()得到()()()。 ()对于圆柱体,直接利用文献中给出的公式得到()。 ()从而,()(), ()()()。 ()均匀电场中的球体对于位于均匀电场中的球体,有(文献,公式()()。 ()因此,通过与公式()和()的对比得到()(), ()()()。 ()基于导电球体的数值验证为了分析上列诸
27、拟解析近似公式的精度,考虑位于全空间点电源场中球体模型(图)。球体的半径是,电导率是。背景介质的电导率是。点电源的坐标是(,),其供电电流强度是。 显然,在所采用的坐标系中(图 ),()和()均与方位角无关。因此,下文只讨论这个反射函数随角的变化,具体的计算结果见图和图。 如图 所示,面电位反射函数()在轴上有一个零点,其变化规律与在闭区间,内余弦函数相似。由于在()的零点附近常规的相对误差公式不再有效,所以在图中给出的是相对于分析解的绝对误差。
28、60; 此外,面电位反射函数 ()在区间,内并不是一个具有足够缓慢变化特点的函数,所以其拟解析近似(方程()具有比较大的近似误差。只有在经过到次的迭代后方能得到满意的精度。 与此相反,精确的面电荷反射函数沿轴的变化很 吉 林 大 学 学 报(地 球 科 学 版)第卷()的精确解、拟解析近似解及其次的迭代解(迭代解的初始猜测函数为拟解析近似解); 图中各曲线的误差。 图
29、 面电位反射函数()在球面上的精确和近似解()小,除了在包含奇点的一个小区间外基本上接近于一个常数。因此,其拟解析近似具有很高的精度。这一事实可以从图上看出。实际上,在经过次迭代以后,拟解析迭代解相对于精确解的误差就减小到接近于了。 结论)直流电位场中的体电位、面电位与面电荷反射函数是参照电场反射张量引入的个辅助函数,其基本功能是建立异常电位场和背景电位场之间的关系,进而求出直流电位场积分方程的拟解析近似解。 )与电磁场和直流电场拟解析
30、近似中的电场反射张量不同,直流电位场中的面电荷反射函数是异常体表面上的自由面电荷密度的函数,具有明显的()的精确解、拟解析近似解及其从次的迭代解(迭代解的初始猜测函数为拟解析近似解); 图中各曲线的误差。 图 面电荷反射函数()在球面上的精确和近似解()物理意义。在背景电场是均匀电场和不存在有介电常数异常时,对于均匀的导电柱体或球体,面电荷反射函数与异常体表面上的自由电荷密度成正比。类似的结论对于面电荷反射函数也成立。然而,在一般条件下很难得到面电位反射函数和自由面电荷密度之间的关系。 )根据对位于均匀全空间的导电球体表面上的面电位和面电荷反射函数的数值计算结果,可以认为利用拟解析近似的基本思想进行直流电位场的数值模拟是可行的。然而,对于具体的数值计算技术和计算精度等问题还需
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 劳动教育心得体会与学习收获
- 金融专业知识和实务经济师考试(中级)试卷及答案指导
- LNG接收站温室气体甲烷逸散特征与量化
- 工开万物:实验物理学家-札记
- 《第1课“百家争鸣”和儒家思想的形成》(同步训练)高中历史必修3-人教版-2024-2025学年
- 2024人工智能技术在医疗领域应用研发合同
- 2024就新能源汽车电池供应所达成的全面合作协议
- 2024年新型电力施工项目协议范本
- 04版某石油公司勘探开发合同
- 2024年建筑施工联营协议
- 很好的QC工程图范本
- 吸收氨过程填料塔的设计吸收塔设计完整版
- 培智实用数学11册认识钟表试题整理(共13页)
- 连续梁施工作业要点手册(支架现浇)
- 三年级习作:菊花教学指导(课堂PPT)
- 会议·宴会预订单
- 个人医德医风档案
- 局组会议议题提报单模板
- 检验科标本拒收记录
- 世界气温和降水的分布
- 申请一年或多年多次往返申根签证信
评论
0/150
提交评论