人教版高中数学必修5《3.4基本不等式》2课时教学设计

1、3. 4.1 基本不等式（海口一中马丽雯）第一课时（1 ）教学目标（a）知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2 倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释（b）过程与方法：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。 变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质（c）情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生 数形结合的想象力（2

2、 ）教学重点、难点教学重点：两个不等式的证明和区别教学难点：理解“当且仅当 a=b 时取等号”的数学内涵（3 ）学法与教学用具先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案直角板、圆规、投影仪（多媒体教室）（4 ）教学设想1、 设置情境（投影出图 3.4-1）同学们，这是北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，大家想一想，你 能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗？提问 1：我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形 ABCD 中有

3、4 个全等的直角三角形设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：a2b2，a2b2提问 2： 那 4 个直角三角形的面积和呢？生答：2ab提问 3:好，根据观察 4 个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，a2，b2_2ab。什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即a =b时，正方形 EFGH 变成一个点，这时有2 2a b =2ab2、 新课讲授（1）（板书）一般地，对于任意实数a、b，我们有a2b2_2ab，当且仅当a =b时，等号成立。提问 4：你能给出它的证明吗？（学生尝试证明后口答，老师板书）证明：a2b2

4、-2ab =(a -b)2,当 a 时,(a -b)20,当 a = b 时,(a -b)2=0,所以a2 b2_ 2ab注意强调 当且仅当a = b时,a2亠b2=2ab特别地，如果a 0,b0,用、. a 和 . b 分别代替 a、b,可得 a Z ab,也可写成a 0要证，只要证(-)20显然，是成立的 ,当且仅当a二b时，的等号成立（3）观察图形 3.4-3,得到不等式的几何解释（4）变式练习：已知x、y 都是正数，求证：1女口果积xy 是定值 P,那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值 2 p12如果和x - y 是定值 S,那么当 x=y 时，积 xy 有最大值一 S243、课堂

5、练习课本第 113 页练习第 1 题4、归纳总结比较两个重要不等式的联系和区别（5 ）评价设计1、 课本第 113 页习题 3.4 第 1 题12、 思考题：若x : 0,求 X 的最大值x3.4.2 基本不等式（海口一中马丽雯）第二课时（1 ）教学目标（a）知识与技能：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题（b）过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。3 道例题的安排从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平。教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错

6、误（c）情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性（2 ）教学重点、教学难点教学重点：正确运用基本不等式教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件（3 ）学法与教学用具列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一。对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。直尺和投影仪（4 ）教学设想1、 设置情境a +b提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把叫做正数a、b的算术平均数,2把ab叫做正数a、b的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。2、 新课讲授例 1、（

7、1）用篱笆围一个面积为 100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所 用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为 36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：（1）设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则xy =100,篱笆的长为 2（x y） m由亍一齐，可得x y _2 .而2（x y）- 40等号当且仅当x = y 时成立，此时 x = y =10，因此，这个矩形的长、宽为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为

8、40m（2）设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则 2（x y） =36，x - y=18,矩形菜园的面积为可得等号当且仅当x =y 时成立，此时 x = y =9因此，这个矩形的长、宽都为 9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2例 2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800m3,深为 3 m。如果池底每平xym由18=9,可得2xy 乞81,方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低？最低 造价为多少元？分析：若底面的长和宽确定了， 水池的造价也就确定了， 因此可转化为考察底面的长和宽各 为多少时，水池的总造价最低。解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元，根据题意，有z -1504800-120(2 3x 2 3y)二240000 720(x y)由容积为 4800m3,可得3xy =4800 xy =1600由基本不等式与不等式性质，可得240000 720(x y) _ 240000 720 2 xyz - 240000720 2、1600z - 297600可得等号当且仅当x -y 时成立，此时 x =y =40所以,将水池的地面设计成边长为40 m 的正方形