多元函数微分学复习题及答案

1、多元函数微分学复习题及答案2第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1.极2x ylim42x 0 x4y2y 0(B )(A)等于 0; (B)不存在;(C)等于 ；(D)在且不等于 0 或1(提示：令y k2、设函数f(x,y)2 2、x)1xsin y01ysin -xxyxy0，则极限lim0f(x,y0y 0(C )(A)不存在；等于 2(提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小)(B)等于1；(C)等于 0；(D)设函数f(x,y)xyx20y22x2x2y2y贝V f(x,y)(A )(A)处处连续；连续；(C)仅在(0,0)点连续;处连续(B)处处有极限，但不(D)除

2、(0,0)点外处34?4(提示：在X2y20,f(x,y)处处连续；在X 0, y2，令y kx lim limk - 0 f (0,0)故在.x2y20，函数亦连续。所以，f(x,y)在整个定义域内处 处连续。)4、函数z f(x,y)在点(X0,y)处具有偏导数是它在该点存在全微分的(A )(A)必要而非充分条件； 条件；(C)充分必要条件； 又非必要条件yuarcta nx(D)则fx(2,1)(C)2；(A)(B)(C)(B)充分而非必要(D)既非充分f (x, y) arcs in”.5z InG/x込), 贝V x二x、 若(C )(A)x y；(B)x,；(C)2；zyy(D)a

3、rcta nxyD)C )(A)v u若)f (x,2x)(A)(B)210(A)1(B);u v22u v3x, fx(x,2x)6xfygx)(B) 1+ln2(C)2x(二x(C)(D)i)(21)(D11、设函数(B )(A)极大值点但非最大值点;极大值点且是最大值点；(C)极小值点但非最小值点;1 . x y2，则点(0,0)是函数(D)6极小值点且是最小值点。12、设函数zf(x,y)具有二阶连续偏导数，在Po(Xo,yo)处, 有(C )fx(Po)0, fy(Po)0, fxx(Po) fyy(Po)0, fXy(Po) fyx(R)(A)占Po是函数z的极大值点；Po是函数z

4、的极小值点；(C)点Po非函数z的极值点；条件不够，无法判定。 二、填空题 极限x叫警=ZVy2x、极限lx*=x/x yln(x y)的定义域为 的定义域为y2，则占八、(D)1、2、3、4、5、k26、答:答:ln2函数函数。答:答:0设函数f(x,y)f (x,y)x2y2xyln丿x,贝V f (kx,ky)=答:设函数f (x,y)旦，则f(xx yy,x y)=。 答:(Q f(x y,x y)(X y)(x y) x (x y) (xy)7、设z sin(3x y)。答: 3cos57828、 函数z z(x, y)由方程X y z e(xyz)所确定，则一ZXr209、设u x

5、lnxy，则一=。x y -答：丄y9、_ 函数z 2x23y24x 6y 1的驻点是_ 。答：(1,- 1)三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形(1)z小x2y2(2) zln(x y)(3)z(4)zln(xy 1)解：要使函数zQTT 有意义，必须有1 x2y20，即有x2y21.故所求函数的定义域为D (x,y)|x2y21,图形为图3.1要使函数z ln(x y)有意义，必须有x y 0.故所有 函数的定义域为D (x,y)|x y 0，图形为图 3.2(3)要使函数zln(x1y)有意义，必须有ln(xy) 0，即x y 0且x y 1.故该函数的定义域为D (

6、x, y) |x y 0, x y 1，图形为图93.310(4)要使函数z ln(xy 1)有意义，必须有xy 1 0.故该 函数的定义域为D(x,y)|xy 1，图形为图 3.4x+y=0图 3.13.2x+y=0 y=1/xx勺x+y=111图 3.33.4z(x, y)由方程xy2z x y z所确定，求。答:y2xyz 11 xy22、解:求极限x叫y oxlime=；04、16xxye416 xyxyex(4 =Lim0-xyy 0J16 xy)=-8xy3、设函数z12又因A Lxx0.06 0,BLxy0.01, C Lyy0.06，得3AC B 3.5 100.4、设z yx

7、ln(xy)，求,。x y解：zxyxl nyl n xy - yxj xyx 1l n(xy)丄yxxy1、 应用题。10元与 9 元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是400 2x 3y 0.01(3x2xy 3y2)元求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少?解：L(x, y)表示获得的总利润，则总利润等于总收益与费用之即有L(x,y) (10 x9y)400 2x 3y0.01(3x2xy3y2)8x2 26y 0.01(3x xy 3y )400,(x0,y 0)令Ly黑;(寫0，解得唯一驻点(120,80)xx13得极大值L(120,80) 320.根据实际情况，此极大值就是最大值故生产 120 单位产品甲与 80 单位产品14z二fxFz 12xyFzFz333、设 x x(y z) y y(x z)z) 0 所确定的具有连续偏导数的函数解：因为_Afyfz_zfxyFxzFyxFzz)(辛)1乙时所得利润最大 320 元.五、证明题1 11、设z e求证x2二y2二2zx y1 1因为二e$xx21)V 所x21 1zy2丄e(Hx y1 1( )ex y2z2 设 2sin(x2y 3z ) x 2y 3z证明：设 F(x y z) 2sin(x 2yF