【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第8单元 8.6 椭圆随堂训练 理 新人教B版

1、8.68.6椭椭圆圆一、选择题一、选择题1 1椭圆椭圆x x2 22525y y2 29 91 1 上一点上一点M M到焦点到焦点F F1 1的距离为的距离为 2 2，N N是是MFMF1 1的中点，则的中点，则| |ONON| |等于等于( () )A A2 2B B4 4C C8 8D.D.3 32 2解析：连接解析：连接MFMF2 2，已知，已知| |MFMF1 1| |2 2，又，又| |MFMF1 1| | |MFMF2 2| |1010，| |MFMF2 2| |1010| |MFMF1 1| |8 8，如图，如图，| |ONON| |1 12 2| |MFMF2 2| |4.4.

2、答案：答案：B B2 2椭圆椭圆x x2 29 9y y2 24 4k k1 1 的离心率为的离心率为4 45 5，则，则k k的值为的值为( () )A A2121B B2121C C19192525或或 2121D.D.19192525或或 2121解析：若解析：若a a2 29 9，b b2 24 4k k，则，则c c 5 5k k，由，由c ca a4 45 5即即5 5k k3 34 45 5得得k k19192525；若若a a2 24 4k k，b b2 29 9，则，则c ck k5 5，由，由c ca a4 45 5，即，即k k5 54 4k k4 45 5，解得，解得k

3、 k21.21.答案答案：C C3 3已知如图，椭圆已知如图，椭圆x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a a b b0)0)上一点上一点P P，F F1 1、F F2 2为椭圆的焦点，若为椭圆的焦点，若F F1 1PFPF2 2，则则PFPF1 1F F2 2的面积等于的面积等于( () )A Aa a2 2tantan2 2B Ba a2 2cotcot2 2C Cb b2 2tantan2 2D Db b2 2cotcot2 2解析：在解析：在PFPF1 1F F2 2中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：2|2|PFPF1 1| | |PFPF2 2| |coscos|

4、 |PFPF1 1| |2 2| |PFPF2 2| |2 2| |F F1 1F F2 2| |2 2(|(|PFPF1 1| | |PFPF2 2|)|)2 22|2|PFPF1 1| | |PFPF2 2| | |F F1 1F F2 2| |2 2(2(2a a) )2 22|2|PFPF1 1| | |PFPF2 2| |(2(2c c) )2 2( (其中其中c c2 2a a2 2b b2 2) )| |PFPF1 1| | |PFPF2 2| |(1(1 coscos) ) 2 2b b2 2， S SF F1 1PFPF2 21 12 2| |PFPF1 1| | |PFPF

5、2 2| |sinsin1 12 22 2b b2 21 1coscossinsinb b2 2tantan2 2. .答案：答案：C C4 4椭圆椭圆x x2 25 5y y2 24 41 1 的右焦点为的右焦点为F F，设设A A( (5 52 2， 3 3) )，P P为椭圆上的动点为椭圆上的动点，则则| |APAP| |5 5| |PFPF| |取得最小值时取得最小值时P P点的坐标是点的坐标是( () )A A( (5 52 2， 3 3) )B B(5,0)(5,0)C C(0,2)(0,2)D D(0(0，2)2)或或(0,2)(0,2)答案：答案：A A二、填空题二、填空题5

6、5如图，已知点如图，已知点P P是以是以F F1 1、F F2 2为焦点的椭圆为焦点的椭圆x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a a b b0)0)上一点，若上一点，若PFPF1 1PFPF2 2，tantanPFPF1 1F F2 21 12 2，则此椭圆的离心率是，则此椭圆的离心率是_解析解析：本题考查椭圆离心率的求法本题考查椭圆离心率的求法由题得由题得PFPF1 1F F2 2为直角为直角三角形三角形，设设| |PFPF1 1| |m m，则则 tantanPFPF1 1F F2 21 12 2，| |PFPF2 2| |m m2 2，| |F F1 1F F2 2|

7、 |5 52 2m m，e ec ca a| |F F1 1F F2 2| | |PFPF1 1| | |PFPF2 2| |5 53 3. .答案：答案：5 53 36 6(2009(2009江苏江苏) )如图如图，在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中，A A1 1、A A2 2、B B1 1、B B2 2为椭圆为椭圆x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a a b b0)0)的四个顶点，的四个顶点，F F为其右焦点，直线为其右焦点，直线A A1 1B B2 2与直线与直线B B1 1F F相交于点相交于点T T，线段，线段OTOT与椭圆的交点与椭圆的交点M M

8、恰恰为线段为线段OTOT的中点，则该椭圆的离心率为的中点，则该椭圆的离心率为_解析：直线解析：直线A A1 1B B2 2的方程为的方程为x xa ay yb b1 1，即，即bxbxayayabab，直线直线B B1 1F F的方程为的方程为x xc cy yb b1 1，即，即bxbxcycybcbc，解解联立方程组得联立方程组得x x2 2acaca ac c，y yb b( (a ac c) )a ac c，所以，所以，T T2 2acaca ac c，b b( (a ac c) )a ac c，则，则M Macaca ac c，b b( (a ac c) )2(2(a ac c) )

9、 . .由已知条件：由已知条件：a a2 2c c2 2a a2 2( (a ac c) )2 2b b2 2( (a ac c) )2 24(4(a ac c) )2 2b b2 21 1，整理得整理得 3 3a a2 21010acacc c2 20 0，即，即e e2 21010e e3 30 0，又，又 00e e1.1.解得解得e e2 2 7 75.5.答案答案：2 2 7 75 57 7已知椭圆已知椭圆x x2 23 3y y2 21 1 的左的左、右两个焦点分别为右两个焦点分别为F F1 1和和F F2 2，点点P P为椭圆上任意一点为椭圆上任意一点，点点E E在在椭圆的右准线

10、上给出下列命题：椭圆的右准线上给出下列命题：则其中所有正确命题的序号为则其中所有正确命题的序号为_解析解析：本题考查椭圆的定义本题考查椭圆的定义，有关量的运算及位置关系有关量的运算及位置关系椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为x x2 2( ( 3 3) )2 2y y2 21 12 21 1，此时此时 coscosF F1 1QFQF2 2( ( 3 3) )2 2( ( 3 3) )2 2(2(2 2 2) )2 22 2 3 3 3 309090，所以在椭圆上存在点，所以在椭圆上存在点Q Q，使，使F F1 1QFQF2 29090，对；对；答案：答案：三、解答题三、解答题8 8设设P P是

11、椭圆是椭圆x x2 2a a2 2y y2 21(1(a a1)1)短轴的一个端点短轴的一个端点，Q Q为椭圆上的一个动点为椭圆上的一个动点， 求求| |PQPQ| |的最大值的最大值解答：依题意可设解答：依题意可设P P(0,1)(0,1)，Q Q( (x x，y y) )则则| |PQPQ| |x x2 2( (y y1)1)2 2. .又因为又因为Q Q在椭圆上，所以在椭圆上，所以x x2 2a a2 2(1(1y y2 2) )| |PQPQ| |2 2a a2 2(1(1y y2 2) )y y2 22 2y y1 1(1(1a a2 2) )y y2 22 2y y1 1a a2

12、2(1(1a a2 2)()(y y1 11 1a a2 2) )2 21 11 1a a2 21 1a a2 2. .因为因为| |y y| |1 1，a a11，若，若a a 2 2，则，则| |1 11 1a a2 2| |1 1，当当y y1 11 1a a2 2时，时，| |PQPQ| |取最大值取最大值a a2 2a a2 21 1a a2 21 1；若；若 11a a 0)0)的准线的准线l l与与x x轴轴相交于点相交于点A A，| |OFOF| |2|2|FAFA| |，过点，过点A A的直线与椭圆相交于的直线与椭圆相交于P P、Q Q两点两点(1)(1)求椭圆的方程及离心率

13、；求椭圆的方程及离心率；(2)(2)若若，求直线，求直线PQPQ的方程；的方程；解答：解答：(1)(1)由题意，可设椭圆的方程为由题意，可设椭圆的方程为x x2 2a a2 2y y2 22 21(1(a a 2 2) )由已知得由已知得a a2 2c c2 22 2，c c2(2(a a2 2c cc c).).解解得得a a 6 6，c c2.2.所以椭圆的方程为所以椭圆的方程为x x2 26 6y y2 22 21 1， 离心离心率率e e6 63 3. .(2)(2)由由(1)(1)可得可得A A(3,0)(3,0)设直线设直线PQPQ的方程为的方程为y yk k( (x x3)3)由

14、方程组由方程组x x2 26 6y y2 22 21 1，y yk k( (x x3)3)，得得(3(3k k2 21)1)x x2 21818k k2 2x x2727k k2 26 60.0.依题意依题意12(212(23 3k k2 2)0)0，得，得6 63 3 k k b b0)0)分别设分别设M M、N N和和P P点坐标为点坐标为( (c,c,0)0)，( (c,c,0)(0)(c c0)0)和和( (x x0 0，y y0 0) )tantantan(tan(N N) )tantanN N2 2，由题设知：由题设知：y y0 01 12 2( (x x0 0c c) )，y y

15、0 02(2(x x0 0c c).).解得：解得：x x0 05 53 3c c，y y0 04 43 3c c. .即即P P( (5 5c c3 3，4 4c c3 3) )在在MNPMNP中，中，MNMN2 2c c，MNMN上的高为上的高为4 43 3c c，S SMNPMNP1 12 22 2c c4 43 3c c1 1，c c3 32 2. .又又| |PMPM| | ( (x x0 0c c) )2 2y y2 20 02 2 15153 3，| |PNPN| | ( (x x0 0c c) )2 2y y2 20 015153 3. .a a1 12 2(|(|PMPM|

16、| |PNPN|)|)15152 2，从而，从而b b2 2a a2 2c c2 23 3，故所求椭圆方程为故所求椭圆方程为4 4x x2 21515y y2 23 31.1.1 1若动点若动点( (x x，y y) )在曲线在曲线x x2 24 4y y2 2b b2 21(1(b b0)0)上变化，则上变化，则x x2 22 2y y的最大值为的最大值为( () )A.A.b b2 24 44 4(0(0b b4)4)2 2b b( (b b4)4)B.B.b b2 24 44 4(0(0b b2)2)2 2b b( (b b2)2)C.C.b b2 24 44 4D D2 2b b解析：

17、由解析：由x x2 24 4y y2 2b b2 21 1，得，得x x2 24(14(1y y2 2b b2 2) )，b by yb b，x x2 22 2y y4(14(1y y2 2b b2 2) )2 2y y4 4b b2 2y y2 22 2y y4 44 4b b2 2( (y yb b2 24 4) )2 2b b2 24 44 4，当当b bb b2 24 4 b b，即，即 00b b4 b b0)0)的左的左、右焦点分别是右焦点分别是F F1 1、F F2 2，离心率为离心率为e e. .直线直线l l：y yexexa a与与x x轴、轴、y y轴分别交于点轴分别交于

18、点A A、B B，M M是直线是直线l l与椭圆与椭圆C C的一个公共点的一个公共点P P是点是点F F1 1关于直关于直线线l l的对称点设的对称点设. .(1)(1)试证：试证：1 1e e2 2；(2)(2)确定确定的值，使得的值，使得PFPF1 1F F2 2是等腰三角形是等腰三角形解答：解答：(1)(1)证明：因为证明：因为A A、B B分别是直线分别是直线l l：y yexexa a与与x x轴、轴、y y轴的交点，所以轴的交点，所以A A、B B的的坐标分别是坐标分别是( (a ae e，0)0)，(0(0，a a) )由由y yexexa a，x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21 1，得得x xc c，y yb b2 2a a. .这里这里c ca a2 2b b2 2. .所以点所以点M M的坐标是的坐标是( (c c，b b2 2a a) )由由AMAMABAB得得( (c ca ae e，b b2 2a a) )( (a ae e，a a) )即即a ae ec ca ae e，b b2 2a aa a. .解得解得1 1e e2 2. .(2)(2)因为因为PFPF1 1l l， 所以所以PFPF1 1F F2 29090BAFBAF1 1为钝角为钝角， 要使要使PFPF1 1F