大数定律和中心极限定理(NXPowerL)课件

1、大数定律和中心极限定理(NXPowerL)1第五章 大数定律和中心极限定理 关键词：关键词：契比雪夫不等式契比雪夫不等式大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理大数定律和中心极限定理(NXPowerL)21 大数定律 背景 本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证 为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式大数定律和中心极限定理(NXPowerL)3 22222,0,1XE XD XP XE XP XE X 设随机变量 具有数学期望方差则对于任意都有：定理的为：等价形式 ,XXf x证明： 仅就 为连续型时证之 设 的概率密度为 xPXfx dx则 22xxf x dx

2、221xfx dx222D X( )fxP127-128契比雪夫不等式 大数定律和中心极限定理(NXPowerL)4不等式说明不等式说明2( ,),(3 )(33 )XNP XPX 检验：当时 则2 (3) 10.9974 2(),(),(3 )XE XD XP X对于任意分布的 ，若记则由契比雪夫不等式：330.8889X即由契比雪夫不等式知道，对于任意分布的 落入区间（，）的概率均大于。0.99740.8889!可见， 符合以上结论2210.8889(3 ) 但要注意，虽然契比雪夫不等式可以对任意分布的随机变量落入其期望附近的对称区间进行估计，但只是粗略估计!大数定律和中心极限定理(NXP

3、owerL)5 例例1 1：n n重贝努里试验中，已知每次试验事件重贝努里试验中，已知每次试验事件A A出现的概率出现的概率为为0.750.75，试利用契比雪夫不等式，试利用契比雪夫不等式,(1),(1)若若n=7500,n=7500,估计估计A A出现出现的频率在的频率在0.740.74至至0.760.76之间的概率至少有多大；（之间的概率至少有多大；（2 2）估计）估计n,n,使使A A出现的频率在出现的频率在0.740.74至至0.760.76之间的概率不小于之间的概率不小于0.900.90。nA解：设在 重贝努里试验中，事件 出现的次数为X，,0.75XB n则,()0.75 ,()0

4、.1875 ,E Xnpn D Xnpqn nXAfAn又 事件的频率为：0.740.760.750.01XPP Xnnn(2)20.187510.01nn 187510.90n 18750n(1)7500,0.740.760.750.01XnPP Xnnn20.187510.01nn 0.75大数定律和中心极限定理(NXPowerL)6 随机变量序列依概率收敛的定义 ,( , )( , )(,( , )PPnnPnnXaYbg x ya bg XYg a b 依概率收敛性质：若且在处连续，则） 12,0,1,nnnnY YYalim P YaYaPYan 。定义：设随机变量序列若存在某常数

5、， 使得均有： 则称随机变量序列依概率收敛于常数 ， 记为：aaa大数定律和中心极限定理(NXPowerL)7122111,1,01limlim1.1.nnkknknnknPPkkXXXnXXnP XPXnXXn 定理一 契比雪夫定理的特殊情况 ： 设随机变量序列相互独立，且具有相同的数学期望 和相同的方差，作前 个随机变量的算术平均： 则，有： 即，或写为大数定律和中心极限定理(NXPowerL)8 111,nkkE XEXnnn证明：由于 11nkkD XDXn211nkkD Xn2221nnn22111nkknPXn 由契比雪夫不等式得：111nknklim PXn大数定律和中心极限定理

6、(NXPowerL)9 ,0,1AAnApnnAnlim Ppn定理二伯努利大数定理 设事件 在每次试验中发生的概率为 ，记为 次独立重复试验中 发生的次数 则有：,AnB n p证明：11,AAnEE nnppnnn20,1AnpqPpnn 有2211AAnpqDD nnpqnnnn1Annlim Ppn即得：由契比雪夫不等式：大数定律和中心极限定理(NXPowerL)10大数定律的重要意义大数定律的重要意义 贝努里大数定律揭示了在大量重复独立贝努里大数定律揭示了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意义，贝努里稳

7、定性，概率的概念才有客观意义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的方法，既然频率的方法，既然频率 与概率与概率 有较大有较大偏差的可能性很小，我们便可以通过做试验偏差的可能性很小，我们便可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应的概确定某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计，这种方法就是第率估计，这种方法就是第7 7章将要介绍的参章将要介绍的参数估计法，参数估计的重要理论基础之一就数估计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。是大数定理。/Annp大数定律和中心极限定理(NXPowerL)111211,101limlim1.nnkkn

8、knnkXXXnXXnP XPXn 定理三 辛钦定理 ： 设随机变量序列相互独立，服从同一分布，且存在数学期望 ，作前 个随机变量的算术平均： 则，有： 121n,1 nnkkXXXXn定理一表明，当 很大时，的算术平均:接近于它们共同的数学期望。而这种接近是在概率意义下的接近。此外，定理中要求随机变量的方差存在，但当随机变量服从相同分布时，就不需要这一要求。大数定律和中心极限定理(NXPowerL)12 例2：112111,( 1,1).111123nnnnkkkkkkXXXUXXXnnn设随机变量相互独立同分布，则（），（ ），（ ）分别依概率收敛吗？如果依概率收敛，分别收敛于什么？111

9、1222112111,(),(),()111 nnnnnnkkkkkkXXE XXXE XXXE XnXXXnnn解：对照辛钦大数定律，相互独立同分布，存在,相互独立同分布，存在,相互独立同分布，存在,故它们各前 个算术平均：，均依概率收敛。1()0,E X因为，11nkkPXn 0，111(),E Xxdx11同理，2212211(),E Xxdx112311nkkPXn 1，2211nkkPXn 1。3大数定律和中心极限定理(NXPowerL)1321222211n3,013:( ),0,0,lim1,=nnxxXf xXnXXXXXXPaan例设现对 独立观察次，其他观察值记为如果这些观

10、察值满足求？12,nXXX解： 由题意知，是具有独立同分布的随机变量22212,nXXX所以,它们的连续函数也是独立同分布的。2222221111nnXXXXXXnn是变量序列， ，的前 个算术平均，2()E X故由定理三（辛钦定理）得： 算术平均依概率收敛于122203()35aE Xxx dx大数定律和中心极限定理(NXPowerL)14 例4：1112,(0,1),nnnXXXUX XX设随机变量相互独立同分布，则依概率收敛吗？如果依概率收敛，收敛于什么？111,ln(lnln)nnnnnnYXXZYXXn解：令则1nZnnPZYee 所以的连续函数1ln,ln,nXX而是相互独立同分布

11、的，并且11100(ln)ln( ln)1 ,EXxdxxxx即存在数学期望。1.nPZ 由辛钦大数定律，大数定律和中心极限定理(NXPowerL)152 中心极限定理背景： 有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机变量的综合影响所形成的，而其中每个个别的因素作用都很小，这种随机变量往往服从或近似服从正态分布，或者说它的极限分布是正态分布，中心极限定理正是从数学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的时期内曾是概率论研究的中心课题。 大数定律和中心极限定理(NXPowerL)16 定理四独立同分布的中心极限定理210,1 .(,),nniinYNXN nn（近似）此定理表明，当 充分大时，近似

12、服从即：11niiXXn思考题（n足够大）：的近似分布是什么？2( ,)Nn答案：2122112,1,2,1,2niiniinnitxinnnXXXE XD XiXnnYnXnxRlim P Yxlim Pxedtn 设随机变量相互独立同分布，则前 个变量的和的标准化变量为：有： 1()()().niibnanP aXbnn 从而，注意：定理五的应用大数定律和中心极限定理(NXPowerL)17 定理六棣莫佛-拉普拉斯定理221,(1)2tbAnannplim P abedtnpp由前定理1 0 iiAXiA第 次试验时 发生证明：令第 次试验时 未发生 2201 ,1,lim,(1)2Atb

13、AnannAP Appnnpa bP abedtnpp设为 重贝努里试验中 发生的次数，则对任何区间(，有：12, (1, ).niXXXXbp则相互独立同分布,12,AnnXXX由于( , ),(,(1)AAnB n pnN np npp近似即: 若则 ()(1)()(1)AP anbbnpnppanpnpp 大数定律和中心极限定理(NXPowerL)18121616,X XX解：记 只电器元件的寿命分别为16116iiXX则只电器元件的寿命总和为,2100,100iiE XD X由题设2(1600,400 )XN近似根据独立同分布的中心极限定理: 192011920P XP X 1920

14、16001400 10.80.2119 161611()()()16*1001600iiiiE XEXE X16162211()()()16*100400iiiiD XDXD X例例5 5：设某种电器元件的寿命服从均值为：设某种电器元件的寿命服从均值为100100小时的小时的指数分布，现随机取得指数分布，现随机取得1616只，设它们的寿命是相互只，设它们的寿命是相互独立的独立的, ,求这求这1616只元件的寿命的总和大于只元件的寿命的总和大于19201920小时的小时的概率。概率。大数定律和中心极限定理(NXPowerL)195000,0.005XXb解：设 为一年内符合赔付条件的人数，则25

15、,25,(25,25)npnpqXN近似由中心极限定理得 200005000*16 200040000PX30 2520 25()2525) 11211 例例6 6：设保险公司的某项保险业务有：设保险公司的某项保险业务有50005000人参人参加，投保人交加，投保人交1616元元, ,若符合赔付条件时，保险若符合赔付条件时，保险公司付给投保人公司付给投保人20002000元。设赔付率为元。设赔付率为0.0050.005，试求保险公司在这项保险业务中盈利试求保险公司在这项保险业务中盈利2 2万到万到4 4万元的概率万元的概率. .2030PX0.6826大数定律和中心极限定理(NXPowerL)

16、20Y另解：设 为公司在该业务中的利润iiX设为公司在第 人业务中的所获得的利润500021( ,)iiYXN 近似则：(2000040000)2(1) 1=0.6826PY 1619840.0050.995ikXP 例例6 6：设保险公司的某项保险业务有：设保险公司的某项保险业务有50005000人人参加，投保人交参加，投保人交1616元元, ,若符合赔付条件时，若符合赔付条件时，保险公司付给投保人保险公司付给投保人20002000元。设赔付率为元。设赔付率为0.0050.005，试求保险公司在这项保险业务中盈，试求保险公司在这项保险业务中盈利利2 2万到万到4 4万元的概率万元的概率. .

17、2( )30000,( )9975iiE XD XE YD Y)=6,)=19900,2(30000,9975 )YN近似大数定律和中心极限定理(NXPowerL)218400 0.02 0.982.81721(1)10.99382.8npnpqnpP XP Xnpq ，,400,0.02 XXb解：设机器出故障的台数为则，分别用三种方法计算：1. 用二项分布计算40039921011 0.98400 0.02 0.980.9972P XP XP X 2. 用泊松分布近似计算400 0.028 ,21011 0.000335 0.0026840.9969npP XP XP X 3. 用正态分布

18、近似计算2621(2)10.98382.8npP XP Xnpq 例例7 7：设某工厂有：设某工厂有400400台同类机器，各台机器发生故台同类机器，各台机器发生故障的概率都是障的概率都是0.020.02，各台机器工作是相互独立的，各台机器工作是相互独立的，试求机器出故障的台数不小于试求机器出故障的台数不小于2 2的概率。的概率。P44P44大数定律和中心极限定理(NXPowerL)22 例例8 8：12012020202111,( 1,1)111123202020kkkkkkXXXUXXX设随机变量相互独立同分布，。分别求（），（），（）的近似分布。2020202111111202020kkkkkkXXX解：由中心极限定理，均近似服从正态分布。1()0,E X因为，11110(),E Xxdxxdx112214(),12D X132011(0,),20kkXN近似16022111()() (),D XE XE X1122011( ,)20kkXN近似11，2 2402422111()() (),D XE XE X1145945211( ,)nkkXNn近似11。3 22511222