第六节无穷小的比较ppt课件

1、1.6 无穷小的比较无穷小的比较,00 本节我们对一些尚未解决的极限问题做一点本节我们对一些尚未解决的极限问题做一点初步的讨论初步的讨论. .因为无穷大的倒数为无穷小因为无穷大的倒数为无穷小, , 我们用我们用“ “ 0 ”0 ”和和“ ”“ ”分别表示无穷小和无穷分别表示无穷小和无穷大大, , 则下列形式的极限都不能用极限运算法则求解则下列形式的极限都不能用极限运算法则求解: :, ,0 所以所以, , 和和 0都可以看做都可以看做 的变形的变形. .00由由,)()(1)(1)(1)()(xgxfxfxgxgxf 也是也是 的变形的变形. .00 原因是这些形式的极限值可能是任意的实数原因

2、是这些形式的极限值可能是任意的实数, , 也可能不存在也可能不存在. .我们称上述四种形式的极限为未定式的极限我们称上述四种形式的极限为未定式的极限, ,例如例如, ,lim0CxCxx ， 20limxxxxxxx1sinlim0不存在不存在. .另外另外, , 对幂指函数对幂指函数 ( ( 且且不恒等于不恒等于1), 1), 由由,)()(ln)()(xfxgxgexf )()(xgxf0)( xf及指数函数与对数函数的连续性及指数函数与对数函数的连续性, , 有有)(ln)(lim)()(limxfxgxgaxaxexf ,1 假如假如 为未定式的极限为未定式的极限, ,)(ln)(li

3、mxfxgax00为为 型未定式型未定式, ,)(ln)(xfxg即即那么那么 也是未定式也是未定式, ,)()(limxgaxxf且有以下三种形式：且有以下三种形式：,0 .0000而且这三种形式经过函数的恒等变形都可以化为而且这三种形式经过函数的恒等变形都可以化为的形式的形式. . 综上所述综上所述, , 两个无穷小之商的极限两个无穷小之商的极限, , 在极限在极限的的讨论中具有特别的地位讨论中具有特别的地位. . 实际上实际上, , 这样的极限是对两个无穷小趋于零的这样的极限是对两个无穷小趋于零的速度进行比较速度进行比较, , 简称无穷小的比较简称无穷小的比较. . 例如例如, , 当当

4、xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都都是是无无穷穷小小时时xxxxxx ;32要要快快得得多多比比 xx;sin大大致致相相同同与与xx不可比不可比. ., 0 , 1 xx1sinlim0 下面我们对无穷小趋于零的速度进行量化比较下面我们对无穷小趋于零的速度进行量化比较. .观察各极限观察各极限极限不同极限不同, , 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢程度不快慢程度不同同. .不存在不存在, , 0lim)3(高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比则则称称如如果果 ax定义定义1.11 (1.11 (无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较)

5、 ) . 0, 且且都都是是无无穷穷小小时时设设ax;, 0lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与则则称称如如果果 Cax;, 1lim)1(是是等等价价无无穷穷小小与与则则称称如如果果 ax).( o ; 记作记作记作记作注：在不太关心无穷小具体表示时注：在不太关心无穷小具体表示时, , 也把无穷小也把无穷小 记作记作).1(o例例1 1 证明当证明当 0,1)1()3( xx,0时时x证证 (1) (2)1 故故 (2) 成立成立. )0( ,)1ln( xxx故故xx )1ln()1( axaxln1)2( xxx)1ln(lim0 xxx10)1ln(lim ,1tax 令令el

6、n aatttlnln)1ln(lim0 .ln)1ln(atx 则则axaxxln1lim0 1 (3) 1)1( x1)1ln( xe 由由(1)有有 ,)1ln(xx 再由再由(2)有有 )1ln(1)1ln(xex ).0( ,1)1( xxx 故故, 0, 0)(lim0 kCxxfkx如如果果特别地特别地, , 如果当如果当 时时, , 是无穷是无穷小小, ,0 x)(xf习惯将习惯将 同幂函数进行比较同幂函数进行比较. . )(xf例例2 2 当当.sintan,0的阶数的阶数求求时时xxx 解解kxxxxsintanlim0 10cos1tanlimkxxxxx.3sintan

7、阶阶无无穷穷小小的的为为 xxx .3, 21时时即即当当 kk021sintanlim0 kxxxx.)(阶无穷小阶无穷小是是则称则称kxf常用等价无穷小常用等价无穷小: :,sinxxxx tan,arctanxx,)1ln(xx ,ln1axax ,21cos12xx ,arcsinxx时时当当0 x,)(之之和和与与它它的的高高阶阶无无穷穷小小 o.)( o 即即xx 2sinxx 一个无穷小一个无穷小,xx,等等价价仍仍与与原原无无穷穷小小 0,1)1( xx性质性质: :,0时时x例如例如, , 当当, 时时设设ax证证 axlim axlim axlim),(lim 或或且且Aa

8、x axlim则则 axlim axlim).(lim 或或Aax 定理定理1.22 (1.22 (无穷小的等价代换无穷小的等价代换) ).(lim 或或Aax 意义意义: : 利用等价无穷小代换可以简化极限的计算利用等价无穷小代换可以简化极限的计算. . .cos12tanlim20 xxx 解解,21cos1,02xxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 注意注意: 无穷小替换定理适用于乘、除情形无穷小替换定理适用于乘、除情形,无穷小代数和的情形需慎用无穷小代数和的情形需慎用. .例例3 3 求求.22tanxx.2sinsintanlim30 xxxx 解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当30)2(limxxxx 原原式式. 0 解解,0时时当当x)cos1(tansintanxxxx 321x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 例例4 4 求求解解 xxx2sin2arcsin9lim0 原式原式. 9 .)2sin1ln(1)2sinarc1(lim90 xxx ,91)1(9xx ,)1ln(xx xxx22lim90 ,0时时因因xxxxx22arcsin,22sin例例5 5 求求xxxxx2si