3.1.4空间向量的直角坐标运算ppt课件

1、一、复习引入一、复习引入( ,)pxiy j i jx y (1)若分别是轴上同方向的两个单位向量( ,)px y则的 坐 标 为1212(,),(,)aaabb b(2)若1122(,)a bab ab 12(,), ()aaaR若是若是 空间的一个基底，空间的一个基底， 是空间任意一向量，存在是空间任意一向量，存在唯一的实数组使唯一的实数组使 px aybz c , , a b c p 1 122a baba b 1122(,)abab ab一、复习引入一、复习引入1122/,()a bab abR11222121(,),(,),(,)A x yB xyABxx yy (3)若则1 12

2、20ababa b二、提出问题二、提出问题将平面向量的坐标表示如何拓展到空间呢？将平面向量的坐标表示如何拓展到空间呢？三、概念形成三、概念形成概念概念1.1.空间直角坐标系空间直角坐标系( (右手系右手系) )(1)(1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1 1，这个基底叫单位正交基底这个基底叫单位正交基底 ,ij k 用表 示(2)(2)在空间选定一点在空间选定一点 和一个单位正交基底和一个单位正交基底 ，以点，以点 为原点，分别以为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴：的方向为正方向建立三条数轴： 轴、轴、 轴、轴、 轴，它们都叫坐

3、轴，它们都叫坐标轴。我们称建立了一个空间直标轴。我们称建立了一个空间直角坐标系角坐标系 ，点，点 叫原叫原点，向量点，向量 都叫坐标向量都叫坐标向量。通过每两个坐标轴的平面叫坐。通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为标平面，分别称为 平面，平面， 平面，平面， 平面。平面。 O , , i j k O,ij k xyzOxyzO,ij k xO yyO zzO xxyzkjiO三、概念形成三、概念形成概念概念2.2.空间直角坐标系中的坐标空间直角坐标系中的坐标如图给定空间直角坐标系和向量如图给定空间直角坐标系和向量 ，设，设 为坐标向为坐标向量量, ,则存在唯一的有序实数组则存在唯一的有序

4、实数组 ，使使 ，有序实数组，有序实数组 叫作叫作向量向量 在空间直角坐标系在空间直角坐标系 中的坐标，记作：中的坐标，记作：a,ij k 123(,)aaa123aa iaja k123(,)aaa123(,)aa aaOxyzax xy yz zijka1a i2a j3a k于是，我们在空间向量集合的元于是，我们在空间向量集合的元素与三元有序实数组集合的元素素与三元有序实数组集合的元素建立了一一对应关系。建立了一一对应关系。123(,)aa aa三、概念形成三、概念形成概念概念3.3.空间向量的直角坐标运算空间向量的直角坐标运算123123(,),( ,)aa a abb b b设则;a

5、b;ab;a;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b加法加法减法减法数乘数乘内积内积三、概念形成三、概念形成概念概念3.3.空间向量的直角坐标运算空间向量的直角坐标运算111222( ,), (,)x y zB xyz设A则在空间直角坐标系在空间直角坐标系OxyzOxyz中中, ,212121(,)ABOBOAxx yy zz 一个向量在直角坐标系中的坐标等于这个向量的有一个向量在直角坐标系中的坐标等于这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。向线段的终点的坐标减去起点的坐标。提醒大家注意的是：提醒

6、大家注意的是：要分清楚空间直角坐标系下点的坐标和向量的坐标要分清楚空间直角坐标系下点的坐标和向量的坐标三、概念形成三、概念形成概念概念4.4.空间向量平行和垂直的条件空间向量平行和垂直的条件123123(,),( ,)aa a abb b b设则/ a b；。;ab112233,()ab ab abR312123aaabbb1 122330a ba ba b/ ,(0) ab bab0aba b1.1.知知三、概念形成三、概念形成概念概念3.3.空间向量的直角坐标运算空间向量的直角坐标运算(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1),2abcpa b qab c 例子：例子：求：求：, ,p

7、 q pq 2.2.已知向量已知向量 ，求向量，求向量 使得使得 ，且，且 。( 2,2,0),( 2,0,2)ab nnanb(1,0, 1),(0,3,1),1pqpq ( , , )nx y z设( , , )(1,1,1)nx x xx请同学们自己完成！请同学们自己完成！三、概念形成三、概念形成概念概念4.4.空间两个向量的夹角与向量长度的计算公式空间两个向量的夹角与向量长度的计算公式123123(,),( ,)aa a abb b b设则2221222213232| aa aaaa aaaaaa2221222213232| | | bb bbbb bbbbbb1.1.距离公式距离公式

8、(1)(1)向量的长度模公式向量的长度模公式(2)(2)空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，知在空间直角坐标系中，知、 ，那，那么么111(,)A xyz222(,)B xyz212121(,)ABxxyyzz222212121|()()()ABxxyyzz三、概念形成三、概念形成概念概念4.4.空间两个向量的夹角与向量长度的计算公式空间两个向量的夹角与向量长度的计算公式123123(,),( ,)aa a abb b b设则3.3.两个向量夹角公式两个向量夹角公式cos,| aba ba b1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbbab与

9、 同向ab与 反向留意：留意：(1)(1)当当 时，时， ；(2)(2)当当 时，时， ；(3)(3)当当 时，时， 。cos,1 a bcos,1 a bcos,0 a bab四、应用举例四、应用举例例例1.1.如图，在正方体如图，在正方体 中，中， 求求与与所成的角的余弦值。所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D1111114A BB ED F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO四、应用举例四、应用举例例例2.2.在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1ABC-A1B1C1中，中，AC=BC=1AC=BC=1，BCA=90BCA=90，AA1=2AA1=2，取，取A1B1A1B1、A1AA1A中点中点P P，Q Q：(1)(1)求求 的长；的长；(2)(2)求求 ，并比较，并比较 的大小；的大小；(3)(3)求证：求证：AB1C1PAB1C1P。BQ 111cos,cos,BQ CBBA CB 111,BQ CBBA CB 与A AB BC CA1A1B1B1C1C1P PQ Q四、应用举例四、应用举例例例3.3.已知空间三点已知空间三点A(0,2,3)A(0,2,3)，B(-2,1,6)B(-2,1,6)，C(1,-1,5)C(1,-1,5)：(1)(1)求以求以 为边的平行四边形的面积；为边的平行四边形的面积；(2)(2)假设假设