傅里叶光学复习提纲

1、光学信息技术原理与应用 复习提纲一、基本概念:1. 傅里叶变换，傅里叶逆变换；正变换 G(u)=-g(x)exp-j2uxdx 逆变换 g(x)=G(u)expj2uxdu -， 空间频率 G(，) 频谱 ，傅里叶谱，角谱物理意义： 1.一个空间函数 g(x，y) ，可视为向前传播的一列光波。2.它可分解为无穷多个传播方向不同的平面波。3.某一方向传播的平面波可视为一个空间单频信号。4.每个空间单频信号可看作原函数 g(x，y) 的傅里叶分量，其振幅是该频率的函数 G(，)。5.原函数 g(x，y) 可看作是所有傅里叶分量的加权的迭加， G(，) 是其权重 。2.频谱, 空间频率；空间频率：沿

2、某一特定方向传播的平面波具有单一的空间频率 。定义为:其中:cos 、cos为平面波的方向余弦。空间频谱 ：一般情况下可视为各平面波分量的振幅分布函数，高频分量的振幅较小，低频分量的振幅较大。3.脉冲响应，传递函数传递函数 ：改写为：Az(,z)=A0(,z)H(,)22其中H(,)=expjkz-cos-cos表征光的传播在频域中的特性。脉冲响应：惠更斯菲涅尔原理：普通光源可看作若干个单个球面波照明的集合。h称为脉冲响应函数它表示当P处有一点源时，在观察点Q处接收到的复振幅分布。y) 也称为 点扩展函数。4. 空间滤波, 高通滤波, 低通滤波, 带通滤波，振幅滤波, 位相滤波；空间滤波：利用

3、透镜的傅里叶变换特性，把透镜作为频谱分析仪，改变物体的频谱结构从而改变像的结构。1 / 10高通滤波： 通高频信号阻低频信号，滤除频谱中的低频部分，增强模糊图像的边缘，提高对图像的识别能力，实现衬度反转；能量损失较大，输出结果一般较暗。低通滤波：通低频信号阻高频信号，用于消除图像中的高频噪声和周期性网格。带通滤波：利用信号能量集中的频带不同，选择某些频谱分量通过，阻挡另一些分量。 振幅滤波：仅改变各频率成分的相对振幅分布，不改变其位相分布。位相滤波：仅改变各频率成分的相对位相分布，不改变其相对振幅分布。5. 光波的复振幅，平面波的空间频率，平面波的角谱；一般描述： U(P)=U0(P)expj

4、(P)发散汇聚 平面 A z (, z, y , z1 1 ) 称为 U z (x ) 的角谱。 coscosUt(x,y)=Ui(x,y)t(x,y) At=Ai*T孔径由单位振幅平面波垂直照明 Ui(x,y)=1Ai=At=*T=T6. （1） （222（3）频域（角谱）表达式： A(u,v)=A0(u,v)exp(jkz)exp-jz(u+v)A(u,v)=A0(,)H(,)H(u,v)=exp(jkz)exp-jz(u2+v2)A(u,v)衍射场角谱 A 0 ( , ) 孔径后角谱处的值。 1xy*强度分布I(x,y)=U(x,y)U(x,y)= A0 ,zzz227. 透镜的位相变换

5、作用，透镜的傅里叶变换性质；双凸透镜的几何特征，决定了它的中心厚度与边缘厚度有差别，光束通过时，由于位相延迟各处不同，产生波面弯曲，光束传播行为改变透镜产生了一个位相附加值，相当于一个位相变换器。k2tL(x,y)=exp-jx+y22f()k=21.光波经透镜，附加一个二次位相因2.上式的推导仅依赖于透镜本身特性 与入射光场无关； 3 虽从双凸透镜推出，但对任何形状透镜均适用 ； f 0为凸透镜，f 0为凹透镜。xfyfAk22Uf (xf,yf)=expj(xf+yf)t0(x0,y0)exp-j2(x0+y0)dx0dy0jf2fff- 物体位于透镜前紧靠透镜物体紧靠透镜时， 后焦面上可

6、得其傅里叶变换，空间频率为： u=xfff传播中有振幅衰减、位相延迟，还包括 附加的二次位相因子。说明物体紧靠透镜时，得到的不是准确的傅里叶变换； 焦平面上的强度分布为：,v=yf 物体位于透镜前相距 d0 处位相弯曲的影响被消除 。Akd0222U (x,y)=expj1-(x+y)t(x,y)exp-j(xfx0+yfy0)dx0dy0ffff000fjf2f ff-物体位于透镜前d0 处，后焦面上仍可得其傅里叶变换，空间频率不变；传播中有附加的二次位相因子，它还依赖于d0 的值， 当d0f 时，该位相因子等于1，影响消失，后焦面3 / 10上得到 物体位于透镜后 Afk22Uf(xf,y

7、f)=expj(xf+y2)t(x,y)exp-j(xfx0+yfy0)dx0dy0f000 jdd2dd-d 增大，可使后焦面上傅里叶变换的尺寸放大； d 缩小，可使傅里叶变换的尺寸缩小。 作用：改变物体与透镜的距离 ，可人为地控制频谱的收缩与展宽，空间滤波中有用。 正透镜的脉冲响应是点物在像平面的光场分布1、不考虑孔径的衍射作用时：点物成理想点像，像是物的准确相似形。2、考虑孔径的衍射作用时：像是脉冲响应与物的几何像的卷积。3、脉冲响应是孔径的傅里叶变换或夫朗和费衍射图样，中心在（-Mx0, -My0）点。 8. 衍射受限系统, 阿贝成像理论；所谓衍射受限 是指仅仅考虑系统的衍射限制， 不

8、考虑系统的几何像差。在衍射受限系统中，光的衍射仅受到系统孔径光阑尺寸的限制，因此在考察衍射受限系统时，实际上主要考察孔径光阑的衍射作用。如果入（出）射光瞳无限大，则光的衍射不受系统的限制，点物应该成理想的点像。然而，对于有限大的孔径，点物不可能成理想的点像。由于高频分量被有限孔径阻挡，不能参与成像，因而点物不能成理想点像 。衍射受限系统的脉冲响应：用单色光照明时，脉冲响应是出射光瞳 P（x,y） 的夫朗和费衍射图样 ，中心在几何光学的理想像点处。阿贝成像理论or 阿贝二次衍射成像理论：（详见书中145页）成像过程包含了两次衍射过程：由物面到后焦面，物体衍射光波分解为各种频率的角谱分量，即不同方

9、向传播的平面波分量，在后焦面上得到物体的频谱。这是一次傅里叶变换过程。由后焦面到像面，各角谱分量又合成为像，这是一次傅里叶变换逆过程。9. 相干成像系统的点扩展函数, 相干传递函数；相干照明系统中，脉冲响应是点物产生的衍射斑的振幅分布。u=xfd,v=yfd=FP(i,i)点源的“像斑”等于出瞳的夫朗和费衍射图样在=ii,=ii的值。像的强度： Gi=HGgGi：像平面的频谱响应Gg：几何像的频谱 H=F(xi,yi)相干传递函数CTF 4 / 1010. 非相干成像系统的点扩展函数, 光学传递函数；Ii(xi,yi)=khIxi-x0,yi-y0 Igx0,y0 dx0dy0 =khI(xi

10、,yi)*Ig(xi,yi)-+()非相干照明系统中，像的强度是脉冲响应与理想几何像强度的卷积。 非相干照明系统的脉冲响应：点物产生的衍射斑的强度分布。非相干照明系统与相干照明系统脉冲响应的关系 hI(xi,yi)kh(xi,yi)像强度 Ii(xi,yi)=khI(xi,yi)*Ig(xi,yi光学传递函数的规范化值 OTF2Ai(,)=HI(,)Ag(,)= -j2(uxi+vyi) dxidyi hI(xi,yi)exphI(xi,yi)dxidyi-11. 成像系统的截止频率；光瞳的尺寸是有限的，物函数的空间频率分量不可能全部通过光瞳而进入系统，把能够通过系统的最大频率称为截止频率记为

11、 fcut。 12. 光学信息处理。光学信息处理：指用光学方法实现对输入信息的各种变换或处理。这些输入信息可以是光信息，也可以是电信号或声信号，但需要用电光、声光转换器件，把它们变为光信号，再输入光学系统处理。 二、基本技能：1、简单和复合孔径的数学描述：矩孔、圆孔、单缝、多缝、矩形光栅、余弦光栅等；余弦型位相光栅：余弦型振幅光栅：xy1mt(x0,y0)=+cos(2u0x0)rect 0rect 022LLxymt(x0,y0)=expjcos(20x0)rect 0rect 02LL2、函数的运算，卷积和相关的运算，图解表示； 函数的性质：偶函数性质： （ - x ) = （ x )筛选

12、性质： -f (x)(x-x0)dx=f (x0)乘积性质：f(x)(x-x0)=f(x0)(x-x0)卷积性质：f(x)*(x)=f(x) f(x)*(x-x0)=f(x-x0)梳状函数 comb(x)间隔为： (x-n)=1n=-+ -n=comb n=-5 / 10x1x卷积： g(x)=f(x)*h(x) =+-f( )h(x- )d步骤： 置换变量： f1 () 和 f2 ()第一步 翻转：将 f2 ()翻转，得到 f2 (-)第二步 平移：将 f2 (-) 平移到x处，得到 f2 (x-) 第三步 相乘： f1 () × f2 (x-)+) d第四步 积分： - f1 (

13、 ) f2 ( x - 求曲线下的面积。相关： rfg(x)=f(x)g(x)=f(x)*g*(-x)=-f()g*(-x)d第一步 取复共轭 第二步 平移 第三步 相乘 第四步 积分 当 g(x)为实偶函数时： 3、常用函数的傅里叶变换和逆变换，利用傅里叶变换的性质和定理求较复杂函数的傅里叶变换，图解表示； F1=(,) F(,)=1+f(x)g(x)f(x)*g(x)(x)=comb(u) Fcomb()=comb(u) 梳状函数的F.T.仍为梳状函数 Fcomb Frect(x)=sinc()n(x)=rec(t) Fsic1x(x)=Gaus() FGaus F(x-a)=exp(-j

14、2ua) Fex(pj20a)=(-0) Fcos(20x)=1(-0)+(+0)2Fsin(20x)=Ftri(x)=sinc2()1(-0)-(+0)2jr Fcirc r022J1(2a)=a2aFcirc(r)=J1(2)4、平面波和球面波复振幅的数学描述； 见基本概念第5条5、透镜的傅里叶变换功能和成像特性，傅里叶变换定理的光学模拟；见基本概念第7条傅里叶变换定理的光学模拟：L1：扩束镜 L2：准直透镜L3：傅里叶变换透镜t0：物体必须取平面透明物 照明光束可以是单色光，也可用复色光。6 / 106、简单孔径和光栅的夫琅和费衍射图样的计算和画图（含透镜焦平面上的复振幅和光强分布）；

15、矩孔衍射：设：矩孔的长、宽分别为a，b 透过率函数 t(x,y)=rectx0recty0 00abU0(x0,y0)=t(x0,y0)x0y0=FFFFU0(x0,y0）rectrect =sinc(au)sinc(bv)u=x,v=yabzz双缝衍射：圆孔衍射2J1(2a)a2ar=z22J1(kar/z0)akar/z0ddxU0=t(x0)=rect 0* x0-+ x0+22ax0ddFFU0(x0)=FFrect FF x0-+ x0+22akx2axdx2a=exp(jkz0)expjz0z0jz02z02a2ax2dxI(x)= sinc()cos() zzz00027 / 1

16、07、简单出瞳的相干传递函数与光学传递函数的截面图，截止频率的计算。例1、边长为 l 的方孔（出瞳），求相干传递函数 H 和 fcutxyP(x,y)=rect rect 第一步：求光瞳函数表达式：l第二步：求 H第三步：求 fC：将传递函数 H 变为标准型，可求得截至频率。uv H(u,v)=rect l /drect l/dii例2、衍射受限系统的出瞳是边长为l 的正方形，求：该系统的OTF 和截止频率fcut-Ixy第一步：求光瞳函数表达式： P(x,y)=rect rect 第二步：用图解法求重叠面积:ll(l-i)(l-i) , 重叠面积=ldil,i2ii=重叠面积总面积(l-)(

17、l-)/l,=uv 1 1 u v l/d l/d l /d l /diiiilil,i fcutI=2fcutOTF的截止频率是CTF的两倍。三、综合能力：1、阿贝波特实验的数学分析和图解表示；1.阿贝波特实验充分证明了阿贝成像理论的正确性：像的结构直接依赖于频谱的结构，只要改变频谱的组分，便能够改变像的结构 2实验充分证明了傅里叶分析的正确性：（1）频谱面上的横向分布是物的纵向结构的信息频谱面上的纵向分布是物的横向结构的信息。（2）零频分量是一个直流分量，它只代表像的本底。 （3）阻挡零频分量，在一定条件下可使像发生衬度反转。（4）仅允许低频分量通过时，像的边缘锐度降低；仅允许高频分量通过

18、时，像的边缘效应增强。（5）采用选择型滤波器，可望完全改变像的性质。2、几种典型的光学图象处理原理和方法（包括空域调制和频域调制），8 / 10先用不同方位角的光栅分别对输入图像的不同区域预先进行调制。这样制成的编码物片放在系统的物面上，用白光点光源照明时，在频谱面上与图像各区域相对应的频谱成分出现在不同方位上，不同方向的频谱均呈彩虹颜色。用狭缝做滤波器，在不同方位角上可抽取不同区域的像，如果在滤波器上开一些小孔，在不同的方位角上，小孔可选取不同颜色的谱，将得到一个假彩色的输出图像。用黑白胶片保存彩色图像 （任何颜色都由红、绿、蓝 三原色按比例合成）彩色图像的编码和存储：用取向不同的光栅对图像进行编码。按彩色胶片、滤色片、Ronchi光栅和黑白照相底片的顺序米接触曝光。滤色片分别采用红、绿、蓝三色，对每一种滤色片，光栅取不同的方向。三次曝光在同一张黑白底片上，经显影、定