数值分析模型

1、 数 学 建 模 电 子 教 案第 9 教学周/星期 三 /第 3、4 节/第 13 次课课 题第六章 数值分析模型 6.1插值法 教学内容1、插值定义，常用的插值函数是多项式与样条函数：拉格朗日(lagrange)插值，埃尔米特插值，三次样条插值。2、曲线拟合定义，常用的三种拟合准则：最小二乘准则，最小一乘准则，极小极大准则。教学目标1、 理解插值定义和曲线拟合定义2、 掌握拉格朗日(lagrange)插值，埃尔米特插值，3、 了解三次样条插值掌握最小二乘准则，最小一乘准则，极小极大准则的计算方法。教学重点 插值法和曲线拟合教学难点 三次样条插值双语教学内容、安排 Numerical ana

2、lysis model 数值分析模型 Inserting value method 插值法Spline function 样条函数教学手段、措施 以板演为主，多媒体与课堂讨论为辅作业、后记讨论体：P163: T1教学过程及教学设计备注 6.1插值法一、 插值1、插值定义由实验或测量得到的某一函数 在一系列点处的值，需要构造一个简单函数作为函数 的近似表达式：，使得 (6-1)这类问题称为插值问题。称为被插值函数，称为插值函数 ， 称为插值节点；式(6-1)称为插值条件。2、常用的插值函数是多项式与样条函数。（1）拉格朗日(lagrange)插值取次多项式作为插值函数 （6-2） 利用插值条件有

3、： （6-3）其系数行列式为阶范德蒙行列式，因插值节点互不相同，所以方程组的解存在且唯一。其系数行列式为范德蒙(Vandermonde)行列式：由于插值节点互不相同，所以上述行列式不等于0，故由克莱姆(Cramer)法则知，方程组(6-3)的解存在而且是唯一的。实际上比较简单的方法不是解方程组(6-3),而是构造一组插值基函数.为此,首先求满足条件 （6-4）的次多项式。因为式（6-4）表明，除点以外，其他所有的节点都是次多项式的零点，故设 其中A为待定常数。由可得所以 （6-5）称之为拉格朗日插值基函数。利用插值基函数（6-5），可以构造多项式 （6-6）就是满足插值条件，的拉格郎日插值问题

4、的解，称式（6-6）为拉格朗日插值多项式。特别地，当时称为线性插值，其插值多项式为：满足 从几何上看， 为过两点 的直线。当时，称为抛物线插值，其插值多项式为： 满足。从几何上看为过点和 的一条抛物线。插值的误差估计见书中138页。（2）埃尔米特插值许多插值问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式被称为埃尔米特（Hermite）插值多项式设在节点上，要求插值多项式，满足条件 （6-7）由于（6-7）式给出了个条件，因此可以唯一确定一个次数不超过次多项式，其形式为。 根据（6-7）式来确定显然非常复杂。仿照拉格朗日插值多项式的

5、基函数方法，可先求插值基函数及。共个，每一个基函数都是次多项式，且满足条件 （6-8）于是满足条件（6-7）的插值多项式可写成 （6-9）由条件（6-8）式显然有 利用拉格朗日插值基函数，令 其中为（6-5）式所表示的基函数。 由条件（6-8）式可得整理得： 解出对两边取对数求导可得 于是 同理仿照拉格朗日插值余项的证明方法，若在内的阶导数存在，则其插值余项为其中，。（3）三次样条插值分段线性插值，具有良好的稳定性和收敛性，但光滑性较差。在数学上若函数（曲线）的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。易见，分段线性插值不光滑，这影响了它在某些工程技术实际问题中的应用。例如：在船体、飞机等

6、外形曲线的设计中，不仅要求曲线连续而且还要求曲线的曲率连续，这就要求插值函数具有连续的二阶导数。为解决这一类问题，就产生了三次样条插值。所谓样条（Spline），本来是指一种绘图工具，它是一种富有弹性的细长木条，在飞机或轮船制造过程中，被用于描绘光滑的外形曲线。使用时，用压铁将其固定在一些给定的节点上，在其他地方任其自然弯曲，然后依样画下的光滑曲线，就称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连续点即节点上，不仅函数自身是连续的，而且它的一阶和二阶导数也是连续的。从数学上加以概括，可得到样条函数的定义如下：三次样条函数记作，满足： 在每个小区间是三次多项式。 在每个内节点上具有二次连续

7、导数。 由三次样条函数中的条件知，有个待定系数。由条件知，在个内节点上具有二阶连续导数，即满足条件： （6-10）共有个条件。由条件，知，共有个条件。因此，要确定一个三次样条，还需要外加个条件，最常用的三次样条函数的边界条件有两类：第一类边界条件：第二类边界条件：特别地，称为自然边界条件。第三类边界条件： 称为周期边界条件。 三次样条插值不仅光滑性好，而且稳定性和收敛性都有保证，具有良好的逼近性质。样条插值函数的建立。构造满足条件的三次样条插值函数的表达式可以有多种方法。下面我们利用的二阶导数值表达，由于 在区间 上是三次多项式，故在上是线性函数，可表示为 （6-11）其中对积分两次并利用及，

8、可定出积分常数，于是得三次样条表达式 （6-12）上式中是未知的，为确定，对求导得 （6-13） 由此可得。类似地可求出在区间上的表达式，从而得利用 可得 （6-14） 其中 （6-15）对第一类边界条件，可导出两个方程 （6-16） 如果令， 则式（6-14）及其（6-16）可写出矩阵 （6-17） 通过求解上述三对角矩阵可求得。对于第二类边界条件，直接得端点方程 （6-18）如果令，则式（6-14）及式（6-18）也可以写成矩阵（6-17）的形式。对于第三类边界条件，可得 （6-19）其中， 则式（6-14）及式（6-19）可以写成矩阵形式 求解上述矩阵可得 。二、曲线拟合1、 拟合函数定

9、义通过实验等方法观测到反映某个函数的数据，要求利用这些数据构造出的近似表达式，上面介绍的插值法就是寻求近似函数的方法之一。但由于实验观测数据不可避免地带有误差，甚至是较大的误差，所以使用插值法是不合适的，它会保留数据的误差。因此，不必要求近似函数满足，而只要求偏差按某种标准最小，以反映所给数据的总体趋势，消除局部波动的影响，这就是曲线拟合问题。这样的函数称为拟合函数。2、拟合的准则衡量一个函数同所给数据的偏差的大小，常用的准则有如下三种：(1)最小二乘准则：使偏差的平方和最小，即。(2)最小一乘准则：使偏差的绝对值之和为最小，即。(3)极小极大准则：使偏差的最大绝对值最小，即。3、计算的方法(

10、1)最小二乘准则的计算方法设为个线性无关的函数，对给定的数据，求，使。 最小。利用极值的必要条件。 得到关于的线性方程组则方程组可表示为，其中，由于线性无关，所以是列满秩，是可逆矩阵，方程组的解存在且唯一，并且。常用的拟合曲线(a)取，得直线拟合。(b)取，得多项式拟合。(c)取，得多元线性拟合。(d)取 ，则得曲线拟合。还有许多非线性拟合，例如，S曲线，可通过变量代换，令，化为对的线性函数。一般地，已知一组数据，先画出数据的散点图，在直观判断的基础上，选几种曲线分别作拟 合，选择偏差平方和Q最小的曲线。(2)最小一乘准则下的计算方法设为个线性无关的函数，对给定的数据，求，使得达到最小。 易见

11、式中目标函数含有绝对值，为了去掉上式中的绝对值，令，则，且 （6-21）此时（6-20）式可改写为，相应地（6-21）式可改写为 （6-22）综合以上几个式子，求得的问题可归结为如下线性规划问题：为任意常数。 (3)极小极大准则下的计算方法设为个线性无关的函数，对给定的数据求，使 （6-24） 达到最小。上式可改写为。记，则求解的问题可归结为如下线性规划问题： 为任意常数（对教学内容及欲达目的、讲授方法加以说明）课 题第六章数值分析模型 6.2非线性方程求根-6.6估计水塔的水流量教学内容1、求非线性方程根的方法：不动点迭代法，牛顿法，弦截法与抛物线法，2、数值分析模型：孩子成长和学生考试成绩

12、问题，估计水塔的水流量教学目标1、掌握不动点迭代法，牛顿法，弦截法与抛物线法2、了解数值分析模型的建立、求解。教学重点求非线性方程根的方法教学难点数值分析模型的建立、求解。双语教学内容、安排 Numerical analysis model 数值分析模型 教学手段、措施以板演为主，多媒体与课堂讨论为辅作业、后记讨论题：P163: T3、T4教学过程及教学设计备注6.2非线性方程求根一、问题的提出本节主要讨论单变量非线性方程 （6-24） 求根问题，这里。在科学与工程计算中有大量方程求根问题，其中一类特殊的问题是多项式方程 （6-25）其中系数为实数。1、函数方程的解通常称为方程的根或函数的零点

13、。特别地，如果函数可因式分解为，且，则称是函数的重零点或方程的重根。2、对于充分可微的函数，是函数的重零点的充分必要条件是二、二分法1、原理：设函数在上连续，且。不妨设，根据连续函数存在定理知道，在上一定有实根。2、计算步骤（1）计算区间中点 对于预先给定的小量，若，那么就是所求的根 若，此时根据的符号确定新的分割区间。继续下去，得到，显然有，故方程的根的近似值为三、不动点迭代法1、不动点迭代法将方程（6-24）改写成等价的形式 （6-26）若要求满足，则；反之亦然，称为函数的一个不动点。求的零点就等价于求的不动点，选择一个初始近似值，将它代入（6-26）右端，即可求得。 可以如此反复迭代计算

14、， （6-27）称为迭代函数。如果对任何，由（6-27）得到的序列有极限。 则称迭代方程（6-27）收敛，且为的不动点，故称（6-27）为不动点迭代法。2、不动点的存在性与迭代法的收敛性（1）不动点的存在唯一性。定理1 设满足以下两个条件： （1）对任意的有。 （2）存在正常，使对任意都有 （6-28）则在上存在唯一的不动点。在的不动点存在唯一的情况下，可得到迭代法（6-27）收敛的一个充分条件。定理2 设满足定理1中的两个条件，则对任意，由（6-27）得到的迭代序列收敛到的不动点，并有误差估计 （6-29）对定理1和定理2中的条件（2），在使用时如果且对任意有 （6-30）则由中值定理可知对

15、有。它表明定理中的条件（2）可用（6-30）代替。3、局部收敛性与收敛阶上面给出了迭代序列在区间上的收敛性，通常称为全局收敛性。有时不易检验定理的条件，实际应用时通常只在不动点的邻近考察其收敛性，即局部收敛性。定义1 设有不动点，如果存在的某个邻域，对任意，迭代（6-26）产生的序列收敛且收敛到，则称迭代法（6-26）局部收敛。定理3 设有不动点，在的某个邻域连续，且，则迭代法（6-26）局部收敛。定义2 设迭代过程 收敛于方程的根，如果迭代误差满足下列渐进关系式。则称该迭代过程是阶收敛的，特别地，时称线性收敛，时称超线性收敛，时称平方收敛。定理4 对于迭代过程，如果在所求根的邻近连续，并且

16、，则该迭代过程在点 邻近是阶收敛的。上述定理告诉我们，迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数的选取，如果当 时，则该迭代过程只可能是线性收敛。6.3 牛顿法及其收敛性1、牛顿法设已知方程有近似根（假定 ），将函数在点展开，有于是方程可近似地表示为 （6-32）则可得近似计算公式为 （6-33）这就是牛顿（Newton）法。关于牛顿法（6-33）的收敛性，可直接由定理4得到，牛顿法在根的邻近是平方收敛的。又因，可得。 （6-34） 2、简化牛顿法与牛顿下山法(1) 简化牛顿法，也称平行弦法，其迭代公式为， （6-35）迭代函数。若，即取。在根附近成立，则迭代法（6-35）局部收敛。在（6-35）中取

17、，则称为简化牛顿法，这类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行弦与轴交点作为的近似。（2）牛顿下山法。为了防止迭代发散，我们对迭代过程再附加一项要求，即具有单调性： （6-36） 满足这项要求的算法称为下山法。我们将牛顿法和下山法结合起来使用，即在下山法保证函数值稳定下降的前提下，用牛顿法加快收敛速度。为此，我们将牛顿法的计算结果 与前一步的近似值适当加权平均作为新的改进值 （6-37） 其中 称为下山因子，（6-37）即为 （6-38）称为牛顿下山法。选择下山因子时从开始，逐次将减半进行试算，直到能使下降条件（6-36）成立为止。6.4 弦截法与抛物线法用牛顿法求方程根，每步除计算

18、外还要算，而计算 往往较困难，为此下面介绍两种常用方法。1、弦截法设是的近似根，我们利用构造一次插值多项式，并用的根作为的新的近似根。由于 （6-39） 因此有 （6-40）2、抛物线法（密勒（Mller）法）插值多项式有两个零点 （6-41）式中 为了从（6-41）中定出一个值，我们需要讨论根式前正负号的取舍问题。在三个近似根中，自然假定更接近所求的根，这时，为了保证精度，我们选式（6-41）中较接近的值作为新的近似根。为此，只要取根式前的符号与的符号相同。6.5 孩子成长和学生考试成绩问题（1）孩子成长问题一个男孩在11岁长到21岁过程中，身高的变化如表5-1所示，试找一个最佳的函数曲线来

19、表示这个男孩的成长过程。见表5-1 ti（从11岁起年龄）0 0.8 1.4 2.0 2.4 3.2 4.0 增长高度hi（cm） 0 0.74 2.25 5.25 8.25 15.00 21.38 ti（从11岁起年龄） 4.8 5.4 6.0 7.0 8.0 10.0 增长高度hi（cm） 26.25 28.88 30.60 32.25 33 35 （2）学生考试成绩问题：对8个学生测量其智商Iq和课后复习某门课时间t及该门课考试成绩g，得表5-2，试研究该门课考试成绩与智商和课后复习时间之间的关系。见表5-2。 智商（Iq） 105 110 120 116 122 130 114 102

20、复习时间（t） 10 12 6 13 16 8 20 15 考试成绩（g） 75 79 68 85 91 79 98 76 以上两个问题，均可以抽象为:通过实验等方法观测到反映某个函数的数据。要求利用这些数据构造出的近似表达式。上一节介绍的插值法就是寻求近似函数的方法之一。但由于实验观测数据不可避免地带有误差，甚至是较大的误差，所以使用插值法是不合适的，它会保留数据的误差。因此，不必要求近似函数满足，而只要求偏差按某种标准最小，以反映所给数据的总体趋势，消除局部波动的影响，这就是曲线拟合问题。6.6 估计水塔的水流量某居民区的民用自来水是由一个圆柱形的水塔提供，一般可以通过测量其水位来估计水的

21、流量。但问题是，当 水塔水位下降到设定的最低水位时水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，在水泵自动加水期间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水两次，每次约两小时。水塔是一个高12.2米，直径17.4米的正圆柱，当水塔的水位降至最低水位，约8.2米时，水泵自动启动供水当水塔的水位升高到一个最高水位，约10.8米时，水泵停止工作。表5-4是某一天的水位测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有4个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位记录，表5-4中用符号表示。试估计任何时刻（包括水泵正供水时）的用水率，及一天的总用水量。见表6-1模型假设及符号说明（1）模型假设 假

22、设水塔中流出的水流量只受社区的日常生活需要的影响，水的消耗每天大致差不多。 由Torricelli定律知，从水塔流出的最大流速正比于水位高度的平方根，题目中给出水塔的最高和最低水位分别为10.82米和8.22米，所以对于这两种高度，最大水流速度的比约为 ，这表明我们可以假设水塔中水位对水流速度影响忽略不计。 水泵工作时单位时间的供水量大致为常数，这个常数大于单位时间内从水塔中流出的水流的最大流速，这是因为居民区内一直需要用水，不允许水塔中的水用光。 水塔中水流量是时间的连续光滑函数，与水泵工作与否无关。这是因为虽然就个别用户而言可能用水量有较大的变化，但由于个人的用水量与整个居民区用水量相比是

23、非常小的，从统计意义上来讲，不太可能同时整个社区的用水量增长或减少。 水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度，且每次加水的工作时间为2小时，根据表6-1中的数据可知，水泵第一次供水时间段为 8.967,10.954，第二次供水时间段为20.839, 23.880。 符号说明：测量的时刻；：水位的高度；：水塔中水的体积；：水塔中水流速度，即流量；：第i时段用水量，即没有供水时间段用水量； ：第1和第2供水时间段用水量之和；：一天中总用水量。（2）问题分析 问题要求任意时刻的用水率，即求单位时间流出的水的体积，一般称为水流速度或流量。由于水塔是一个圆柱体，体积可以很容易地通过水位高度h计算出来，这

24、样在水泵不工作的时间段，水流速度就可以从体积对时间的导数计算出来，由于没有水的体积关于时间的函数表达式，而只能利用问题中给定的原始数据表6-1，通过体积公式计算出离散的在测量时刻的体积V，因此可以考虑用差商代替微商，也就是用离散代替连续的思想。为提高计算精度，采用二阶差商，即。由于所有数据被水泵两次供水分割成三组数据对每组数据的中间数据采用中心差商，前后两个数据不能采用中心差商，改用向前差商、向后差商或用中点公式进行差商。 中心差商公式： 向前差商公式： 向后差商公式： 中点公式：以上分析了水泵不工作的时段，用水率的计算。对于水泵供水时段的用水率，计算难度较大，我们只好用供水时间段前后的用水率进行插值或拟合而得到。有了任何时刻的用水率，可以采用数值积分计算一天的总用水量。（3）模型建立及求解通过以上对问题的分析，现在的问题已转化为根据某一天已测量的时刻水塔中水的流速，产生在整个区间（24小时）上的函数或函数值，一般来说插值和拟合是两种最常用的方法。分两步进行： 计算水流速度并画出散点图 计算水塔中水的体积