中数学必修5新教学案：第三章 不等式 小结与复习

1、第三章 小结与复习(学案)【知识归类】 （一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：.(2)传递性：.(3)加法法则：；.(4)乘法法则：；.(5)倒数法则：.(6)乘方法则：.(7)开方法则：.2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法3、应用不等式性质证明.（二）一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解法.一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格) 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R （三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

2、二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点，从的正负即可判断0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C0时，常把原点作为此特殊点）.3、线性规划的有关概念线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数线性

3、规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.（四）基本不等式1、如果是正数，那么2、基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”.【题型归类】题型一：用不等式表示不等关系例1 某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70

4、元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式.变式练习：咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g、4g、3g；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g,咖啡2000g,糖3000g.写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式.题型二：比较大小例2 (1)（）2 2；（2）（）2 （1）2；（3） .变式练习：（1）当ab0时，loga logb ;(2) (a+3)(a-5) (a+2)(a-4) ;(3) .题型三：利用不等式的性质求取值范围例3 如果,则(1) 的取值范围是

5、, (2) 的取值范围是 ,(3) 的取值范围是 , (4) 的取值范围是 .变式练习：已知，求的取值范围. 题型四：解一元二次不等式例4 解不等式：（1）；（2）.题型五：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解例5 设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为( ). ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 4变式练习： 已知x、y满足不等式组，试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标，及相应的z的最大值.题型六：利用基本不等式证明不等式例6 求证. 变式练习：已知，且所有字母均为正，求证：题型七：利用基本不等

6、式求最值例7若x>0,y>0,且,求xy的最小值.变式练习： 求(x>5)的最小值.【思想方法】1.数学思想：本部分用到的数学思想有：数形结合思想，转化与划归思想，分类讨论思想，函数与方程思想. 2.数学方法:本部分用到的数学方法有：比较法，图象法，转化法，平移法，放缩法等.1的三边分别是（均为正数），根据三角形边的性质能得到不等关系的个数为（ ）.（ A ） 4 ( B ) 5 （ C ） 6 （ D ） 72.已知，那么下列不等式成立的是（ ）.（ A ） ( B ) （ C ） （ D ）3.函数的定义域是 . 4. 所围成的平面区域的面积是 .5.设为正数，则的最小值

7、为（ ）.（ A ） 6 ( B ) 9 （ C ） 12 （ D ） 15 6. （2009湖南卷文）若，则的最小值为 .7. （2009天津卷理）设若的最小值为（ ）.（ A ） 8 （ B ） 4 （ C ）1 （ D ）8. （2009重庆卷文）已知，则的最小值是（ ）.( A ) 2 ( B ) ( C ) 4 ( D ) 5 9.已知是正实数，试比较与的大小. 10.关于的不等式的解集为，求不等式的解集. 11. （2009安徽卷理）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是（ ）.（A） （B） （C） （D） 12. （2009湖北卷文） 围建一个面积为36

8、0m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元).（）将y表示为x的函数：（）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.第三章 小结与复习(教案)【知识归类】 （一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：.(2)传递性：.(3)加法法则：；.(4)乘法法则：；.(5)倒数法则：.(6)乘方法则：.(7)开方法则：.2、应用不等式的性质比较两个实数的

9、大小；作差法3、应用不等式性质证明.（二）一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解法.一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格) 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R （三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点，从的正负即可判断0

10、表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C0时，常把原点作为此特殊点）.3、线性规划的有关概念线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数在线性约束条件下

11、的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.（四）基本不等式1、如果是正数，那么2、基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”.【题型归类】题型一：用不等式表示不等关系例1 某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式.【审题要津】根据买软件数和磁盘数的资金和不超过500元,同时注意题目要求进行列示. 解：设软件数为，磁盘合数为，依据题意可得：【方法总结】实际问题应有实际意义.变式练习：咖啡馆配

12、制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g、4g、3g；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g,咖啡2000g,糖3000g.写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式.解：设配制甲种饮料，配制乙种饮料.则题型二：比较大小例2 (1)（）2 2；（2）（）2 （1）2；（3） .【审题要津】(1)、（2）平方后直接作差；（3）需要分母有理化后作差.解：（1）（2）（3）【方法总结】比较两个数（或代数式）的大小可用作差法，含有无理数或因式的可采用先平方后在作差，分母含有根式的可先进行分母有理化.变式练习：（1）当ab0时，loga <

13、; logb ;(2) (a+3)(a-5) < (a+2)(a-4) ;(3) .题型三：利用不等式的性质求取值范围例3 如果,则(1) 的取值范围是, (2) 的取值范围是,(3) 的取值范围是, (4) 的取值范围是 .【审题要津】（1）用同向不等式相加；（2）先求出-2的范围，再用同向不等式相加；（3）用可乘积性；（4）先求的范围再用可乘积性. 解：略.【方法总结】1.同向不等式不能作差；2.同向不等式不能作商.变式练习：已知，求的取值范围.解：设=+=.题型四：解一元二次不等式例4 解不等式：（1）；（2）.【审题要津】对于不等式（1），可先求出一元二次方程的判别式，分析方程根

14、的情况，然后结合二次函数的图象可求得不等式的解集.对于（2），可先把二次项系数变为正数，然后同（1）解题过程.解：（1）令得方程有两根的解集为.（2）由得，以下同（1），不等式的解集为.【方法总结】解一元二次不等式的一般步骤是：（1）将不等式变形化为一般形式；（2）计算判别式；（3）根据判别式确定二次方程解得个数；（4）根据一元二次不等式解的结构，求出其解.题型五：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 例5 设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为(

15、 ). A. B. C. D. 4【审题要津】画出可行域，找出最优解，带入后得到的关系，然后适当变形求最小值. 解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.答案:A【方法总结】根据约束条件正确作出可行域，明确最优解是解决线性规划问题的关键.变式练习： 已知x、y满足不等式组，试求=300x+900y的最大值时的整点的坐标，及相应的的最大值. 解：由可行域和目标函数知

16、：当取整点时，有最大值，最大值为112500.题型六：利用基本不等式证明不等式例6 求证.【审题要津】根据题目特点，可采用比较法作差证明.证明：=-=.【方法总结】两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将差化积；第三步：定号.最后得出结论.变式练习：已知，且所有字母均为正，求证：证明：=-=.，即：题型七：利用基本不等式求最值例7若x>0,y>0,且,求的最小值.【审题要津】 因为x>0,y>0，且等式的左边用基本不等式后能够出现项，所以可直接把已知等式运用基本不等式. 解：由所以的最小值为2

17、.【方法总结】运用基本不等式求最值掌握的原则：一正、二定、三相等，有时需要适当的变形.变式练习： 求(x>5)的最小值. 解：=，当且仅当即时等号成立，所以(x>5)的最小值为26.【思想方法】1.数学思想：本部分用到的数学思想有：数形结合思想，转化与划归思想，分类讨论思想，函数与方程思想. 2.数学方法:本部分用到的数学方法有：比较法，图象法，转化法，平移法，放缩法等.1的三边分别是（均为正数），根据三角形边的性质能得到不等关系的个数为（ C ）.（ A ） 4 ( B ) 5 （ C ） 6 （ D ） 72.已知，那么下列不等式成立的是（ D ）.（ A ） ( B ) （

18、C ） （ D ）3.函数的定义域是. 4. 所围成的平面区域的面积是 8 .5.设为正数，则的最小值为（ B ）.（ A ） 6 ( B ) 9 （ C ） 12 （ D ） 156. （2009湖南卷文）若，则的最小值为.解: ，当且仅当时取等号.7. （2009天津卷理）设若的最小值为（ C ）.（ A ） 8 （ B ） 4 （ C ）1 （ D ）解：因为，所以，当且仅当即时“=”成立，故选择C8. （2009重庆卷文）已知，则的最小值是（ C ）.( A ) 2 ( B ) ( C ) 4 ( D ) 5解：因为当且仅当，且，即时，取“=”号.9.已知是正实数，试比较与的大小.解：10.关于的不等式的解集为，求不等式的解集.解：由已知得为方程的根且.代入不等式，得，又，所以不等式的解集为. 11.（2009安徽卷理）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是( A ).B（A） （B） （C） （D） AxDyCOy=kx+解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，设与的交点为D，则由知，选A. 12. （2009湖北卷文） 围建一个面