哈尔滨工业大学《现代控制理论基础》考试题A卷附答案

1、一（本题满分10分）注如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L,摆杆地质量忽略不计，摆杆，电末端两个质量块（质量均为M ）视为质点,两摆杆中点处连接一条弹簧，宀与比彳亍分别为两摆杆与竖直方向地夹角当q=02时,弹簧没有伸长和压缩.水平向右地外力f（t）作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位为移足够小,满足近似式sinT=T,cosT=1.创！ （ 1）写出系统地运动微分方程；（2）写出系统地状态方程.遵 守 考 场 纪 律解（1）对左边地质量块，有管导核字 主领审签对右边地质量块,有L cos 弓 一 k L sin 耳 一 sin r2 cos冃一 MgL sin 片ML

2、, = k 扌 sin 齐-sin 丁2 cos-MgLsin 寸2在位移足够小地条件下，近似写成：klML弓-v2 -Mgl4（2）定义状态变量十上g弓亠2 .丄4M L 4M 2ML上卄上展巧4M 4M LXi 二片，X2 =t,X3 二去，X4 “2X1 = x2X2上 g4M LX3 = X4kx4 :4Mk+4MX3 2ML_ A g4M或写成010k +g0kX2V4M L 丿4MX3000X4 一k0k +gl-4Ml4ML 丿01xj01xX3-012ML00时，状态响应为x(t)=丨2；x(0)= | 1时，状态响应为x(t)=丨e 一厂1 一广e 一2e时地状态响应x (t

3、).x= Ax，其中 A R2 2. et2Atjl =eJ1 a 21 =e !-1J二. (本题满分10分) 设一个线性定常系统地状态方程为卄 “、1I右 x(0) =11试求当x(0) = I L3 _【解答】系统地状态转移矩阵为二eAt，根据题意有；et 1 x(t)=e - 巧 x(t)=丄 厂e 一合并得2er一eI 211-1 T 一求得状态转移矩阵为A t e =-2teIL-e 22邛11- e _Tq4-亠-e2e;-1-21-J e-t e11 一_ e+2eJ -2/ +2e叮 -e 2r-e一当 x(0)=时地状态响应为2e?2e2123l-7et 8e2三. (本题

4、满分10分)已知某系统地方块图如下回答下列问题：(1) 按照上图指定地状态变量建立状态空间表达式；(2) 确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数k地取值范围.【解答】(1)系统地状态空间表达式为)2 一1 0一戈1= 1 0汐I 戈一(2)使系统状态完全能控且完全能观时，参数k = 3且k =0.四. (本题满分10分)离散系统地状态方程为皿 1) _ -45+1)口2(1 )是否存在一个有限控制序列d(0)1X1（k）. 0-3 _X2（k）_1u（k）u(1)u(N),使得系统由已知地初始状态为(0),X2(0)转移到(N 1)=0,X2(N 1) = 0 ?试给出判断依据和判断过程(2

5、)若存在，求N地最小值及控制序列 山(0) u(1)u(N)?.【解答】(1) 由题意，G1 h= 0 , Q= Ih GhJ| 1ra nkQc=2,由系统能控性地定义可知：存2 -3 一 1 -3 一在有限控制序列，使得在有限时间内由状态初值转移到零.(2) 由系统状态完全能控地性质可知，此系统为二阶系统，可用适当地u(0) ,u(1),使得 x-0 ,即N地最小值为1.根据状态方程x(k 1Gx(k) hu(k)进行递推如下：x (1)= Gx (0) hu(0)x(2)二Gx(1) hu(1) = G IGx(O) hu(O) h：；，hu(1) = G2 x(0) Ghu(0) hu

6、(1) = 0 , 由上面最后一步可得Ghu(O) hu(1) = -G2 x (0)即h Ghl u上g2x(0)：u(O)JQclU(1)l也(0) 一U(1)= qG2 x(0) =40u(0)-18即 口(0)=18为(0) 7x2(0),u(1) = 40 为(0) 10x2(0).五. (本题满分10分)对下列系统0x 二_-61 0X + I U -5一1 一试设计一个状态反馈控制器，满足以下要求：闭环系统地阻尼系数.二0.707 ；阶跃响应 地峰值时间等于3.14秒.【解答】r/X1 I假设状态反馈控制律为U = 1 k2|，代入状态方程得闭环系统X 一11 x +-5 一 X

7、k2 lx0 1-6 + 匕-5+k2_闭环特征多项式为耐廿de订-入尸6*=25 _ k26 _ &JT根据题意地要求Sn2 ，期望特征多项式为根据多项式恒等地条件可得:解得状态反馈控制律为u = k k |= 4儿+ 3x2.六. （本题满分10分）设系统地状态空间表达式为x= 们 X+ ? 0 _5 一100_y = 1 0 lx若该系统地状态X2不可测量，试设计一个降维状态观测器，使降维观测器地极点为-10, 要求写出降维观测器动态方程，并写出状态X2地估计方程【解答】将状态空间表达式写成：乂 = x2“ X2 = -5x2 +100u=Xi进一步写成x2 = -5% + 100u灼=

8、y = X2设降维观测器方程为x2 = -5 T x2 100u lx215 T x2 100u ly引入中间变量z = X2 Ty，两边求导数得z = x2- ly- 5 Tx2100uly Ty- 5 -Ix2100uz =: -5 - I z ly 100uz- -5-1 z-l 51 y 100u根据题意,降维观测器地极点为-10,即-5 - l二-10,解得1 = 5. 最终得到降维观测器地动态方程为z - - 10z - 50y 100u状态估计地表达式为x2 z 5y.七. (本题满分10分)证明对于线性定常系统地线性变换，其传递函数(矩阵)保持不变 【证明】设原线性系统为H =

9、 Ax + Buy = Cx 十 Du二其传递函数矩阵为W (s)二C sI A B D设线性变换为x = Tz，变换后地线性系统为z=T 二 ATz+T 1Bu:y = CTz + Du该系统地传递函数矩阵为W(s)二 CT sI -T AT T B D二 CT sT _1T -T AT T B D二 CT T J si - A T T B D_J .-1_1二 CTTsi A TT B D二 C si A B D显然,W(s) =W(s),即其传递函数(矩阵)保持不变.证毕八. (本题满分10分)25X2 二 _X|X2 -X22x1x|，证明该系统在坐标原点处渐xf 3某2阶非线性系统地状态方程为近稳定.【证明】取李雅普诺夫函数 V(x)x；,显然是正定函数；此外 ,沿着状态轨线地导数为:V (x) = 2x1x1 2x2x2 = 2x1 x； -3% 2x2=瑟+2%+語-XiX；5-X