《数值计算方法》试题及答案

1、数值计算方法考试试题一、选择题（每小题4分，共20分）1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ）A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差； B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差； C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差； D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。2. 若132 (356+-=x x x x f ，则其六阶差商=3, , 3, 3, 36210 f （ C ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 （ D ）A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。4. 若线性方程组Ax = b

2、 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 （ B ）A. 都发散； B. 都收敛C. Jacobi迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散； D. Jacobi迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。5. 对于试验方程y y ='，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ）A. 02-h ； B. 0785. 2-h ； C. 02-h ； D. 0785. 2-h ； 二、填空题（每空3分，共18分）1. 已知 -='-=4321, 2, 1(A x ，则 =2x 5，=1Ax 16 ，=2A 2

3、21+2. 已知3 9(, 2 4(=f f ，则 f (x 的线性插值多项式为 6(2. 0 (1+=x x L , 且用线性插值可得f3. 要使20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。三、利用下面数据表，1. 用复化梯形公式计算积分dxx f I (6. 28. 1=的近似值；解：1. 用复化梯形公式计算 取2. 048. 16. 2, 4=-=h n 1分分分分7058337. 55 6. 2( 2. 08. 1(2 8. 1(22. 04( (2 (231114=+=+=-=f k f f b f x f a f hT k n k k10.466758.0301

4、46.042414.425693.12014f (x 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x2. 用复化Simpson 公式计算积分dxx f I (6. 28. 1=的近似值。(要求计算结果保留到小数点后六位. （14分）解：用复化辛甫生公式计算 取4. 028. 16. 2, 2=-=h n 8分分分分14033002. 5126. 2( 2. 2(24. 2( 0. 2(4 8. 1(64. 011 ( (2 (4 (6111021=+=+=-=-=+f f f f f b f x f x f a f hS n k k n k k四、已知矩阵 =1256144412A ，求矩阵A 的

5、Doolittle 分解。 （10分） 解：用紧凑格式法分分分14033002. 5126. 2( 2. 2(24. 2( 0. 2(4 8. 1(64. 011( (2 (4 (6111021=+=+=-=-=+f f f f f b f x f x f a f hS n k k n k k417221321232312212222112121-=-=-=u l a u u l a u a a l 5分71323321331333322123132321121=-=-=u l u l a u u u l a l a al 8分 - =772412113121 LU A 10分五、用Newto

6、n 迭代法求解方程0133=-x x 在2.0附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位）。（12分） 解：013 (3=-=x x x f ， 0. 20=x33123313 ( (23231-+=-='-=+k k k k k k k k k k x x x x x x x f x f x x 6分8889. 191732312233122320301=-+=-+=x x x 8分8794. 1331221312=-+=x x x ，8794. 1331222323=-+=x x x 11分故，方程的近似根为1.8974 12分六、对下面线性方程组 （12分）=+=+=+38. 04

7、. 028. 04. 014. 04. 0321321321x x x x x x x x x1.判别用雅可比迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式；2. 判别用高斯-塞德尔迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式； 解 1. 雅可比法:A 是对角元素为正的实对称阵, 下面判别A D A -2 和是否同时正定:0296. 018. 04. 08. 014. 04. 04. 01, 016. 0114. 04. 01, 0>=>-=>A 正定 5分 -=-18. 04. 08. 014. 04. 04. 012A D0216. 018. 04. 08. 014. 04. 04.

8、01, 016. 0114. 04. 01, 0<-=->-=->A D -2 不正定. 即A D A -2 和不同时正定 8分故,Jacobi 法发散. 9分 2. 高斯-塞德尔法:由1知,A 是实对称正定矩阵, 所以Gauss-Seidel 法收敛. 10分其迭代格式为 -=-=-=+ 1(2 1(1 1(3(3 1(1 1(2(3(2 1(18. 04. 0380 4. 024. 04. 01 k k k k k k k k k x x x x . x x x x x 12分七、已知初值问题：=<-= 1 0(4. 00, ' y x y x y ，取步长

9、h =0.1，1. 用（显式的）Euler 方法求解上述初值问题的数值解；2. 用改进的Euler 方法求上述初值问题的数值解。 （14分） 解：1 .建立具体的Euler 公式:n n n n n n n n n y x y x y y x hf y y 9. 01. 0 (1. 0 , (1+=-+=+=+ 3分已知4, 3, 2, 1, 0 , 1. 0 , 10=n n x y n ，则有：9. 09. 01. 0001=+=y x y82. 09. 09. 01. 01. 09. 01. 0112=+=+=y x y 5分758. 082. 09. 02. 01. 09. 01. 0

10、223=+=+=y x y7122. 0758. 09. 03. 01. 09. 01. 0334=+=+=y x y 7分解：2. 建立具体的改进的Euler 公式:+=+=+=+=+=+=+ 005. 0905. 0095. 0 (01. 091. 009. 0 , ( 9. 01. 0 , (211n n c p n n n p n n c n n n n n p y x y y y y x y x hf y y y x y x hf y y 10分已知4, 3, 2, 1, 0 , 1. 0 , 10=n n x y n 则有：91. 0005. 0905. 0095. 0001=+=y x y83805. 0005. 091. 0905. 01. 0095. 0 005. 0905. 0095. 0112=+=+=y