第12章 常微分方程的求解和应用

1、第12章 常微分方程的求解和应用1 学习指导1.基本要求了解常微分方程的基本概念，包括微分方程的解、通解、阶、初始条件和特解的定义。熟练掌握一阶线性方程的解法，掌握分离变量法及齐次方程、伯努利方程、全微分方程的解法，会用简单的变量代换求解方程。了解线性方程解的结构，熟练掌握高阶（特别是二阶）常系数线性齐次微分方程的特征根求解法及自由项为特殊类型的函数（如多项式、指数函数、正弦函数与余弦函数及乘积与和等形式）的二阶常系数线性非齐次微分方程特解的待定系数法。掌握可降阶的高阶方程的解法，会解欧拉（Euler)方程。会用微分方程求解简单的几何与物理应用问题。2.重点与难点重点 微分方程的基本概念，线性

2、方程解的结构，求解一阶和可降阶高阶方程的初等积分法，求解二阶常系数线性方程的特征根法和待定函数法，用微分方程求解实际问题。难点 方程类型的判别，选择恰当的变量代换，可降阶方程的求解，求二阶常系数线性非齐次方程特解的待定函数法，列微分方程解实际问题。3.学习方法常微分方程是一个重要的数学分支，它与微积分同时产生与发展是解决实际问题的一个重要数学工具。学习这一章，应掌握微分方程的一些基本概念，熟悉各种类型的方程与求解方法，会准确迅速地判断方程类型并正确选用相应方法求解。但应知道，能够通过积分方法或代数方法求解的微分方程是很少的，还有解决问题的其他方法，如幂级数方法、数值方法等，在此我们不作讨论。一

3、阶微分方程是本章的基础内容，它可归结为的形式，本章讨论了一阶方程的主要类型与求解方法，它们是：可分离变量型方程和分离变量法。一阶线性方程和常数变易法。全微分方程和曲线积分法。齐次型方程、伯努利型方程和变量代换法。上述求解一阶微分方程的方法统称为初等积分法，其特点是用积分方法解微分方程并把微分方程的解用初等函数、隐函数或不定积分表示出来。用初等积分法解一阶微分方程的步骤是：先将方程作恒等变形或作恰当的变量代换，判断方程的类型，再根据方程的类型选用相应的解法。二阶微分方程的求解是本章的核心内容，相应的方法和结论可推广到更高阶的方程或微分方程组中去。本章主要讨论：二阶方程的初等积分法降阶法。线性方程

4、的通解结构定理与叠加原理等。解二阶常系数线性齐次方程的代数方法特征根法。解二阶常系数线性非齐次方程的代数方法待定函数法。有些微分方程，通过变形或变换可转化为可求解类型的方程，常用方法有：用变量代换法转化方程，此时应根据方程的特点，有时只代换自变量或因变量，有时需同时代换或代换二者的一个组合表达式。将方程化为型，这种将变量视为变量的函数的技巧在解微分方程时经常应用。用积分因子将方程化为全微分方程，简单积分因子的求法为：若与无关，则有积分因子；若与无关，则有积分因子。用代换将二阶欧拉方程 （为常数）化为常系数线性方程求解。此方法也适用于阶欧拉方程。用常数变易法求解线性非齐次方程。常数变易法的本质是

5、：先求出对应齐次方程的通解，再将通解中的常数变易为自变量的函数，然后确定待定函数。例如，对一阶线性非齐次方程，由分离变量法先求出对应齐次方程的通解，再令原方程的通解为将其代入原方程，由确定待定函数得通解。又如，对二阶线性非齐次方程，若是对应齐次方程的通解，则令为原方程的通解，由方程组 即可确定待定函数，。求解微分方程一般有两类问题，一类是求通解，即直接由方程解出满足已知方程的函数的集合；另一类是求特解，既要求函数满足已知方程，还要求它满足定解条件，如初始条件、连续性、可导性等。对后一类求特解的问题，通常是先由已知方程求出通解，再据定解条件确定通解中的任意常数后得特解；但对可降阶的高阶方程，边解

6、边定常数可使计算简便；如果解函数需用分段函数表达，在求解过程中应注意利用分界点的衔接条件。用微分方程解应用题是数学建模的重要一环，应注意掌握建立微分方程的基本原则列出含有未知函数导数的等量关系式，通常有两种方法：方法1（瞬态法）：从任一瞬时状态寻求未知量的变化率与各个变量及已知量的基本关系，把实际问题的基本规律表示为未知函数的微分方程。方法2（微元法）：从局部的微小改变量中寻求导数（或微分）与各个变量及已知量的关系，把实际问题的基本规律表示为未知函数的微分方程。解应用题时，主要困难是建立微分方程，困为实际问题是各种各样的，涉及几何、物理、力学、电学、生物学、经济学等多方面的知识。常用的知识有：

7、几何方面的应用主要是利用曲线的切线斜率，法线斜率，曲率，曲边梯形面积，弧微分等描述曲线的几何特征。利用物理规律列方程，如速度，加速度，牛顿第二定律，引力，弹性恢复力与位移成正比，入射角等于反射角等。利用微量平衡关系式列方程。用微分方程解应用题的一般步骤：设变量。对实际问题进行分析，明确哪些是已知量，哪些是未知量，恰当地设自变量与待求的未知函数，并仔细分析各个量之间的关系，特别是未知函数的导数或微分在实际问题中的含义。列方程。根据实际问题所遵循的规律或题设条件，利用瞬态法或微元法列出等量关系。定条件，由反映事物个体的特殊状态，确定定解条件，一般是初始条件或边界条件，有时需考虑衔接条件。解定解问题

8、，从而得到所求的函数关系。必要时对所得结果进行分析，确定符合实际问题意义的解。2 解题指导1.一阶微分方程的求解例1 求下列微分方程的通解：；.解题思路 对微分方程而言，不同类型的方程有不同的解法，因此解题前必须先判别其类型，然后根据类型确定求解方法。但往往不是立即就能判别出其类型的，常常需要通过一些数学处理，如用变形方法、变换方法、分项组合方法等将已知微分方程转化为可求解类型。另外，同一方程，可能属于多种不同类型，应选择简便的方法进行求解。解 由三角函数的和差化积公式，得 ，这是变量可分离型方程，分离变量并积分得 ，即 ，故通解为 .注意到右端项分母中出现的一次幂且分子为常数，故将视为函数，

9、视为自变量，将原方程变形为 ，这是一阶线性非齐次方程，由通解公式得 .说明 这种交换自变量与因变量位置的解题技巧在解微分方程时常常使用，应注意掌握。注意到因子重复出现，令，则，由于原方程等价于 ，故原方程可化为 ，即 这是变量可分离型方程，分离变量并积分 ，从而有 ，通解为 .令，则，原方程化为，即 ，这是齐次型方程，再令，则，从而 是变量可分离型方程，分离变量并积分 ，故通解为 ，化为 .将代入上式并化简得方程通解 .说明 本题用了两次代换和求解。也可以用一次代换或求解，请读者练习。由，易知，故方程是全微分方程。方法1 利用线积分与路径无关，得 ，从而原方程通解为 .方法2 将原方程分项组合

10、，得 ，即 ，从而 ，通解为 .说明 利用分项组合法，可以简化全微分方程的求解，甚至不必先验证已知方程是否为全微分方程，分项组合时常用的全微分公式有： ， ， ， ， ， ，由，得，即，故原方程不是全微分方程，但，则原方程有积分因子，从而原方程可变形为，即 是全微分方程。分项组合 ，即 ，故通解为 .例2 解下列初值问题：； .解题思路 解一阶初值问题的步骤是：先由方程求出通解，再将初始条件代入通解确定任意常数得特解。解 将原方程变形为，即，这是的伯努利方程。令，得一阶线性方程 ，由公式得 ，故通解为 .将初始条件代入，得，于是所求特解为 .原方程变形为 ，这是齐次型方程。令，则，即是变量可分

11、离型方程，分离变量并积分得，于是有 ，通解为 .将初始条件代入，得，故特解为，化简得.2.可降阶的高阶方程的求解例3 求方程的通解。分析 这是一个既不显含自变量，也不显含变量的可降阶方程，用代换降为一阶方程可解得，再积分两次便得通解。注意到由得，因此应求得两族积分曲线。解 令，则原方程化为，这是变量可分离型方程。分离变量并积分得 ，即，于是.这是型的可降阶方程，积分两次得通解 ，或 .例4 求方程满足初始条件的特解。分析 这是一个不显含自变量的可降阶方程，令，降阶后解一阶方程可求得与的关系式。为进一步解出未知函数，对开方时应注意由初始条件正确选择符号，同时注意在求特解时边解边定常数，以使计算简

12、便。解 令，则，原方程化为，即，这是变量可分离型方程。分离变量并积分得 ，解得，化为，从而.因为，故舍去负值。将初始条件代入，得，于是 上式为变量可分离型方程。分离变量并积分解得.将代入得，于是所求特解为，化为.3.二阶线性方程的求解例5 设二阶线性非齐次方程有三个特解，求该方程满足初始条件，的特解。分析 由线性非齐次方程与对应线性齐次方程的关系，不难得到与是对应齐次方程的两个线性无关解，于是由线性非齐次方程的通解结构就能求出原方程满足任意初始条件的特解。解 易知，与是对应齐次方程的两个线性无关的解，从而原方程的通解为 .将初始条件代入通解，有 解得于是所求特解为. 例6 求方程的通解。分析

13、这是二阶常系数线性非齐次方程，但右端项不是可待定函数的类型，将其拆为，可用待定函数法分别求特解，再利用线性非齐次方程的叠加原理得原方程的特解，进而求得通解。解 对应齐次方程的特征方程为，特征根为，从而齐次方程通解为 .对，因为不是特征根，故设，将其代入方程，解得，则.对，因为是单特征根，故设，代入方程，解得，则.对，因为不是特征根，故设，代入，解得，则.于是原方程特解为 .综上可知，原方程通解.例7 设二阶线性非齐次方程有特解，而对应齐次方程有解，求与并求微分方程的通解。分析 由微分方程解的定义，将代入原方程，将代入对应齐次方程即可求出与.由于这是一个二阶线性非齐次方程，故由已知条件及通解结构

14、定理可知，只要再求出对应齐次方程的与线性无关的另一个解；又由于方程不显含变量，它也是可降阶的二阶方程，于是可用如下三种方法求解。解 由条件有 解得，故满足条件的方程为 .下面用三种方法求通解。方法1 这是一个二阶线性非齐次方程，观察可知是对应齐次方程的解，易知它与线性无关，于是由通解结构知，所求通解为.方法2 将方程变形为，这是二阶欧拉方程，令，原方程化为 ，这是二阶常系数非齐次线性方程，解此方程易得通解 ，于是原方程通解为 .方法3 注意到原方程不显含变量，用降阶法。令，则，代入原方程得 ，这是一阶线性非齐次方程。由通解公式有 ，从而得通解 说明 高阶方程也可能属于多种不同的类型，也应选择较

15、易求解的方法，一般按线性方程、欧拉方程、可降阶方程进行。4.综合问题例8 设有微分方程，其中，试求在内的连续函数，使之在和内都满足已知方程，且满足条件.分析 这是右端项由分段函数给出的一阶线性方程的初值问题，应先在区间和分别求通解。注意到所求函数的连续性，利用初始条件及衔接条件确定任意常数从而得所求特解。解 当时，需求解初值问题 由一阶线性方程的通解公式，得 .由初始条件，得，所以。当时，方程为，易知通解为，由连续有，从而有，即，故，所以.现在补充定义使，则得所求上的连续函数 例9 已知，且对任意，有，求可微函数.分析 由于所给关系式是复合函数与隐函数形式，且所求函数是可导函数，故考虑用导数定

16、义建立微分方程，同时应注意寻找由已知等式确定的初始条件。解 将代入已知等式，有，即，从而.由导数定义，对任意，有 ，即是变量可分离型的方程，积分得通解，即.将初始条件代入得，于是所求函数为.例10 设是连续函数，且满足方程 ，试求.解题思路 称这种未知函数在积分号下出现的等式为积分方程，求解方法是利用积分上限函数求导法则对方程两边求导数，将积分方程转化为微分方程，同时应注意寻找由积分方程或导出方程确定的定解条件，以便求出特解。解 由，得，由连续可知存在，对上式两边关于求导数，得 ，从而.由的连续性知存在，再对上式求导，得.由此得初值问题 这是二阶常系数线性非齐次方程求特解的问题，对应齐次方程的

17、特征方程为，特征根，于是对应齐次方程的通解为 .设非齐次方程的特解为，代入二阶方程，通过比较系数得，于是得特解，从而非齐次方程的通解为 利用初始条件，得，最后得所求函数 例11 设函数有二阶连续导数，且当时满足方程 试求时函数的表达式。分析 这是一个关于多元函数的偏微分方程问题，通过代换，可化为常微分方程求解。解 由复合函数求偏导数的公式，有 ， ，同理有 ， 于是原方程化为 ，这是可降阶的二阶方程，令，则 是一阶线性方程，于是 .由得，故，积分得 .由得，故，从而 .说明 若将方程变形为，则方程是二阶欧拉方程.令，可将方程化为二阶常系数线性非齐次方程，请读者自解。例12 设函数有一阶连续导数

18、且，若对平面上任意简单闭曲线，恒有 求.分析 由条件可知，曲线积分与积分路径无关，因此可由线积分与路径无关的等价条件得到所满足的微分方程，解方程并由初始条件即可求得.解 令，则，由条件可知线积分与路径无关，故有，即 ，化为 .令，则是一阶线性方程，通解为 .由得，故为所求。5.微分方程的应用例13 在上半平面内求一条向上凹的曲线，其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数（是法线与轴的交点），且曲线在点处的切线与轴平行。分析 由题意，将曲线所满足的关系用曲率公式、法线方程、切线斜率等表示出来，即可建立微分方程并得到初始条件。解 设所求曲线为，则曲线在点处的法线方程为 .它与轴的交点为

19、，于是法线段的长度是 .因为点处的曲率为且曲线上凹，故，于是由题意可得 ，化简成，这是可降阶的二阶方程，由于点处切线与轴平行，故有，问题转化为求解二阶初值问题 令，则，代入二阶方程得 这是变量可分离型方程，分离变量并积分，即有 ，解得 由时与，得，故，即也是变量可分离型方程，分离变量并积分得，即，由得 故所求曲线为 例14 设一容器内有盐水，其中含盐。现以的速率向容器内注入清水，并不断搅拌以保持溶液均匀，同时立刻以同样速率将冲淡后的溶液排出，试问后，容器内溶液中含盐量是多少？分析 此问题应利用微量分析法列方程。因为 时间内减少的盐量=时间内流出的盐量 =单位时间内平均流出的盐量故有平衡关系式净

20、盐的改变量=平均含盐浓度流出速率时间改变量。当时间改变量很小时，瞬时浓度可视为平均浓度的近似值，因此可利用上述平衡关系式建立溶液中净盐含量所满足的等量关系，再由初始条件就可解出净盐含量的函数表达式，而求后的含盐量就是求一个函数值。解 设在时间容器内含盐量为，则在时刻，容器内的含盐量为。由条件在时刻容器内盐的瞬时浓度为 所以有平衡关系式 两边同除并对取极限，得微分方程 由题意得初始条件，利用分离变量法和初始条件易求得.当时有 ，所以当过程开始后容器内尚有盐。 6.错解分析例15 求方程的通解。错解 这是变量可分离型的方程，分离变量得 ，两边积分得，于是 ，化为，故所求通解为。分析 将所求通解代入

21、原方程，不能使方程成为恒等式，故函数不是方程的通解。错误原因在于微分方程的任意常数不同于不定积分的任意常数，需在求解过程的某一时刻恰当表示，而不能在最后一步加任意常数。另外，有时为了运算或化简方便，任意常数可用特殊形式表示，例如用表示。正解 这是变量可分离型方程，当时，分离变量并积分得，解得 ，于是得通解 显然也是解且含于通解中。说明 对本题而言，求不定积分时，应有 ，化为 ，即 取，便有。故为了运算方便，常省略对数内的绝对值符号，但需注意最后得到的任意常数可正可负也可为零。 例16 已知与都是微分方程的解，求方程的通解。错解 注意到常数，所以是方程的两个线性无关的解，于是所求通解为 分析 显然，函数不满足已知方程，故它不是原方程的解，当然也不是通解。错误原因在于求通解时应用了线性齐次微分方程的通解结构定理，但已知方程是非线性微分方程。应注意，只有线性微分方程才具有相应的通解结构和解的叠加原理，非线性方程是不具备这些性质的，切不可混淆。正解 这是不显含自变量的可降阶方程，令，则，原方程化为 即是变量可分离型方程，用分离变量法解得即，也是变量可分离型方程，又解得，即通解为 自测题及答案自测题12.11. 填空题（每小题4分，共20分）： 通解为的微分方程是 ； 微分方程的