第七章第6节二元一次方程与一次函数

1、 【本讲教育信息】一、教学内容二元一次方程组的应用1、二元一次方程与一次函数的关系2、用二元一次方程组确定一次函数关系式二、教学目标1、初步理解二元一次方程与一次函数的关系2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解3、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式三、知识要点分析 1、二元一次方程与一次函数的联系(重点、难点若k 、b 表示常数且k0,则y -kx =b 为二元一次方程,有无数个解;将其变形可得y =kx +b ,将x 、y 看作自变量、因变量,则y =kx +b 是一次函数. 事实上,以方程y -kx =b 的解为坐标的点组成的图像与一次函数y =kx +b 的图像相同.举例

2、说明:方程x -y=6的解有无数个,以方程x -y=6的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=x -6的图象相同.2、一次函数y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2图象的交点坐标与方程组+=+=2211,b x k y b x k y 的解的关系一次函数y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2图象的交点的坐标,就是方程组+=+=2211,b x k y b x k y 的解.举例说明: 方程组=-=+1052y x y x 的解就是一次函数y=-x+2与y=5x -10的交点坐标.归纳:二元一次方程组无解一次函数的图像平行(无交点二元一次方程组有一个解一次函数的图像相交(有一个交点 二元一

3、次方程组有无数个解一次函数的图像重合(有无数个交点 3、用二元一次方程组确定一次函数解析式(这是重点、难点 用二元一次方程组确定一次函数解析式的一般步骤: (1设一次函数为y=kx+b ;(2将满足一次函数的两组数值分别代入y=kx+b ,得到关于k ,b 的二元一次方程组; (3解得到的二元一次方程组,求出k ,b 的值;(4将k ,b 的值代入y=kx+b ,即可确定一次函数的解析式.【典型例题】考点一:二元一次方程与一次函数例1、一次函数y=3x+7的图像与y 轴的交点是二元一次方程-2x+by=18的一个解,则b=_. 分别描出以这些解为坐标的点,它们在一次函数_的图象上.=0x =1

4、x y=-2x+5的图象上.解:无数;=50y x ,=31y x ,=12y x ,-=13y x ;y=-2x+5规律与方法:以方程y -kx =b 的解为坐标的点组成的图像与一次函数y =kx +b 的图像相同.考点二:二元一次方程组与一次函数例3、如图,直线y=2x-4和直线y=-3x+1交于一点,则方程组2431x yx y-=+=的解是(A. x=0,y=1B. x=0,y=-2C. x=1,y=-2D. x=2, y=0 方法与规律:解决此类问题的关键是确定两个一次函数的图象的交点坐标.考点三:用二元一次方程组确定一次函数例5、如图,两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上,请根据图

5、中给的数据信息,解答下列问题:(1求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y (cm 与饭碗数x (个之间的一次函数解析式;(2把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时,这摞饭碗的高度是多少? 【思路分析】要求函数的关系式,就要结合题意读出x 、y 的两对值,当x=4,y=10.5和当x=7,y=15,这样就可以求出关系.解:(1设y kx b =+.由图可知:当4x =时,10.5y =;当7x =时,15y =.把它们分别代入上式,得 10.54,157.k b k b =+=+ ,解得 1.5k =, 4.5b =. 一次函数的解析式是 1.5 4.5y x =+. (2当4711x =+=时, 1.511 4

6、.521y =+=.即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时,这摞饭碗的高度是21cm.规律与方法:此类题目要求能够把图形语言转化为数学语言,进而达到求解的目的.例6、图中两条直线l 1、l 2的交点坐标可以看作方程组_的解.【思路分析】先根据图象确定两直线上的两个点的坐标,然后求出两个一次函数的关系式,即可确定该方程组.解:设直线l 1:y=k 1x+b 1,由于直线l 1经过(0,-4,(6,0两点,所以=+-=+06401111b k b k ,解得=-=32411k b ,所以l 1:432-=x y . 设直线l 2:y=k 2x+b 2,由于直线l 2经过(0,4,(2,0两点,所以=+=+

7、02402222b k b k ,解得-=2422k b ,所以l 2:y=-2x+4.直线432-=x y 可以变形为2x -3y=12,直线y=-2x+4可以变形为2x+y=4,所以该方程组为=-=+123242y x y x . f n +=,k f 叫做权探究任务2:中位数把处在_位置上的一个数据(三牛刀小试1. 数据29,30,32,37,46的平均数是_.2. 小红上学期期末考试语、数、外成绩的平均分为92,她记得数学98,语文83,英语记不清了,小红的英语成绩为_.3. 某校规定:学生的平时作业、期中检测、期末考试三项成绩分别按40%、20%、40%的比例计入学期总评成绩.小亮的

8、平时作业、期中检测、期末考试的数学成绩依次为90分、92分、85分,小亮这学期的数学总成绩是( 分A. 86.4B. 96.4C. 76.4D. 88.44. 若1,2,3,x的平均数为5;1,2,3,x,y的平均数为6,那么1,2,3,x,y的中位数为_.5. 10名工人某天生产同一种零件,生产的件数是45、50、75、50、20、30、50、80、20、30.设这些零件数的平均数为a,众数为b,中位数为c,那么a,b,c的大小关系式为_.【模拟试题】(答题时间:60分钟一、选择题1. 若直线y=x+n与y=mx-1相交于点(1,-2,则(.某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量x(示的一

9、次函数图象确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量为( A. 20kgB. 25kgC. 28kgD. 30kg6. 用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示,则所解的二元一次方程组是(A.203210x yx y+-=-=B.2103210x yx y-=-=C.2103250x yx y-=+-=D.20210x yx y+-=-= 1B. 22分钟C. 24分钟D. 269. 弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数,如图所示,则不挂物体时弹簧的长度是(cm.A. 12.5B. 20C. 10D. 15 10. 某文具零售店老板到批发市场选

10、购A、B两种文具,批发价分别是12元/件,8元/件. 若该零售店的A、B两种文具的日销售量y(件与零售价x(元/件均成一次函B. y=-x-20C. y=x+20D. y=x-分钟,两人第一次相遇. 15. 某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同. 设汽车每月行驶x(km,应付给个体车主的月费用为y1元,应付给汽车出租公司的月费用为y2元,y1,y2分别与x之间的函数关系的图像(两条射线如图所示,每月行驶的路程等于_km时,租两家车的费用相同. 的部分,按每千米1.60元计费.(1写出租车收费y (元与行驶路程x (千米之间的函数关系式_; (2

11、若某人一次乘出租车时,付了车费14.40元,则他这次乘坐了_千米的路. 17. 在直角坐标系中有两条直线:L 1:y=35x+95和L 2:y=-32x+6,两直线的交点坐标是_,方程组359,3212.x y x y -=-+=的解是_.三、神机妙算用心做18. 某学校一电热淋水器水箱的水量y (升与供水时间x (分为一次函数关系,供水前水箱中有水50升,开始供水50分钟后有水150升.(1写出y 与x 的函数关系式;(2在(1的条件下,供水30分钟时水箱有水多少升.19. 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x (元与产品的日销售量y (件之间的关系如下表:x (元 152025

12、y (件25 20 15 若日销售量y 是销售价x 的一次函数.(1求出日销售量y (件与销售价x (元的函数关系式; (2求销售价定为30元时,每日的销售利润. 【试题答案】一、1. C 【思路分析】两函数的交点坐标分别是y=2x+n 与y=mx -1这两个方程的解,所以-2=21+n ,解得25-=n ,-2=m -1,解得m=-1.-=621x y 的解,解此方程组即可. 11. 图象上,解【思路分析】方程2x -y=1是由函数y=2x -1变形得到的,所以此函数图象上的点的坐标都是方程2x -y=1的解.12. 35,34(【思路分析】两个一次函数均是由方程组中的两个方程变形得到的,所

13、以方程组的解就是两个一次函数的交点坐标.13. 适合【思路分析】方程是由一次函数y=5-2x 变形得到的,所以一次函数上任意一点的坐标都是方程的解.14. 24【思路分析】观察图象可以看出，甲行驶过程中有三个图象段，中间图象段两函数 有交点，中间函数图象经过（15，5）与（33，7） ，可求函数关系式为 y= 点处的点的纵坐标是 6，所以 6= 1 10 x + ，由于交 9 3 1 10 x + ，解得 x=24.所以两人在 24 分钟时相遇. 9 3 15. 1500【思路分析】两函数的交点处表示两家费用相同，交点的横坐标表示行驶的路程， 故答案是 1500 千米. 16. y=8+1.6

14、0（x3） （x3） ，7【思路分析】车费分为两部分，一部分是不超过 3 千米的 部分，另一部分是超出 3 千米的部分，所以关系式为 y=8+1.60（x3） （x3） ，将 y=14.40 代入所求关系式即可求出相应的路程. 17.（2，3） ， x = 2 【思路分析】方程组中的两个方程是由两个一次函数变形得到的， y = 3 k 0 + b = 50, 50k + b = 150. 所以方程组的解就是两函数的交点坐标，可先解方程组，即可解答此题. 三、18. 解： （1）设关系式为 ykxb，根据题意可得方程组 解这个方程组得 k = 2, y2x50. b = 50. （2）当 x30 时，y2 3050110. 所以 30 分钟时水箱有水 110 升. 【思路分析】先设出一次函数关系式，然后找出两对数值代入，