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1、第8章 反常积分1反常积分的概念与计算问题的提出: 针对Riemann积分的缺陷要求积分区间有限;被积函数有界再结合1 P264两例. 广义积分亦称为CauchyRiemann积分,或CR积分. 一. 无穷限广义积分: 1 概念和几何意义：定义 ， .几何意义:例1 讨论积分 , , 的敛散性 . 计算积分 . 例 2 讨论以下积分的敛散性 : ; .例3 讨论积分的敛散性 . 2. 无穷积分的性质: 在区间上可积,为常数,则函数在区间上可积,且. 和在区间上可积在区间上可积, 且.2反常积分的收敛判别法无穷积分收敛的Cauchy准则: ( 翻译 )Th 积分收敛. 绝对收敛与条件收敛: 定义

2、概念. 绝对收敛收敛,( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分 . 3. 无穷积分判敛法: 非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有. 非负函数无穷积分敛散性记法. 比较判敛法:设在区间 上函数和非负且，又对任何,和在区间 上可积.则 时, , 时, . ( 证 ) Cauchy判敛法: ( 以为比较对象, 即取.以下 0 )设对任何, , 且, . ( 证 )例5 讨论以下无穷积分的敛散性 : 1P324 E6 其他判敛法: Abel判敛法: 若在区间上可积,单调有界,则积分收敛.Dirichlet判敛法: 设在区间 上有界，在上单调,且当时，. 则积分收敛.例6 讨论无穷积分与的

3、敛散性. 例7 例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 : , , . 例8 (乘积不可积的例) 设, .由例6的结果,积分收敛.但积分却发散.( 参阅例6 ) 二. 反常积分: 先介绍函数的瑕点. 1. 瑕积分的定义: 以点为瑕点给出定义. 然后就点为瑕点、点为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明.例9 判断积分的敛散性 .例10 讨论瑕积分的敛散性,并讨论积分的敛散性. 2. 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数连续, 为瑕点. 有 , 把瑕积分化成了无穷积分;设, 有 ，把无穷积分化成了瑕积分.可见,瑕积分与无穷积分可以互化. 因此,它们有平行的理论和结果.例11 证明瑕积分当时收敛.证 , 由例6 , 该积分当时收敛.1. 瑕积分判敛法:Th ( 比较原则 ) 见教材Th10-23.推论1 ( Cauchy判别法 ) 推论2 ( Cauchy判别法的极限形式 ) 例12 判别下列瑕积分的敛散性 : ( 注意被积函数非正 ). .例13 讨论非正常积分的敛散性. 三. CR积分与R积分的差异: 1. R在上;但在区间 上可积, 在区间 上有界.例如函数 2.R,|R,但反之不确. R积分是绝对型积分. |在区间 上可积在区间 上可积,

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