科迪中学初三数学中考考试前梳理-刘钢强-2013.6.21

1、 12013中考数学考前梳理：1划出关键词：相反数 绝对值 倒数 平方根 算术平方根，例1：4的平方根是（）,3的算术平方根（）例2：-0.000075用科学记数法表示为（ ）例3、经专家估算，整个南海属我国传统海疆线的油气资源约15000亿美元，开采前景甚至要超过英国的北海油田，15000亿用科学记数法表示为1.5×1013科学计数法：大数；(整数位数减1 小数:（0的个数）与近似数与有效数字结合 2 两圆位置关系：（了解即可）3多边形内角和公式与外角和，n 边形内角和是外角和的4倍。则n=( 例1、已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是（6）4 众数、中位

2、数、平均数、方差、极差：会求吗？作用？（估算出平均数和方差的大小）例1、某校篮球课外活动小组21名同学的身高如下表则该篮球课外活动小组21名同学身高的众数和中位数分别是( 例2、甲、乙两个旅游景点今年5月上旬每天接待游客的人数如图所示，甲、乙两景点日接待游客人数的方差大小关系为：22S S >乙甲 例2、一个盒子中装有四张完全相同的卡片，分别写着2cm ，3cm ，4cm 和5cm ，现随机从盒中任取出三张卡片，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，则这三条线段能构成直角三角形的概率是(41例3、甲、乙两个学习小组各有4名同学，在某次测验中，他们的得分如下表：设两组同学得分的平均数依次为

3、甲，乙，得分的方差依次为S 甲，2S 乙，则下列关系中完全正确的是（ A ）A =乙甲，22S S >乙甲 B =乙甲，22S S <乙甲 C >乙甲，22S S>乙甲 D <乙甲，22S S <乙甲25 圆中计算：垂径定理计算弦长；弦的一半与弦长同弧或等弧所对的圆周角、圆心角之间的关系，计算角度数；圆内接四边形；（见到弧的中点和三等分点时辅助线做法）6求概率： 放回不放回？一次摸两个球等价于什么？树形图的画法？（练习树形图或列表法过程） 7相似: 找准对应边, 明确求谁? （1、有一角相等时，边的比有两种情况，产生多解问题，综合题较多；2、利用相似求周长或

4、面积） 如图，在平面直角坐标系中，ABC 和' ' ' C B A 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且点B （3，1） B （6，2）.（1）若点A （25，3），则A 的坐标为 ；（2）若ABC 的面积为m ，则A B C 的面积 .（1） （5，6）；（2） 4m .8 轴对称、中心对称图形：文字语言叙述（例如：等边三角形、平行四边形是不是轴对称和中心对称图形），给出具体图形判断：简易方法？（求对称中心坐标，位似图形对应点坐标）10弧长, 扇形面积, 圆柱、圆锥侧面展开图：例1、如图，圆锥的底面半径OA 为2，母线AB 为3则这个圆锥的侧面积为（）例2、如图所

5、示，AB 是O 的直径，B 30°，弦BC 6，ACB 平分线交 O 于D ，连AD (1 求直径AB 的长；(2 求阴影部份的面积（结果保留）解：（1）AB 为O 的直径, ACB=90. °B=30°,AB=2AC.222AB AC BC =+, 222164AB AB =+, AB =（2）连接OD, AB =AO=OD=CD 平分ACB ，ACB=90°,ACD=45°, AOD=90°. 11622AOD S AO DO =， AC ABOD 第19题图 3CQA MN2290133604AOD S DO =扇形（，阴影部分

6、的面积=-36AOD AOD S S =-扇形. 11. 立体图形三视图: 明确哪种视图（利用三视图，求正方体的个数） 平面展开图: 对应位置，变与不变 ，最短路径问题一定要展开成平面图形。例1、如图，圆柱底面直径AB 、母线BC 均为4cm ，动点P 从A 点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离 （22+）cm12. 动点产生函数图象：第八题: 谁在动，在哪动，怎么动/特殊位置，变化趋势（定量加定性综合分析）例1、如图，等边ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC 的边AB 上 沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点 N

7、到达点B 时运动终止），过点M 、N 分别作AB 边的垂线，与ABC 的其它边交于P 、Q 两点. 设线段MN 运动的时间为秒, 四边形MNQP 的面积为S 厘米2则表示S 与的函数关系的图象大致是(A8如图，P 是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1对角线AC 1上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD 的面积为f (x ，则f (x 的图象大致是A(A(B(C(D1A413. 分式、二次根式或它们的组合：有意义；值为零；函数中自变量取值范围；无论在哪看到二次根式都要记住必须使被开方数³0例1、若分式2402x x -=+，则x 的值为 2 例2、在函数22xy -=中，自变量

8、x 的取值范围是21x 14. 因式分解: 先提公因式, 再公式(首项为负的一起提 2a 520-= 15. 抛物线:顶点坐标公式(对称轴, 最值 三种解析式 平移法则（点和抛物线的平移）（求与坐标轴交点，知道对称轴和一个交点，求另一个交点坐标） 16. 计算: 负指数, 三角函数值要记对(还要注意解三角形在实际问题中的应用例1、小红在学习了教科书上相关内容后自制了一个测角仪（图），并尝试用它来测量校园内一座教学楼CD 的高度（如图）. 她先在A 处测得楼顶C 的仰角=30°，再向楼的方向直行10米到达B 处，又测得楼顶C 的仰角=60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）A

9、E 为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD 的高度（结果精确到0.1米，参考数据：41. 12，73. 13，24. 2）.图 图解：=30°，=60°，ECF -30°. 10=EF CF . 在Rt CFG 中，. 5c o s =CF CG 3. 106. 135+=+=GD CG CD . 答：这座教学楼的高度约为10.3米.|3| 1012cos 45( (4- 0(2 1cos 45-+ ）+ 2012tan 60(3 3-+- 2013tan 30( 2 2-+- 17. 解方程：分式方程: 要检验；（分式方程验根格式）一元二次方程：选择合适的

10、方法：十字相乘、公式法、提公因式法，配方法，（含有字母系数一元二次方程十字相乘）例1、已知：关于x 的一元二次方程01 2( 1(2=-+-x m x m （m 为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线1 2( 1(2-+-=x m x m y 总过x 轴上的一个固定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01 2( 1(2=-+-x m x m 有两个不相等的整数根，把抛物线1 2( 1(2-+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的 解析式 5解：（1）=22 1(4 2(m m m =-+-

11、 方程有两个不相等的实数根, 0m . 01-m , m 的取值范围是1, 0m m 且. （注意本题按我们格式去写） （2）证明：令0=y 得，01 2( 1(2=-+-x m x m .1(2 2( 1(2 2(2-±-=-±-=m m m m m m x . 1 1(221-=-+-=m m m x ，11 1(222-=-+-=m m m m x . （这里一定要用十字相乘法分解，不要用求根公式） 抛物线与x 轴的交点坐标为（0, 1-），（0, 11-m ）,无论m 取何值，抛物线1 2( 1(2-+-=x m x m y 总过定点（0, 1-）. （3）1-=x

12、 是整数 只需11-m 是整数. m 是整数，且1, 0m m , 2=m . 当2=m 时，抛物线为12-=x y 把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为861 3(22+-=-=x x x y . 例2、用配方法解方程：01632=-x x 解：原方程化为：03122=-x x 131122+=+-x x (341-2=x 3321, 332121-=+=x x 18. 化简求值: 1、整体代入法; 2、化简分式不能去分母, 加减法要通分，3、平方差公式，完全平方公式要背对，4、分子分母都先给因式分解。（分式运算最后形式，求代数式的值格式）例1、先化简，再求值:124113+

13、-÷ -x x x x x x 23，其中x 满足043=-+x x 2 解：原式= 。xx 1-= 由043=-+x x 2，得1, 421=-=x x由题意，1x 原式45414=-= 例2、解不等式(组: 数轴上表示; 求解集还是特殊解（比如整数解，非负整数解）先化简22( 5525x x xx x x -÷-，然后从不等组23212x x -<的解集中，选取一个你认为符合题意的x 的值代入求值解：原式=2(5(552x x x x x+- =5x + 解不等组得：5x 6 选取的数字不为5，5，0即可（答案不唯一）20. 全等证明: 别忘写结论. 证明方法5种

14、:（格式）21. 函数小综合: 可能分类讨论，尤其是一次函数+反比例函数+面积 6例1、抛物线252+-=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（825k 且0k ） 例2、图中的抛物线是函数y=x2+1的图象，把这条抛物线 沿射线y x （x 0）的方向平移2个单位，其函数 解析式变为_；若把抛物线y=x2+1沿射线y =21x -1（ x 0）方向平移个单位，其函数解析式则变为_. (y=x2+2x+1，y=x2-4x+6例1、如图，直线y 33x 3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，OPAB 于点P ， POA=，则cos 的值为( 例2、已知：平面直角坐标系xoy

15、 中，圆心在x 轴上的M 与y 轴交于点D （0，4）、点H ，过H 作O 的切线交x 轴于点A ，若点M （-3，0），则 例3、符号f 表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）0 1(=f ，1 2(=f ，2 3(=f ，3 4(=f ， （2）2 21(=f ，3 31(=f ，4 41(=f ，5 51(=f ，利用以上规律计算：1(20122012f f - 例4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数22y x =-+的图象与x 轴相交于点B ，与y 轴相交于点C ，与反比例函数图象相交于点A ，且2AB BC =.(1 求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，

16、且APC 的面积等于12，直接写出点P 的坐标 解：由已知可得点(1,0B ，点(0,2 C 1, 2OB CO =过点A 作AD x 轴于点D BOC BDA 12CO OB BC AD DB AB = 24, 22AD CO DB OB = 点(3,4 A - 设反比例函数解析式为(0 ky k x =，点(3,4 A -在图象上， 12k =- 反比例函数的解析式为12y x=-（2） 点(5,0P 或(3,0 P -例5、如图，直线y=kx-2与x 轴、y 轴分别交与B 、C 两点，tan OCB=21. （1）求B 点的坐标和k 的值； 7（2）若点A 是直线y=kx-2上的一点.

17、连结OA, 若AOB 的面积是2，请直接写出A 点坐标. 解：（1）y= kx-2与y 轴相交于点C ， OC=2tan OCB=OCOB=21 OB=1B 点坐标为：(10， 把B 点坐标(10，代入y= kx-2解得 k=2（2）A 点坐标为(3,4或(-1,-4例6、已知二次函数c bx ax y +=2的y 与x 的部分对应值如下表：（1）求此二次函数的解析式；（2）此二次函数的图象与x 轴交于B A ，两点，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，E 是x 轴上一点，若以C A E ，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点E 的坐标（不必写出过程）解：由图表知：抛物线c bx a

18、x y +=2的对称轴为1=x 抛物线与x 轴交于点(0, 1-由抛物线的轴对称性可求抛物线与x 轴另一交点为(0, 3 设抛物线解析式为(13+-=x x a y抛物线过点(3, 033=-a 1-=a 此二次函数的解析式为322+-=x x y（2）(0, 11E , (0, 42E , 0, 13-E ，(0, 14-E例7、如图，反比例函数xy 3=的图象与一次函数b kx y +=的图象交于A (m ,3 、B (-3,n 两点（1）求一次函数的解析式及AOB 的面积；（2）若点P 是坐标轴上的一点，且满足PAB 的面积等于AOB 的面积的2倍，直接写出点P 的坐标 解：（1）反比例

19、函数xy 3=的图象与一次函数b kx y +=的图象交于A (m ,3 、B (-3,n 两点 m =1,n =-1， A (1,3、 B (-3,-1 所求一次函数的解析式为y =x +2-直线y =x +2与x 轴、y 轴的交点坐标为（-2,0）、（0,2） AOB 的面积=4 31(221=+ （2）P 1（-6，0）、P 2（0，6）、 0, 2(3p 、 2, 0(4-p22. 列方程解应用题: 设完整, 要答题, 若列的是分式方程记得要双检验例1、 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场. 现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关

20、人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工产品的数量是甲工厂每天加工产品数量的1.5倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？解：设甲工厂每天加工x 件新产品，则乙工厂每天加工1.5x 件新产品. 依题意, 得 1200120010. 1.5x x-= 解得x =40. 经检验，40x =是所列方程的解，且符合实际问题的意义 当x =40时，1.5x =6023. 四边形计算: 一般都是主要利用解直角三角形知识, 外加平行四边形知识, 所以 8如有必要做高或垂线, 不轻易添

21、加别类辅助线（特殊角构造直角三角形，利用三角函数定义解题，勾股，相似，三角函数顺序）例1、如图，在平行四边形ABCD 中，AD = 4，B =105º，E 是BC 边的中点，BAE =30º，将ABE 沿AE 翻折，点B 落在点F 处，连接FC ，求四边形ABCF 的周长 解：作BG AE ，垂足为点G ， BGA BGE 90º. 在平行四边形ABCD 中，AD = 4，E 是BC 边的中点，112. 22BE EC BC AD =BAE =30º，ABC =105º，BEG =45º. 由已知得ABE AFE . AB =AF ，

22、BE FE ，BEF =90º.在Rt BGE 中，BG GE 在Rt ABG 中，AB =AF = 在Rt ECF 中， FC = 四边形ABCF 的周长4+例2、如图，在四边形ABCD 中，ABC =90，CAB =30, DE AC 于E ，且AE=CE，若DE=5，EB=12，求四边形ABCD 的周长 解: ABC =90，AE=CE，EB =12， EB=AE=CE=12. AC =AE+CE=24.在Rt ABC 中，CAB =30, BC =12, cos30AB AC = DE AC ，AE=CE， AD=DC在Rt ADE 中，由勾股定理得 AD 13= DC =1

23、3. 四边形ABCD 的周长=AB +BC +CD +DA =38+例3、已知如图：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一点连结AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S若460, A D D C B B S= ，. （1）求AS 的长度；（2）求OR 的长度解：（1）过A 作AT BC ，与CB 的延长线交于T . ABCD 是菱形，DCB =60°AB =AD =4，ABT =60° AT =ABsin 60°=TB =ABcos 60°=2，BS =10TS =TB +BS =12AS =(2AD BS AOD SOB 421

24、05AO AD OS SB =则25AS OS OS -=75AS OS =AS =757OS AS =同理可得ARD SRC 4263AR AD RS SC =则23AS SR RS -=53AS RS =355RS AS =OR =OS -RS =24. 圆的有关证明和计算: 尽可能多的标注角(已知的等角, 半径对的等角, 互余的角 两种常见辅助线添法: a. 作弦的垂线(垂径定理 b. 连接直径对的圆周角(直径对的圆周角为直角 两个工具:相似和解直角三角形 两个思想：设元思想，方程思想 转角例1、如图，ABC 中，以BC 为直径的O 交AB 于点D ，CA 是O 的切线， AE 平分BA

25、 C 交BC 于点E CA 9E ，交CD 于点F （1）求证：CE =CF ；（2）若sin B =35，求DF CF 的值 （1）证明： BC 是直径， ADC =90°. 1+3=90°. CA 是圆的切线， ACB =90°. 2+4=90°. AE 平分BAC ， 1=2. 3=4. 3=5， 4=5. CE =CF .（2）过点E 作EG AB 于点G . EG =EC ，CD EG . EG = CF . DF AD EG AG =. 又易证 AG =AC . DF ADFC AC=. 又可证 ACD =B . DF CF 的值为35. 例

26、2、如图，在ABC 中，AB AC ，以AB 为直径的O 分别交AC 、BC 于点M 、N ，在AC 的延长线上取点P ，使CBP 21A （1）判断直线BP 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若O 的半径为1，tan CBP 0.5，求BC 和BP 的长 23. 相切.证明：连结AN ，AB 是直径，ANB=90°.AB=AC，BAN=21A=CBP.又BAN+ABN=180°-ANB= 90°， AB是O 的直径， 直线BP 与O 相切. 在Rt ABN 中，AB=2，tan BAN= tanCBP=0.5， 可求得，BN=52，BC=4.作CD BP

27、 于D ，则CD AB ，ABCDAP CP =. 在Rt BCD 中，易求得CD=54，BD=58. 代入上式，得2CP CP +=52. CP=34. DP=1516CD CP 22=-. BP=BD+DP=58+1516=38.20已知：如图，O 是Rt ABC 的外接圆，ABC =90°，点P 是O 外一点，P A 切O 于点A ，且P A=PB （1）求证：PB 是O 的切线；（2）已知P A =BC =2，求O 的半径（1）证明：连接OB OA OB = ，PA PB = OAB OBA =，PAB PBA =OAB PAB OBA PBA +=+ 即PAO PBO =又

28、PA 是O 的切线， 90PAO =°90PBO =°OB PB 又OB 是O 的半径，PB 是O 的切线（2）解：连接OP ，交AB 于点D PA PB =，OA OB =， 点P 和点O 都在线段AB 的垂直平分线上 OP 垂直平分线段AB AD BD = OA OC = 112OD BC = 90PAO PDA =°，APO DPA =APO DPA AP PO DP PA = 2AP PO DP =·(2PO PO OD AP -= 即(22PO PO -=，解得4PO = 在Rt APO 中，2OA =，即O 的半径为2P 1025. 统计:看

29、清表头, 别漏小问, 补图要在答卷上画, 计算过程. 统计加概率要细心谨慎。例如：（昌平21） 某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品. 美术社团从九年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图.4个班征集到的作品数量分布统计图4个班征集到的作品数量统计图 12345ABCD班级作品（件）图1 图2（1）直接回答美术社团所调查的4个班征集到作品共 件，并把图1补充完整；（2）根据美术社团所调查的四个班征集作品的数量情况，估计全年级共征集到作品的数量为 ； （3）在全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生. 现在

30、要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率. 解：(1 12. (242.（3）列表如下: 共有20种且机会均等的结果，其中一男生一女生占12种， P（一男生一女生）123205 26. 操作题:平移, 轴对称, 与旋转(如没思路, 不要想太久, 先做后边的题例1、概念：P 、Q 分别是两条线段a 和b 上任意一点，线段PQ 长度的最小值叫做线段a 与线段b 的距离 已知O （0，0），A （4，0），B （m ，n ），C （m+4，n ）是平面直角坐标系中四点 （1）根据上述概念，当m=2，n=2时，如图1，线段BC 与线段OA 的距离是当m=5

31、，n=2时，如图2，线段BC 与线段OA 的距离（即线段AB 长）为；（2）如图3，若点B 落在圆心为A ，半径为2的圆上，线段BC 与线段OA 的距离记为d ， 求d 关于m 的函数解析式 （3）当m 的值变化时，动线段BC 与线段OA 的距离始终为2，线段BC 的中点为M ， 求出点M 随线段 11BC 运动所围成的封闭图形的周长； 解：（1）当m=2，n=2时，如题图1，线段BC 与线段OA 的距离等于平行线之间的距离，即为2； 当m=5，n=2时， B 点坐标为（5，2），线段BC 与线段OA 的距离，即为线段AB 的长， 如答图1，过点B 作BN x 轴于点N ，则AN=1，BN=2

32、， 在Rt ABN 中，由勾股定理得：=（2）如答图2所示，当点B 落在A 上时，m 的取值范围为2m6： 当4m6，显然线段BC 与线段OA 的距离等于A 半径，即d=2；当2m4时，作BN x 轴于点N ，线段BC 与线段OA 的距离等于BN 长， ON=m，AN=OA-ON=4-m，在Rt ABN 中，由勾股定理得：（3）依题意画出图形，点M 的运动轨迹如答图3中粗体实线 所示:由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段， 以及左右两侧半 径为2的半圆所组成，其周长为：2×8+2××2=16+4， 点M 随线段BC 运动所围成的封闭图形的周长为：16+4 2

33、7. 代数综合:二次项系数如没确定，一定要依题意分类讨论或指明不等于0字母系数首先选用十字相乘法，再考虑用求根公式求根数形结合研究交点个数问题已知二次函数217=22y x kx k +-（1）求证：不论k 为任何实数，该函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）若该二次函数的图象与x 轴的两个交点在点A （1，0）的两侧，且关于x 的一元二次方程k 2x 2(2k 3 x 1=0有两个不相等的实数根，求k 的整数值；（3）在（2）的条件下，关于x 的另一方程 x 22(a k x 2a k 26 k4=0 有大于0且小于3的实数根，求a 的整数值（1）证明：1=222174421422b ac

34、k k k k =+-（）222113=113k k k =+-+-（）0不论k 为任何实数，该函数的图象与x 轴必有两个交点（2）二次函数217=22y x kx k +-的图象与x 轴的两个交点在点（1，0）的两侧，且二次函数开口向上当x=1时，函数值y 0, 即17122k k +-0，解得k 53关于x 的一元二次方程k 2x 2(2k 3 x 1=0有两个不相等的实数根k 0且2=222224234=41294=129b ac k k k k k k =+-+-（）0 12k 34-且k 0 34-k 53且k 0k=1 （3）由（2）可知，k=1 x 22(a 1 x 2a 1=0

35、 解得x 1=-1，x 2=-2a -1根据题意，0-2a -13122a -a 的整数值为-1. 28. 几何综合: 拆图-标角-全等-转角 求解工具: 勾股 相似 面积变换工具: 平移, 轴对称, 与旋转（共顶点的等线段） 提炼新问题的旧背景或把复杂的图形分解成几个基本图形双垂直图形, A 字型 , X 字型, 两山对峙型, （角分线+平行=等腰图形），最值问题的处理也要注意如何转化例1、 如图，四边形ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，连结AM 、CM. （1） 当M 点在何处时，AM CM 的值最小；（2）当M 点在何处时，AM BM

36、CM 的值最小，并说明理由； （3）当AM BM CM 的最小值为1+时，求正方形的边长. 解：（1）当M 点落在BD 的中点时，AM CM 的值最小.（2）如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM 的值最小. 理由如下：M 是正方形ABCD 对角线上一点AM=CM又AB=BC,BM=BMABM CBM BAM=BCM 又BE=BA=BCBEC=BCMBEC=BAM 在EC 上取一点N 使得EN=AM,连结BN 又EB=ABBNE ABM EBN=ABM,BN=BM又EBN+NBA=60°ABM+NBA=60°即NBM=60° BM

37、N 是等边三角形. BM MN. AM BM CM EN MN CM.根据“两点之间线段最短”，得EN MN CM EC 最短当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM 的值最小，即等于EC 的长.（3）过E 点作EF BC 交CB 的延长线于F EBF 90°60°30°设正方形的边长为x ，则BF 2x ，EF 2x 在Rt EFC 中，EF 2FC 2EC 2，（2x ）2（2x x ）221+. 解得，x 2（舍去负值）. 正方形的边长为2例2：如图1，ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时

38、BD=CF，BD CF 成立（1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转（0°90°）时，如图2，BD=CF成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G 求证：BD CF ； 当AB=4，AD=时，求线段BG 的长 13（1）BD=CF成立 理由：ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形， AB=AC，AD=AF，BAC=DAF=90°，BAD=BAC DAC ，CAF=DAF DAC ， BAD=CAF ，在BAD 和CAF 中，BAD CAF （SAS ）B

39、D=CF（2）证明：设BG 交AC 于点M BAD CAF（已证），ABM=GCM BMA=CMG ， BMA CMG BGC=BAC=90° BD CF 过点F 作FN AC 于点N 在正方形ADEF 中，AD=DE=， AE=2， AN=FN=AE=1在等腰直角ABC 中，AB=4， CN=ACAN=3，BC=4在Rt FCN 中，tan FCN=在Rt ABM 中，tan ABM=tanFCN=AM=AB=CM=ACAM=4=，BM=BMA CMG ，CG=在Rt BGC 中，BG=29. 代数几何综合: 拆题-写点坐标-求线段长-点在图象上 坐标轴上或平行于坐标轴的线段长度求

40、法: 右减左，上减下，位置不确定加绝对值，三角型面积求法。距离和最小 (轴对称 。平行四边形，相似多解。 函数有无交点与的关系。例1、已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是菱形，顶点A C D 均在坐标轴上，且AB=5，sinB=45（1）求过A C D 三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB 的解析式为y 1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y 2=ax2+bx+c，求当y 1y 2时，自变量x 的取值范围；（3）设直线AB 与（1）中抛物线的另一个交点为E ，P 点为抛物线上A 、E 两点之间的一个动点，当P 点在何处时，PAE 的面积最大？并求出面积的最大值 （1）

41、四边形ABCD 是菱形，AB=AD=CD=BC=5，sinB=sin A DC=； 在Rt OCD 中，OC=CDsinD=4. OD=3；OA=ADOD=2， A（2，0）、B （5，4）、C （0，4）、D （3，0）； 设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x 3）， 得：2×（3）a=4，14a=； 抛物线：y=x 2+x+4（2）由A （2，0）、B （5，4）得直线AB ：y 1=x ；由（1）得：y 2=x 2+x+4，则： ，解得：，；由图可知：当y 1y 2时，2x 5（3）S APE =AE h ，当P 到直线AB 的距离最远时，S ABC 最大； 若设直线L A

42、B ，则直线L 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P ； 设直线L ：y=x+b，当直线L 与抛物线有且只有一个交点时， x+b=x 2+x+4，且=0；求得：b=，即直线L ：y=x+；可得点P （，） 由（2）得：E （5，），则直线PE ：y=x+9；则点F （，0）， AF=OA+OF=；PAE 的最大值：S PAE =SPAF +SAEF =××（+）=综上所述，当P （，）时，PAE 的面积最大，为 例2：已知抛物线(22-43-2-3m m x m x m y +=的最低点A 的纵坐标是3，直线b mx y +=经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于

43、点C. （1）求抛物线与直线AB 的解析式.（2）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，求sin BDE 的值. 解：（1）抛物线的对称轴x=3(23(22m m a b -=-=1 且抛物线(22-43-2-3m m x m x m y +=的最低点A 的纵坐标是3抛物线的顶点为A （1，3） 0652=+-m m m=3或m=2,3-m 0， m=2, 直线为b y +=x 2抛物线的解析式为：224y x x =-+ 直线AB 为:y=2x+1；（2）令x=0,则y=1, ）令y=0,则x=21-, B （0,1），C （-21，0） 将

44、直线AB 绕O 点顺时针旋转900，设DE 与BC 交于点F D(1,0,E(0,21 090=CFD OB=OD=1 OC=21, CD=23 25=CB 2=BDDF CB OB CD =53=DF 55=BF Si n BDE=BD BF =10 1525. 如图, 在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形, ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4， 抛物线2y x bx c =+经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D （1）求b=-2 c=-3（2）点E 是Rt ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外 ，过点E 作x 轴的垂线 交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点

45、E 的坐标；（3）在（2）的条件下, 抛物线上是否存在一点P ，使EFP 是以EF 为直角边的直角三 角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.解：（2直线AB 经过点A （-1，0） B(4,5直线AB 的解析式为：y=x+1二次函数223y x x =-设点E(t， t+1 则F （t ，223t t -） EF= 2(1 (23 t t t +-=2325( 24t -+当32t =时，EF 的最大值=254 点E 的坐标为（32，52）（3 ） 过点E 作a EF 交抛物线于点P, 设点P(m,223m m - 则有：25232m m -=解得:1m =, 2m =15

46、 2p ,252p ）过点F 作b EF 交抛物线于3P ，设3P （n ，223n n -） 则有：21523n n -=- 解得：112n = ，232n =（与点F 重合，舍去）3P 11524（，） 综上所述：所有点P的坐标：15 2p，25 2p 3P （11524（，）. 能使EFP 组成以EF 为直角边的直角三角形30. 回答问题的方式：是否存在，说明理由；先判断、猜想，再证明31. 多解问题：1、线段的三等点，射线三等分角；2、三角形相似符号给出，则情况唯一；用语言叙述不唯一要分类讨论；3、等腰三角形（腰分类还是顶点分类）4、直角三角形情况不唯一；5、由点A 、B 、C 、D

47、组成的四边形情况不唯一，四边形ABCD 情况唯一（涉及平行四边形中点坐标公式）；例如三角形相似问题： 25. 如图，已知半径为 1 的 e O1 与 x 轴交于 A，B 两点，OM 为 e O1 的 切 线 ， 切 点 为 M ， 圆 心 O1 的 坐 标 为 (2， ， 二 次 函 数 0 y M O A O1 B x y = - x 2 + bx + c 的图象经过 A，B 两点 （1）求二次函数的解析式； （2）求切线 OM 的函数解析式； （3）线段 OM 上是否存在一点 P ，使得以 P，O，A 为顶点的三角形与 OO1 M 相似若存在，请求出所有 符合条件的点 P 的坐标；若不存在

48、，请说明理由 25解： （1）Q 圆心 O1 的坐标为 (2， ， e O1 半径为 1， A(1， ， B (3， . 0 0 0 ì-1 + b + c = 0 Q 二 次 函 数 y = - x 2 + bx + c 的 图 象 经 过 点 A，B ， 可 得 方 程 组 í î-9 + 3b + c = 0 ìb = 4 2 . 二次函数解析式为 y = - x + 4 x - 3 í îc = -3 （2）如图，过点 M 作 MF x 轴，垂足为 F Q OM 是 e O1 的切 线 ， M 为 切 点 ， O1 M OM

49、在 RtOO1M 中 ， y M 解得： sin ÐO1OM = O1M 1 = OO1 2 ， Q ÐO1OM 为 锐 角 ， O A F O1 B x ÐO1OM = 30o OM = OO1 ecos 30o = 2 ´ 3 = 3， 2 3 3 1 3 = ， MF = OM e 30o = 3 ´ = sin 2 2 2 2 在 RtMOF 中， OF = OM e 30o = 3 ´ cos æ3 3ö 3 3 = k， 点 M 坐标为 ç ， ÷ 设切线 OM 的函数解析式为 y

50、= kx(k ¹ 0 ，由题意可知 ç2 2 ÷ 2 2 è ø k = 3 3 . 切线 OM 的函数解析式为 y = x 3 3 y P1 M （3） 存在 如图， 过点 A 作 AP x 轴于 A， OM 交于点 P 与 1 1 可得 Rt APO RtMO1O . 1 P2 O æ 3 3ö ， P ç 1， ÷ . P A = OAetan ÐAOP = tan 30 = 1 1 1ç ÷ 3 è 3 ø o H A O1 B x 过点 A 作

51、AP2 OM ，垂足为 P2 ，过 P2 点作 P2 H OA ，垂足为 H 16 可得 Rt AP2O RtO1MO . 在 RtOP2 A 中， OA = 1 ， OP2 = OAe 30o = cos 3 . 2 ， 在 RtOP2 H 中 ， OH = OP2 ecos ÐAOP2 = 3 3 3 ´ = 2 2 4 P2 H = OP2 e ÐAOP2 = sin æ3 3ö æ 3 1 3 3ö ， P2 ç ， ÷ . 综 上所述 ，符合 条件的 P 点 坐标 有 ç 1， 

52、47; ， ´ = ç4 4 ÷ ç 3 ÷ 2 2 4 è ø è ø æ3 3ö ç ， ÷. ç4 4 ÷ è ø 中点的功能 中点+中点 中点+等腰 中点+直角三角形 中点+平行 中位线 三线合一 斜边的中线等于斜边的一半 中点或全等 三角形的中位线、中点，平行，知二推一 已知三角形一边的中点，1、面积相等；2、倍长中线 3 ，过 BC 的中点 E 作 EFAB，垂足为点 F，连结 DF， 5 A 求 DF 的长 D

53、已知：如图，D 是线段 BC 的中点，点 A 在 DE 上且BAD =CED. F 例 1、如图，在ABCD 中，AB5，AD10，cosB 求证：AB =CE. 解：延长 DC，FE 相交于点 H 四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC，AB=CD，AD=BC BECH，BFEH AB5，AD10， BC=10，CD=5 E 是 BC 的中点， BE=EC= B E H C 1 BC = 5 BFECHE 2 CH=BF，EF=EH EFAB，BFEH=90°在 RtBFE 中， cosB= BF 3 ， BF=CH=3 BE 5 EF= BE 2 - BF 2 = 4 ，DH

54、=8在 RtFHD 中，H=90°， DF 2 = FH 2 + DH 2 = 82 + 82 =2× 82 DF=8 2 例 2、已知：如图，D 是线段 BC 的中点，点 A 在 DE 上且BAD =CED. 求证：AB =CE. 解读角平分线 角平分线 角等 翻折（轴对称变换） 构造全等 17 角平分线上的点+垂直 角平分线+平行 角平分线+垂直 角平分线+等腰 等腰三角形+平行 等线段 等腰三角形 隐含中点（等腰三角形） 三线合一 角平分线 截长补短（涉及两条线段和等于一条线段） 如图 1，在ABC 中，ABAC， ÐABC = a . 过点 A 作 BC

55、的平行线与ABC 的平分线交于点 D，连接 CD （1）求证： AC = AD ； 新定义问题： 例 1、我们把函数图象与 x 轴交点的横坐标称为这个函数的零点.如函数 y = 2 x + 1 的图象与 x 轴交点的坐标 1 1 为（ - ，0） ，所以该函数的零点是 - . 2 2 （1）函数 y = x + 4 x - 5 的零点是 2 y C ； D B O A x （2）如图，将边长为 1 的正方形 ABCD 放置在平面直角坐标 系 xOy 中，且顶点 A 在 x 轴上.若正方形 ABCD 沿 x 轴正方向滚动，即先 以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x 轴上时，再以顶点

56、 B 为中心顺时针旋转，如此继续. 顶点 D 的轨迹是一函数的图象，则该函数在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积 为 . 例 2 、 设 A( x A , y A , B( xB , yB 为 平 面 直 角 坐 标 系 上 的 两 点 ， 其 中 x A , y A , xB , yB Î Z . 令 Dx = xB - x A ， Dy = yB - y A ，若 Dx + Dy =3 ,且 | Dx | × | Dy |¹ 0 ，则称点 B 为点 A 的“相关点” ，记作： B = t ( A . 已知 P0 ( x0 , y0 ( x0 , y0 Î Z 为平面上一个定点，平面上点列 Pi 满足： Pi = t ( Pi -1 ，且点 Pi 的坐标为 ( xi , yi ， 其中 i = 1,2,3,., n . （）