第一章2动力学ppt课件

1、q求放置在光滑水平桌面上的弹簧振子的运动学方程求放置在光滑水平桌面上的弹簧振子的运动学方程弹簧振子：一个轻质弹簧一端固定，弹簧振子：一个轻质弹簧一端固定， 另一端连一个可以自由移动的物体。另一端连一个可以自由移动的物体。1.3 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程设弹簧倔强系数设弹簧倔强系数K K ，物体质量为，物体质量为m m ，oKm如果沿水平方向拉开物体一段距离如果沿水平方向拉开物体一段距离 xo xo ，然后释放，然后释放，则物体在则物体在 o o 两侧作往复运动。两侧作往复运动。0 xoKm在弹簧处于自然长度时无形变），在弹簧处于自然长度时无形变），物体的位置为平衡位置，以物体的

2、位置为平衡位置，以 o o 表示。表示。选选 o o 为原点，建立为原点，建立o x o x 坐标系。坐标系。初始条件：初始条件：0000 tdtdxxxt)(,及及，物体沿物体沿o x o x 轴运动，只需考虑水平方向受力，轴运动，只需考虑水平方向受力，忽略空气阻力，表面光滑，物体只受弹簧弹力作用。忽略空气阻力，表面光滑，物体只受弹簧弹力作用。0 xoKmxft t 时刻物体相对时刻物体相对o o点位移为点位移为x x ，则弹力则弹力0 xoKmxfxKxf 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律22dtxdmKxf 022 KxdtxdmmK 20222 xdtxd弹簧振子所满足的动力学微分方程

3、弹簧振子所满足的动力学微分方程0 xoKmxfxKxf 0222 xdtxd一元二阶常系数齐次微分方程，其通解为：一元二阶常系数齐次微分方程，其通解为：)cos(21ctcx )sin(21ctcdtdx0 xoKmxfxKxf )cos(21ctcx )sin(21ctcdtdx初始条件：初始条件：0000 tdtdxxxt)(,，210cos ccx 21sin0cc0201 cxc，,解得：解得：0 xoKmxfxKxf 0222 xdtxd)cos(0txx这是弹簧振子满足的运动学方程这是弹簧振子满足的运动学方程由上述两个方程可知放置在光滑水平桌面上的由上述两个方程可知放置在光滑水平桌

4、面上的弹簧振子作简谐振动。弹簧振子作简谐振动。0 xoKmxfxKxf Kxf 弹簧振子所受合外力弹簧振子所受合外力x 表示物体相对于表示物体相对于平衡位置位移平衡位置位移说明：合外力与物体的位移成正比方向相反说明：合外力与物体的位移成正比方向相反 这样的力称作弹性回复力这样的力称作弹性回复力 受力特点受力特点: 线性恢复力线性恢复力 动力学方程：动力学方程：弹簧振子弹簧振子:mk 0222 xdtxd固有频率决定于固有频率决定于系统内在性质系统内在性质Kxf q 1， 求单摆的运动学方程求单摆的运动学方程一支长为一支长为l 轻绳，一端固定轻绳，一端固定另一端系质量为另一端系质量为m 的小球的

5、小球,从竖直方向的从竖直方向的o点点（平衡位置）（平衡位置）拉开一个角度拉开一个角度 o放手后，小球就在竖直放手后，小球就在竖直平面内平面内o点附近作往复运动点附近作往复运动,将小球看作是绕过固定点，并垂直竖直平面的轴将小球看作是绕过固定点，并垂直竖直平面的轴作定轴转动的质点，作定轴转动的质点，lmOo1.4 简谐运动的实例简谐运动的实例lmOo细绳与竖直方向夹角细绳与竖直方向夹角表示小球相对平衡位置表示小球相对平衡位置的角位移的角位移初始条件：初始条件：0000 tdtdt)(,，忽略空气阻力，忽略空气阻力，小球受力如图小球受力如图.选择逆时针方向为正选择逆时针方向为正小球所受合外力矩为小球

6、所受合外力矩为sinmglM GTMMM t 时刻细绳与竖直时刻细绳与竖直方向夹角为方向夹角为 logmTsinmglMG 0 TM由转动定律由转动定律22dtdJM sinmglM 2mlJ 222dtdmlmgl sin022 sinlgdtdgmloT022 sinlgdtd令令0222 dtd这就是单摆在平衡位置附近这就是单摆在平衡位置附近振动的动力学微分方程振动的动力学微分方程gmloT022 lgdtdlg 2 sin当当 很小时很小时5 0222 dtd同样是一个一元二阶常同样是一个一元二阶常系数齐次微分方程，系数齐次微分方程，其通解为：其通解为：)cos(21ctc gmloT

7、)sin(21ctcdtd0222 dtd)cos(21ctc gmloT)sin(21ctcdtd初始条件：初始条件：0000 tdtdt)(,，210cos cc21sin0cc解得：解得：0201 cc，,)cos(t0 gmloT0222 dtd这是单摆满足的这是单摆满足的运动学方程运动学方程由上述两个方程可知由上述两个方程可知单摆作简谐振动。单摆作简谐振动。当当 很小时很小时5 mglM 表示小球相对平衡位置的角位表示小球相对平衡位置的角位移。移。合外力矩与小球的角位移成正比方向相反合外力矩与小球的角位移成正比方向相反Kxf mglM合外力与物体的位移成正比方向相反合外力与物体的位移

8、成正比方向相反合外力矩与小球的角位移成正比方向相反合外力矩与小球的角位移成正比方向相反结论结论若物体所受合外力或合外力矩若物体所受合外力或合外力矩与位移线位移或角位移成正比而方向相反，与位移线位移或角位移成正比而方向相反，则物体作简谐振动。则物体作简谐振动。总结：总结：分析分析L-C L-C 电路接通后电流电路接通后电流i i 和电量和电量q q 的变化情况。的变化情况。i和和L的正方向如图的正方向如图tddiLL,22tdqdLLGKqqiLcuLCu,0,CquC,dtdqi022CqtdqdL022LCqtdqd)cos(0tqqLC1角频率角频率2T周期周期LC2通过电路的电流为：通过

9、电路的电流为：dtdqi解得：解得：电荷和电流均按照简谐规律变化。电荷和电流均按照简谐规律变化。)sin(0tqq 2，L-C电路的自由振荡电路的自由振荡1.5 简谐振动的能量简谐振动的能量 (以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例)0 xoKmxfxKxf )cos(tAxdtdxv )sin(tA(1) 动能动能221 mEk )(sin2122 tkAmk (2) 势能势能221kxEp )(cos2122 tkA0 xoKmxfxKxf )cos(tAxdtdxv )sin(tA)(sin tkAEK2221)(cos tkAEP22210212 minmax,kkEkAE0212 minmax,PPEkAExKEPEtoO221KAPKEE )(sin tkAEK2221)(cos tkAEP22210212 minmax,kkEkAE0212 minmax,PPEkAExKEPEto221KAPKEE 2411kAdtETETttkk 2411kAdtETETttPP (3) 机械能机械能221kAEEEpk 简谐振动系统简谐振动系统机械能守恒机械能守恒E(3) 机械能机械能221kAEEEpk 弹簧振子总