媒质分界面条件和边界条件

1、1.2媒质分界面衔接条件和媒质边界条件1.2.1媒质分界面衔接条件在求解电磁场问题时，在不同媒质分界面上场的解答必须匹配, 已学过的有：电场：n E2 -= 0n D2 - Di - 丁磁场：n H2-'Hr = JSn B2 - Br =0电流场(恒定电场)n E2 - Er = 0n J2J"i =0下面进一步分析媒质分界面上场矢量发生突变的一般情况。1面散度场源可能引起场磁量法向分量的突变：在电场中，散度场源v D = '' = b(r )存在。设电场中两种媒质之间存在一个过渡层，媒质性能参数由；i、i、i连续变化为；2、2、2，厚度h很小，取h为一扁盒

2、圆柱面的高，为过渡层内体自由电荷密度。如图所示，规定分界面上的正法向方向由高斯通量定理讨论:q = -h > 0:D ds = D 2： s2 D s1S'、D dV 二s(1)若，为有限值，则当h > 0，即媒质参数发生跃变时，扁盒内的电荷量n D2_Dr = 0= D 2n若当h > 0时,q保持定值不变，即hr 0，'不断增大,使保持定值，定义它为面自由电荷密度二=lim (讣)h0上面的边界条件式变为:-pn ( D 2 - D , ) = lim ( h)h_j0D的法向分量突变，也可用标量电位表示为将以上结论引伸到一般矢量场F中，当h > 0

3、时成为一普遍性边界条件公式:n F2 - Fj 二 lim (hb ) = lim (* F )h 0h 0称上述极限突变值为 面散度源，可知“矢量场的面散度源可能引起场 的法向分量改变，无散场的法向分量一定连续 (如果没有偶极矩阵)”2.面旋度源可能引起场矢量切向分量的突变由斯托克斯定理:qF ，dl =(灯汇 F ) ds = f c(r) dssJS设磁场中两种媒质间存在一过 渡层，其厚为h很小，如图所示。 跨分界面作矩形闭合曲线I，其长 边为厶I，宽边为h，且n、t和 n 呈右旋关系t = n n，有cf H ，dl = H 2 凶2 十 H Al1n-'H 2 - H t I

4、 = i P H ) ds21-.s= c( r ) ds = c(r ) n h= ISt H2-H = n n H2-H=n n H 2 - H 1= n c r hn n (H 2 - H J - c(r)h = 0因l回路设定的任意性，上式成立，在 h-0时，必有：n (H 2lim hc(r)二 lim h(、 H )式中D以及讥lim h(Jh0D总是有限的，h >:D) :t：Dh 0。以两种形式分 ：th0h0析:(1)若J为有限值，hJ > 0n ( H 2 一 H J = 0(2)若h > 0过程中，I所围面积厶s中通过的电流总量不变，hJ 趋于一定值，即

5、电流区压缩成为薄片，定义它为自由面电流密度：Js = lim (hJ)hT°有:n (H2-HJ = Js由于面电流密度存在而导致的H的切向分量突变，这一突变值可以称 为面旋度源。对任意矢量场F，可以得一普遍应用公式：n (F2 - FJ 二 lim hc(r) = lim hC F )h0h0用来判断矢量场F在媒质分界面上的场量切线分量是否突变。可得：“面旋度源可能引起场矢量切向分量突变，无旋场的切向分量一定连续(如果没有偶极矩存在)”1.2.2边界条件上述分析表明：场源的某种分布对不同媒质分界面上场矢量的连 续性产生一定的影响，而且场源的分布也是确定域内场量的前提。根据唯一性定理

6、，场的唯一确定，还有赖于给定场域适合的边界 约束条件，而这种条件也等价于一定分布的场源。下面再对一、二类边界条件分别进行讨论。1. 第二类边界条件等价于一个单层源(1)在电场中，如果媒质分界面上存在有面自由电荷密度，则分 界面条件为：n (D2 _ D1)八n C 八Th 二如果在所求场域Vi边界以外场强均为零 （例如导体区域），即门2-前,n J =:二n D1 -；如图示，说明S面上有负电荷存在。这样的 第二类边界条件，就相当于在场域边界上有 一层自由电荷。也即是说第二类边界条件等价于自由面电荷密度（2）在磁场计算中，若媒质磁化而存在磁化体，由媒质的性能方 程P -。H M =0'

7、H=式中：，m是假想的体磁荷密度,用它来等效地反映媒质磁化的影响，B 八。（H M ）要确定H，还必须计算它的旋度。在磁化体中一般没有自由电流 * H = J = 0由此引入标量磁位；：mm，有由上可知：磁化体中的：m满足标量泊松方程，其磁荷体密度 为- 'M。对于均匀磁化体：M = 0，上式成为拉普拉斯方若按(1)中方法分析，可以从磁何体密度 ，m 中求出媒质分界面上的磁荷面密度匚m，它也是 一种面散度源。如图中两媒质分界面上，正法线方向n从> J2，设有一媒质过渡层，高为很小的 h,跨分界面作一扁圆柱面 S,其高正好为h,由B的连续性原理，对闭 合面S,有-B ds = B2

8、S2 BS1S(B2 - B)ls = O"I-M 2'Bi又:A* |=n B2-B1- n M2o=Xu/-M )1=匚H h=-n M 2 - M j = lim h'、h_ 0如果H 2 = 0，即在：的铁质内，有)=nW11m由此可见：磁化体表面的第二类非齐次边界条件与磁何面密度等 价。2. 第一类边界条件等价于一个双层源在静电场中，一个电偶极子(其偶极矩p = qd )在p点产生的电位为:qd cosT ' P r "® r =2 34- or 4 - 0r现在要分析边界两侧有相同分布的正、 负电荷层的情况，其间距 离极小为d，

9、称为偶层，设面电荷密度为一二，则电偶极矩面密度（层它的正方向由负电荷指向正电荷。 取边界面上正法向单位矢量n与的正方向一致，则偶层元ds在场中P点产生的电位为:cp殆s r f 1 可 cos 日"-1 乓 cos( 71d4 二 or 3 =4二 o r* 2" = 4二 o ； r2jio日d T 6)-1 cosds 二；ds4jio式中c°s严是面元ds对于场点所张的立体角rd'J如果观察点（即场点）到面元ds的矢径r与ds的正法向矢量n的夹角为锐角，规定为正，为钝角则规定为负。于是整个偶层在P点产生的电位为若整个常数，则上式可写为为:TTd

10、9;.1=门4 二-二o如果偶层分布在一个闭合面S上，S面内任意一点的电位T4 二4 二o而S闭面外任一点的电位因i.i =0而有护+ = 0以上两式表明：=定值的第一类边界条件，等价于面偶极矩分布的双层源值得注意的是：在偶层的每一个面上，因发生突变（突£n变量为二），两个面上有两次突变等值异号。所以，以偶层一侧到另 一侧，Dn不变，但双层源两侧有电位差Rt -14T<P <P _2%说明双层源引起了电位的突变。偶层的存在，如果层强不均匀，还可 能引起Et不连续。分析图示偶层两侧对应点的电位差：1、2两点之间电位差为:1 -24、3两点之间的电位差为Cp _ CP CP _ CP1423=Et_l可见由于层强的不均匀导致电偶层两侧E的切向分量不相等。这也说明：在没有偶层分布的无旋场中，才有场矢量的切向分量连续由以上的分析，可以归纳为：1. 在无偶层源存在的情况下，媒质分界面上，矢量场遵循的分 界面条件：n f2 - F, lim （h'、 F ）hn f2 -