Fourier变换的有趣解释ppt课件

1、Fourier变换中有关问题的有趣解释2019.9傅立叶变换傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。 冈萨雷斯版里面的解释非常笼统：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长或频率来决议。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们思索光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能经过频率成分来分析一个函数或者分析一个图像。傅立叶变换有很多优良的性质 时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱那么坚持不变； 频移性：函数在时域中乘

2、以ejwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需求用到这个特性将不同的信号调制到不同的频段上同时传输； 卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积附加一个系数。图像处置里面这个是个重点 信号在频率域的表现信号在频率域的表现 在频域中，频率越大阐明原始信号变化速度越快；频率越小阐明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反响了信号的变化快慢。高频分量解释信号的突变部分，而低频分量决议信号的整体笼统。 在图像处置中，频域反响了图像在空域灰度变化猛烈程度，也就是图像灰度的变化速度，也就是图像的梯度大小。对图像而言，图像的边缘部分是突

3、变部分，变化较快，因此反响在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分那么为低频分量。也就是说，傅立叶变换提供另外一个角度来察看图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来察看图像的特征。书面一点说就是，傅里叶变换提供了一条从空域到频率自在转换的途径。对图像处置而言，以下概念非常重要： 图像高频分量：图像突变部分；在某些情况下指图像边缘信息，某些情况下指噪声，更多是两者的混合； 低频分量：图像变化平缓的部分，也就是图像轮廓信息； 高通滤波器：让图像使低频分量抑制，高频分量经过 低通滤波器：与高通相反，让图像使高频分量抑制，低频分量经过； 带通滤波器：使图像在某一部分的

4、频率信息经过，其他过低或过高都抑制； 带阻滤波器，是带通的反。傅立叶变换在图像处置中的作用 傅立叶变换在图像处置中有非常非常的作用。由于不仅傅立叶分析涉及图像处置的很多方面，傅立叶的改良算法，比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处置中也有重要的分量 。 傅立叶变换在图像处置的以下几个方面都有重要作用 ： 1.图像加强与图像去噪图像加强与图像去噪绝大部分噪音都是图像的高频分量，经过绝大部分噪音都是图像的高频分量，经过低通滤波器来滤除高频低通滤波器来滤除高频噪声噪声; 边缘也边缘也是图像的高频分量，可以经过添加高频分是图像的高频分量，可以经过添加高频分量来加强原始图像的边缘；量来加强原始图像的

5、边缘；2.图像分割之边缘检测图像分割之边缘检测提取图像高频分量提取图像高频分量 3.图像特征提取：图像特征提取：外形特征：傅里叶描画子外形特征：傅里叶描画子纹理特征：直接经过傅里叶系数来计算纹理纹理特征：直接经过傅里叶系数来计算纹理特征特征其他特征：将提取的特征值进展傅里叶变换其他特征：将提取的特征值进展傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性4.图像紧缩图像紧缩可以直接经过傅里叶系数来紧缩数据；常用可以直接经过傅里叶系数来紧缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；什么是卷积 我们都知道卷积公式，但是它有什么物理

6、意义呢？平常我们用卷积做过很多事情： 信号处置时，输出函数是输入函数和系统函数的卷积； 在图像处置时，两组幅分辨率不同的图像卷积之后得到的相互平滑的图像可以方便处置。 卷积甚至可以用在考试作弊中，为了让照片同时像两个人，只需把两人的图像卷积处置即可，这就是一种平滑的过程。 可是我们怎样才干真正把公式和实践建立起一种联络呢？生活中就有实例： 比如说他的老板命令他干活，他却到楼下打台球去了，后来被老板发现，他非常气愤，扇了他一巴掌留意，这就是输入信号，脉冲，于是他的脸上会渐渐地贱贱地鼓起来一个包，他的脸就是一个系统，而鼓起来的包就是他的脸对巴掌的呼应。 好，这样就和信号系统建立起来意义对应的联络。

7、下面还需求一些假设来保证论证的严谨：假定他的脸是线性时不变系统，也就是说，无论什么时候老板打他一巴掌，打在他脸的同一位置这似乎要求他的脸足够光滑，假设他说他长了很多青春痘，甚至整个脸皮处处延续处处不可导，那难度太大了，我就无话可说了，他的脸上总是会在一样的时间间隔内鼓起来一个一样高度的包来，并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。好了，那么，下面可以进入中心内容卷积了！ 假设他每天都到楼下去打台球，那么老板每天都要扇他一巴掌，不过当老板打他一巴掌后，他5分钟就消肿了，所以时间长了，他甚至就顺应这种生活了假设有一天，老板忍无可忍，以0.5秒的间隔开场不延续的扇他的过程，这样问题就来了：第一次扇他

8、鼓起来的包还没消肿，第二个巴掌就来了，他脸上的包就能够鼓起来两倍高，老板不断扇他，脉冲不断作用在他脸上，效果不断叠加了，这样这些效果就可以求和了，结果就是他脸上的包的高度岁时间变化的一个函数了留意了解！ 假设老板再狠一点，频率越来越高，以致于他都区分不清时间间隔了，那么，求和就变成积分了。可以这样了解，在这个过程中的某一固定的时辰，他的脸上的包的鼓起程度和什么有关呢？和之前每次打他都有关！但是各次的奉献是不一样的，越早打的巴掌，奉献越小，这就是说，某一时辰的输出是之前很多次输入乘以各自的衰减系数之后的叠加而构成某一点的输出，然后再把不同时辰的输出点放在一同，构成一个函数，这就是卷积。 卷积之后

9、的函数就是他脸上的包的大小随时间变化的函数。本来他的包几分钟就可以消肿，可是假设延续打，几个小时也消不了肿了，这难道不是一种平滑过程么？反映到公式上，f(a)就是第a个巴掌，g(x-a)就是第a个巴掌在x时辰的作用程度，乘起来再叠加就ok了，这就是卷积！ 最后提示各位，请勿亲身尝试 卷积的另一种解释 信号处置的义务就是寻觅和信号集合对应的一个集合，然后在另外一个集合中分析信号，Fourier变换就是一种，它建立了时域中每个信号函数与频域中的每个频谱函数的一一对应关系，这是元素之间的对应。 那么运算之间的对应呢，在时域的加法对应频域中的加法，这就是FT线性性的表达，那么时域的乘法对应频域什么呢？

10、我们就把它叫卷积。模板运算与卷积定理模板运算与卷积定理 在时域内做模板运算，实践上就是对图像进展卷积。 模板运算是图像处置一个很重要的处置过程，很多图像处置过程，比如加强、去噪、边缘检测中普遍用到。根据卷积定理，时域卷积等价与频域乘积。因此，在时域内对图像做模板运算就等效于在频域内对图像做滤波处置。 比如说一个均值模板，其频域呼应为一个低通滤波器；在时域内对图像作均值滤波就等效于在频域内对图像用均值模板的频域呼应对图像的频域呼应作一个低通滤波。 相关和卷积相关和卷积 相关和卷积是两个完全不同的概念，这一点应特别留意，虽然在数学计算上他们有类似的地方。 相关最早是用来概率论中描画随机变量之间关系的概念