微积分-D8_3平面和直线ppt课件

1、第四节一、平面方程平面与直线 第八章 二、空间直线方程二、空间直线方程 三、线面的典型问题zyxo0Mn一、平面方程),(0000zyxM设一平面经过知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点zz,yy,xx000法向量.量nMM000nMMMM0那么有 故的为平面称n, C,B,An 平面的矢平面的矢量方程量方程留意：和平面垂直的向量都可取为平面的法向量留意：和平面垂直的向量都可取为平面的法向量1、平面的点法式方程、平面的点法式方程kji例例1.1.求过三点求过三点,1M又1,9,140)4() 1(9)2(14z

2、yx015914zyx即1M2M3M解解: 取该平面取该平面 的法向量的法向量为为),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程346231nn3121MMMM此平面的三点式方程也可写成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx普通情况普通情况 : 过三点)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程为阐明阐明: :特别特别, ,当平面与三坐标轴的交点分别为当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQa

3、P1czbyax时,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为 PozyxRQ分析:利用三点式 按第一行展开得 即0axyzab0a0c2、平面的普通方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的普通方程0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000zyx那么0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方程等价, )0(222CBA的平面, 因此方程的图形是法向量为 ,CBAn 定理：任何关于定理：任何关于x,y,z的三元一次方程都表示一张平面的三元一次方程都表示一张平面特殊情形特殊情形 当当

4、 D = 0 D = 0 时时, A x + B y + C z , A x + B y + C z = 0 = 0 表示表示 经过原点的平面经过原点的平面; 当当 A = 0 时时, B y + C z + D = 0 的法向量的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示表示 A x+B y+D = 0 表示表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0iCBn

5、例例2. 求经过求经过 x 轴和点轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程的平面方程.解解: : 因平面经过 x 轴 ,0 DA故设所求平面方程为0zCyB代入知点) 1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy因此有例例3. 一平面经过两点一平面经过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解( (一一: : 设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC约去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M,

6、 )1, 1,0(2M和那么所求平面故方程为 n21MMn且,CBAn二二平面平面的方程为的方程为x+y+z=01 , 1 , 11n其法向量,2 , 0 , 121MM又故所求平面的法向量取为故所求平面的法向量取为211MMnn201111kjikji 211, 2利用法点式可得平面的方程为利用法点式可得平面的方程为0) 1() 1() 1(2zyx即即02zyx二、空间直线方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其普通式方程1. 1. 普通式方程普通式方程 直线可视为两平面交线，(不独一),(0000zyxM2. 对称式方程对称式方程故有阐明阐明: (1)

7、某些分母为零时某些分母为零时, 其分子也了解为零其分子也了解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为 那么),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程(或点向式方程，规范方程)直线方程为s知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM例如, 当,0, 0时pnm和它的方向向量 sMM/0,pnms (2)和直线平行的非零向量都可取为直线的方向向量3. 参数式方程参数式方程设得参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0(3)假设给定直线上两相异点假设给定直线上两相异点),2 , 1)(,(izyxMiiii那那么么21MMs 直线的方向向量可取为直线的方

8、向向量可取为直线直线L的矢量方程为的矢量方程为s trr000,OMrOMr留意：直线方程的三种方式可相互转化留意：直线方程的三种方式可相互转化例例4.4.用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线解：法一：解：法一：(1(1先在直线上找一点先在直线上找一点. .043201 zyxzyx632zyzy2再求直线的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程组,得交知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .)2,0, 1(故.s21ns,ns21nns可取,1 , 1 , 11n,3 , 1, 22n故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思绪解题思绪

9、: :先找直线上一点;再找直线的方向向量.3, 1,421nns312111kji法二：法二：由方程组得由方程组得)2(023) 1 (0543zyzx由由2得得32zy由由1得得3241zx32141zyx故直线的标准方程为：)1 ,2, 1(A,11231:1zyxLiL设直线解：解：,2上在因原点LO12:2zyxL相交,求此直线方程 .的方向向量为过 A 点及 的平2L面的法向量为那么所求直线的方向向量方法方法1 利用叉积利用叉积. ),2, 1( isi, n,1nss所以OAsn2121112kjikji333例5、不断线过点 且垂直于直线 又和直线nOA2L2s与设所求直线的交点

10、为512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直线的方向向量方法方法2 利用所求直线与利用所求直线与L2 的交点的交点 .即故所求直线方程为 2L),(000zyxB那么有2L) 1 , 2 , 1 (Anss1333123kji)523(3kji),(000zyxB0) 1()2(2) 1(3000zyx78,716,78000zxy512231zyx0000,2yzyx将代入上式 , 得由点向式得所求直线方程而1, 2, 1000zyxAB5,2,3731L2L) 1 , 2 , 1 (A),(000zyxB715,76,79AB三、线面间的典型问题三、线面间的典型问题一、间

11、隔问题一、间隔问题1、平面外一点到该平面的间隔、平面外一点到该平面的间隔设平面设平面的方程为的方程为0DCzByAx),(0000zyxP外一点,求0DzCyBxA是平面到平面的间隔d .0P222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :设平面法向量为设平面法向量为),(1111zyxP在平面上取一点,那么P0 到平面的间隔为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd(点到平面的间隔公式点到平面的间隔公式), ,CBAn xyzo0M例例6.解解: : 设球心为设球心为求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标

12、面所构成那么它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程为000zyx633331, ),(0000zyxM四面体的球面方程.从而)(半径R2222)633()633(633)633(zyx2、直线外一点到该直线的间隔、直线外一点到该直线的间隔,:000nzzmyylxxL),(1111zyxP是直线是直线L外一点，外一点，求点求点 到直线到直线L的间隔的间隔1P),(1111zyxP),(0000zyxPLdsin10PPd sin1010sPPsPPssPPd10,01010110zzyyxxPP , sl m n二、两平面的

13、相互关系二、两平面的相互关系C,B,An1111设平面1的法向量为 平面2的法向量为那么两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n2121cosnnnn C,B,An22221、两平面的夹角、两平面的夹角2特别有以下结论：特别有以下结论：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAAC,B,An:C,B,An:22222111111122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n2L1L三、直线与直线的关系三、直线与直线的关系1. 两直线的

14、夹角两直线的夹角 那么两直线夹角 满足21, LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm2121cosssss 1s2s, ,22221111pnmspnms特别有特别有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss2、两直线共面的条件、两直线共面的条件0)(2121ssPP两直线共面两直线共面其中其中分别为两直线上的点21,PP例例7. 7. 求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角解解: : 直线直线直线二直线夹角 的余弦为13411:1zyx

15、L0202:2zxyxL cos22从而4的方向向量为1L的方向向量为2L1,2,2) 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(22010112kjis 1,4, 11s例例8 8、断定两直线、断定两直线121221:1zyxL和和113269:2zyxL能否相交？能否相交？解：在两直线上分别取点解：在两直线上分别取点) 1, 2 , 9(),2 , 2, 1 (21PP那么那么,3, 4 , 821PP,1, 1 , 21s又1 , 3 , 62s0136112348)(2121ssPP共面与两直线21LL11-3162又不平行，因而一定相交与两直线21LL思索：此处能否思

16、索：此处能否只直接判别两直只直接判别两直线不平行？线不平行？当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;L1. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为那么直线与平面夹角 满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),cos(sinnsnsns sn四直线与平面间的关系四直线与平面间的关系,CBAn ,pnms 特别有特别有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解: : 取知平面的法向量取知平面的法向量421zyx那么直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程.

17、为所求直线的方向向量. 132垂 n例例9. 求过点求过点(1,2 , 4) 且与平面且与平面1,3,2n2、直线与平面的交点、直线与平面的交点,:000pzzmyylxxL0:DCzByAx求求L与与的交点的交点做法：将直线方程写成参数方程代入平面方程，做法：将直线方程写成参数方程代入平面方程，求出交点处的参数值，再代入参数方程求得交点的坐标求出交点处的参数值，再代入参数方程求得交点的坐标241312zyx例例10. 10. 求直线求直线与平面062zyx的交点 . 提示提示: : 化直线方程为参数方程化直线方程为参数方程代入平面方程得 1t从而确定交点为1，2，2.tztytx2432t五

18、、平面束方程五、平面束方程定义：定义：为L0:22222DzCyBxA0:11111DzCyBxA的交线，的交线，的所有平面的交线和称过L21所确定的平面束和为由21定理：定理：表示为所确定的平面束方程可和210)()(22221111DzCyBxADzCyBxA(*)为不同时为零的常数其中,称称* *) )为双参数平面束方程为双参数平面束方程证明要点：证明要点：1 1、* *表示一张平面表示一张平面所确定的平面和由、21(*)2(3、过、过L的任何平面都包括在的任何平面都包括在*所表示平面内所表示平面内双参数平面束方程包括双参数平面束方程包括的方程21,单参数平面束方程：单参数平面束方程：0

19、)(22221111DzCyBxADzCyBxA0)(22221111DzCyBxADzCyBxA(*)*)*(*(*)不包含平面方程不包含平面方程02222DzCyBxA*)*(*不包含平面方程不包含平面方程01111DzCyBxA阐明：阐明：普通假设可确定某些平面不含其中，那么平面束方普通假设可确定某些平面不含其中，那么平面束方程可设为单参数平面束方程程可设为单参数平面束方程例例11 11 求经过直线求经过直线,115312:1zyxL且平行于直线且平行于直线010201622:2zyzyxL的平面的平面的方程的方程解：解：0101351zxyxL 化为一般式为：将1L过平面的方程为：设平

20、面0) 1()135(zxyx0-135zyx）即（2, 1 , 02, 2 , 12sL 的方向向量210221kji1 , 2 , 22L02)5(28代入消去代入消去得得0583zyx为所求平面方程为所求平面方程例例12 12 求经过直线求经过直线01032:zyxzyxL且与平面且与平面：02zyx垂直的平面方程垂直的平面方程解法一：解法一：设过直线L的双参数平面束方程为(23)(1)0 xyzxyz()(2)()30 xyz即所求平面与平面 垂直()(2)( 2)()( 1)060,0即故所求平面方程为10 xyz 故所求平面方程为10 xyz 解法二：解法二：230:20 xyzx

21、yz 与不垂直(23)10 xyzxyz 可设所求平面方程为：(1)(12 )(1)310 xyz 即所求平面与平面 垂直(1)(12 )( 2)(1)( 1)0 0故所求平面方程为10 xyz 阐明：此处不能用参数方程阐明：此处不能用参数方程23(1)0 xyzxyz 解法三：用平面的普通方程做解法三：用平面的普通方程做解法四：用平面的点法式方程做解法四：用平面的点法式方程做5,15,100) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyx思索题思索题1求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程.) 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx解解: 知二平面的法向量为知二平面的法向量为

22、取所求平面的法向量 那么所求平面方程为化简得21nnn,1, 1, 11n12,2,32n)1 ,2, 1(A,11231:1zyxLiL设直线解：解：,2上在因原点LO12:2zyxL相交,求此直线方程 .的方向向量为过 A 点及 的平2L面的法向量为那么所求直线的方向向量方法方法1 利用叉积利用叉积. ),2, 1( isi, n,1nss所以OAsn2121112kjikji333不断线过点 且垂直于直线 又和直线思索题思索题2nOA2L2s设所求直线与的交点为512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直线的方向向量方法方法2 利用所求直线与利用所求直线与L2 的交点的交点 .即故所求直线方程为 2L),(000zyxB那么有2L) 1 , 2 , 1 (Anss13331