周练3.《空间点线面位置关系》

1、2. 空间点、直线、平面之间的位置关系选编：金建军2.1 平面的基本性质 空间两直线的位置关系知识梳理 1. 平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用。理解图形、符 号、文字语言的转化。2. 空间两条直线的三种位置关系，并会判定; 典例剖析 例 1.（1） 下列推理中，错误的个数为 （ ） A l,A ,B l,B l ； A ,A ,B ,B AB；l ,A l A ； A,B,C ,A,B,C且 A、B、C不共线与 重合。A.0 个 B.1个C.2个D.3 个答案： B。解析：正确（2）. 下面给出四个命题正确的是 （ ）A. 经过三点 ,有且只有一个平面B. 一点和一

2、条直线确定一个平面C.两条直线确定一个平面D.两两相交的三条直线不一定在同一个平面内答案： D（3）在空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点，如果 EF、 GH 交于点 P，那么（ ）A.P AC B. P BD C.P AB D. P CD答案:A 。解析: P EF 面 ABC，又 P GH 面 ACD，由公理 2 知， P AC 面 ABC面 ACD。（4）.若a 、 b是异面直线， a、 c是平行直线 ,则b、c是（）A. 不可能平行 B. 不可能相交C.不可能异面 D.只能是异面直线答案 :A（5）正方体的 12 条面对角线所在的直线中，互

3、相异面的直线共有 对。答案： 30。解析：面对角线中，与 AC相交的有 5 条，平行的有 1 条，（自身为 1 条）故与1AC异面的直线有 12-5-1-1=5 （条），则共有 12 5 1 =30（对）。2（6）设 a，b， c是空间的三条直线，下面给出四个命题：若 a b ，b c，则 a/c； 若 a、b 是异面直线， b 、 c是异面直线，则 a 、 c也是异面直线； 若 a和b相交， b和 c相交，则 a和c也相交； 若 a和b共面， b和 c共面，则 a和c也共面其中真命题的个数是 个答案： 0。例 2已知 ABC 三边所在直线分别与平面 交于 P、Q、R 三点，求证： P、Q、R

4、三点共线。解： A、B、C 是不在同一直线上的三点过A、B、C有一个平面又 ABP, 且AB,P 既在 内又在 内 ,l, P l.同理可证 :Q l,R lP、Q、R三点共线.。练习 .已知直线 ab，ca=A，cb=B.求证： a、b、c 在同一平面内CAa B b证明： a b经过 a、 b 可确定一个平面ca=A， Aa，而 a A ，同理 B 则 AB ，即 ca、b、c 在同一平面内. 。2.2 空间两直线的位置关系 异面直线所成角知识梳理 1.平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌 握证明空间两直线平行及角相等的方法。2异面直线所成角的定义，

5、异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异 面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。 典例剖析 例 1. （1） 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）A. 平行 B.相交C.异面D.以上都有可能答案： D 。（2）在正方体 AC1中，M 为 DD1的中点， 意一点，则 OP 与 AM 所成角为A. 30 B. 45C.60O 为正方形 ABCD 的中心， P 为棱 A 1B1 上的任 （）D.90答案： D。解析：取 AD 中点 Q，在正方形ADD1A1 中， A1Q AM，从而易证 AM面A1B1OQ，又 OP 面 A1B1OQ， AM OP。（3）异面直线 a,b成

6、80角，P为 a,b之外的一个定点，若过 P有且仅有两条直线与 a,b所 成的角相等（都等于 ），则 （ ）A. |0 40 B. |40 50 C. |40 90 D. |50 90 答案 :B. 解析：当 0 40 时这样的直线不存在，当 =40时仅有一条，当 =50 时有三条，当 50 90 时有四条。（4）空间四边形 ABCD 中， AD=BC=2 ，E， AD、BC 所成的角为 答案： 60 。解析：异面直线所成角的范围 例 2. 已知空间四边形 ABCD 中，各边长均为 分别为 AD 、BC的中点，连结 AF、CE，求异面直线 AF 与 CE所成的角余弦值。F分别是 AB、CD 的

7、中点， EF= 3 ，则0 ,90 。a ，且对角线 AD=BC= a ，如图所示，a，E、FD解：连结 FD，取FD的中点 O，连结 EO、OC，E、O分别为 AD、 FD的中点， EO/AF ，则 CEO或其补角即为所求的角。在 CEO中， CE= 3a,EO 1 AF2243 a,COCF2 FO22a 243a47a，3 a 2 3a 2 7433aa24222CE2 EO2 CO 2 cos CEO2CE EO2AF与CE所成角余弦值为3练习： 空间四边形 ABCD 中，已知 AD=1 ，BC= 3 ，且 AD BC ，对角线 BD= 13 ，2FG、GH、HE，EF / / 1 A

8、D，FG / / 1BC，GH / / 1 AC,HE / / 1BD，22 2 2 EFG为异面直线 AD与BC所成的角， EFG=90， GHE为AC与BD所成角， EG=1，EHcos GHE2 HG 2 EG 22EH HG异面直线 AC 与 BD 所成的角为 902. 空间点、直线、平面之间的位置关系作业班级 高二 （ ） 姓名 .1.若 A 表示点， a 表示直线， 、 表示平面，则下列各项中，表述错误的是（）A、 a ，A a AB、 a ，A a A C、A，A，a= A aD、 A a, A a2分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ ）A.平行B.异面C. 平行或

9、异面 D.相交或异面3两条直线异面是两条直线不平行的（ ）A 、 充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件3. 两条异面直线在平面上的投影不可能 是（）A ）两个点（B ）两条平行直线C）一点和一条直线 （ D）两条相交直线4右图是正方体的表面展开图，则下列描述正确的是（A.BM与 ED 平行 BCN与 BM 相交C. CN 与 BE 异面 DDM 与 BN 垂直5异面直线 a,b成 60角，直线 c a，则直线 b与c所成的角的范 围是 （ ）A、30 ， 90 B、30 ，60 C、60 ，90 D、30 ， 6如图所示，长方体 ABCD A1B1C1D1

10、中，AA1=AB=2 ， AD=1 ，点 E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1的中点，则异 面直线 A1E 与 GF所成的角是A.30 B.45C.60120（）D.90 7.已知三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等， 中点，则异面直线 AB 与CC1所成的角的余弦值为 A 3 B 544C34D1A1在底面 ABC 上的射影为 BC 的（）8如图， P 为正方体 ABCD A1B1C1D1的中心，则 PAC 在该正方体各个面上的射影可 能是 ( )A (1)(2)(3)(4)B (1)(3)C (1)(4) D (2)(4)9在空间四边形 ABCD 中，E，F ,G ,H

11、 分别为 AB ，BC , CD ,AD 的中点 .若 AC BD,那么 四边形 EFGH 是 .10. 已知三棱锥 S ABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形， SA 垂直于底面ABC ， SA 2 2 ， D 为 SA 的 中 点 ， 那 么 直 线 BD 与 直 线 SC 所 成 角 的 大 小 为 45 0 。已知二面角 l 为60 ， AB ， AB l ，A 为垂足， CD ， C l ，ACD 135 ，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 ()1 2 3 1 A BCD4 4 4 2 【答案】 B.11判断下列命题的真假 :(1) 如果平面 与平面 相交

12、,那么它们只有有限个公共点； (2) 过一条直线的平面有无数多 个； (3) 两个平面的交线可能是一条线段； (4) 两个相交平面有不在同一条直线上的三个公 共点； (5) 经过空间任意三点有且仅有一个平面；(6) 如果两个平面有三个不共线的公共点那么这两个平面就重合为一个平面。其中真命题序号是 。12. 已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为 713如图，在三棱锥 A BCD 中， AB, AC,AD 两两互相垂直， AB AC AD 4 点 P ， Q 分别 在侧面 ABC 、棱 AD上运动， PQ 2，M 为线段 PQ 中点， 当 P ， Q 运动时，点 M 的轨迹把三棱锥

13、 A BCD 分成上、下两部分的体积之比等于1:(641)14.在正三棱柱 ABC A1 B1C1中，若 AB 2BB1 ，则 AB1与 C1B所成的角的大小E为 9015如图所示，在空间四边形 ABCD 中，BC到E使CE=BC，F为BD 中点，求：异面直线1答案：解：连结 FC。 BF=FD ， BC=CE ， FC/ 1DE, AFC是异面直线 AF和DE 2所成角或 其 补 角 )。在 正 ABD 中 ，AF 3 ， 在 等 腰 三 角 形 BCD 中 ，FC= CD2 FD 2 32而 AC 32由余弦定理得AF 2 FC 2 AC2 1cos AFC 2 AF FC 2 , AFC

14、 60，即异面直线AF与DE 所成角为 60。16如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， BCA90，M、N分别是 A1B1和 A1C1的中点， 若 BCCA CC1，求 BM 与 AN 所成的角的余弦 解：连接 MN，作 NGBM 交 BC 于G，连接 AG， 易证 GNA 就是 BM 与 AN 所成的角设： BC CA CC 12，则 AGAN 5，GNB1M 6，cos GNA 6552653010AA17. 如图, 在直三棱柱 ABC A1B1C1中, AC 3, BC 4, AB 5,点 D 是 AB的中点.(1) 求证 : AC BC1;(2) 求证 : AC1 平面 CDB1.32. (A)证明 : (1) 因为三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱 所以 C1C